Matematika»Probabilitatea

Probabilitatea

`Kausa oso txiki batek, guretzat ezin sumatuzkoa denak, guk nahitaez ikusi behar dugun ondorio bat eragiten du, eta orduan ondorio hori zoriari zor zaiola esaten dugu. Ondo jakinez gero izadiaren legeak zeintzuk diren eta zein egoeratan zegoen unibertsoa hasierako unean, orduan hutsik egin gabe iragar daiteke zein egoeratan egongo den unibertso hori bera geroztikako une jakin batean. Baina, izadiaren legeek batere sekreturik ez balute ere guretzat, hala ere gutxi gorabehera baizik ezingo genuke jakin hasierako egoera hura zein zen. Horri esker geroztikako egoera hori gutxi gorabeherako zehaztasun berberaz aurrikus badaiteke, hori aski izaten da, eta esaten dugu gertaera hori iragarria izan dela, lege jakin batzuek arautua dela, alegia ; gerta daiteke hasierako baldintza haietan alde txikiak egotea, eta alde txiki horiek alde handiak sortzea geroztikako gertaeretan ; hasierako hipotesi horretako hutsegite txiki batek hutsegite handi bat eragingo luke azken hipotesian. Iragarpena ezinezkoa da beraz, eta ustekabeko gertaera esaten zaio horri. " Poincare, Zientzia eta metodoa (1903).

Zoria eta Probabilitatea

Saiakuntza zientifiko batzuetan, emaitza aurrikusi egin daiteke hasierako egoeraz zenbait datu ezaguturik. Beste kasu batzuetan, ordea, hasierako egoera ongi ezagutu arren, ezin izaten da emaitza zein izango den aurrez esan. Azken kasu hauetan, saiakuntza zorizkoa dela edo emaitzak zoriaren arabera lortzen direla esaten da.

Zoriaren mende dauden egoera hauek aztertzen saiatzen den matematikaren alorrari probabilitatea deitzen zaio. Egia esan, zorizko fenomenoen eta fenomeno deterministen arteko muga zehaztea ez da gauza erraza. Mekanikaren alorreko saiakuntzetan ere, esaterako, nahiz eta hobeki kontrolatuta dauden, azaltzen dira zoriari dagozkion errore txikiak. Zorizko prozesuetan, probabilitatearen azterketan ikusiko dugunez, lege jakin batzuk betetzen dira.Hasteko, probabilitatearen bidez zoriaren mende dagoen saiakuntza batek, adibidez dado edo karta jokoan, atera ditzakeen emaitzak zehaztu daitezke, eta ondoren, emaitza horien artean gertagarrienak zeintzuk diren aurkitu. Estatistikak, egin den saiakuntzako datuak bilduz, "a posteriori" den zorizko fenomeno bat ikasten du. Probabilitatea berriz, saiakuntza egin aurretik saiatzen da gerta daitezkeen emaitzen berri eta emaitza horietako bakoitza betetzeko dagoen zailtasun edo erraztasunaren berri ematen. Datu hauek landuz, zoriz lortutako emaitza hauekin zerikusia duten beste aldagai batzuk ezagutu daitezke, hala nola joko batean lor daitezkeen irabaziak, biztanle kopuruak izan dezakeen hazkundea, etab.Probabilitatea zoriaren neurri bat ere bada, baina horrez gainera, matematikaren alor bat da. Eta matematikaren beste edozein alor bezala, ezin dakizkioke matematikakoak ez diren beste hipotesi batzuk gehitu gabe errealitate fisikoari edo giza-errealitateari zuzenean aplikatu. Probabilitatea zientzia zehatza da, bere aplikazioak, ordea, ez. Probabilitatearen teoria bezalako zientzia batean aurrera egiteko saiakuntzaren emaitzetik abiatuta suposizioak egin behar dira. Adibidez, bi dado simetriko jaurtitzen badira, daduetako puntuen batura 3 izatea 2 izatea baino errazagoa edo gertagarriagoa dela dio probabilitateak. Baina bi dado simetrikoak direla esatea dado horien ezaugarri fisikoetan edo saiakuntzan oinarritutako hipotesi bat da. Halaber, dadoak "faltsuak" direla uste izatea eta "bi bateko" ateratzea gertagarriagoa dela esatea ere, probabilitatearekin bat etorriko litzateke.Zorizko joko edo saiakuntza batean gerta daitezkeen emaitza posible guztiak ezagutu ondoren, emaitza bakoitza gertatzeko erraztasuna edo emaitza bakoitzaren gertagarritasuna aditzera emango duen zenbaki bat -hau da probabilitatea- bilatu behar da.

Korrespondentzia hau bilatzeko, pisua, forma edo egoera geometrikoak har daitezke kontuan. Saiakuntza bera askotan egin bada, maiztasun erlatiboak probabilitaren berdinak dira ia-ia. Dena dela, eta hau horrela izan arren, jokalari askok bere senari edo bide irrazionalei jarraituz egiten dituzte apustuak.Batzuetan zorizko saiakuntza bat izateko ordez prozesu bat izaten da, hala nola egunaren buruan leihatila batean sor daitezkeenilarak, maila jakin bateko ikasleen altuera banatzeko era, edo enpresa batean egin behar diren betebeharrak burutzeko behar den denbora. Zorizko saiakuntza hauek egin ondoren lortzen diren emaitzak ikasterakoan emaitza horiek lege binomial edo lege normal bati jarraitzen diotela esatea ez da ziurta daitekeen emaitza bat, lanerako erabil daitekeen hipotesi bat baizik. Izan ere, probabilitatearen adar batek saiakuntza batzuk egiten hasterakoan erabili ziren hipotesiak aztertzen ditu, hain zuzen ere saiakuntzetan lortu diren emaitzetatik abiatuta hipotesi horiek fidagarriak diren ala ez aztertzen du. Dena dela, saiakuntza mordo bat eginak ez gaitu hipotesiak onartzera edo baztertzera behartzen. Dado bat ehun aldiz jaurti ondoren "seia" inoiz atera ez bada, dadoa faltsua denik ezingo dugu ziurtatu, seguruenik faltsua izango dela soilik esan dezakegu.Probabilitatea egoera askotan erabiltzen da. Hasteko zoriaren mende dauden jokoetan, hau da, zorteak zerikusi handia duen jokoetan. Aplikazio asko ditu gizarte eta giza zientzietan eta ekonomian ere. Eta fisikan esaterako, probabilitatearen teorian oinarrituak dira termodinamika edo mekanika kuantikoa.Probabilitatea ezagutzen ez ditugun edo hain korapilatsuak izanik beste era batera ikastea ezinezkoak zaizkigun fenomenoak lantzeko era bat soilik den jakitea, edo zoria gauzen izaeraren zati bat izanik mundua azaltzeko probabilitatea nahitaezkoa den ala ez, ez da hemen aztertuko. Mende askotan uste izan zen dado bat jaurti aurretik eta hainbat kalkulu eginez ezagutu egin zitekeela zein zenbaki aterako zen, baldin eta ezagunak balira dado baten jaurtiketan parte hartzen duten xehetasunak, alegia, pisua, forma, jaurtitzen den indarra, airearen erresistentzia, erortzen den gainaldearen marruskadura eta pisua eta forma ezaguneko kubo bati dagozkion mekanika klasikoko legeak. Halaber, ontziaren forma, molekula arteko talkaren legeak eta gasa eratzen duten milioika molekulen hasierako egoera ezagutuz, gas baten molekula guztien bilakaera ezagutu zitekeela uste izan zen. Baina gaur egun, zientzialari askorentzat, zoria munduaren zati bat da. Era berean, zoria izadiaren zati bat dela dioen ideian oinarritua da mekanika kuantikoa ere, eta oinarrizko partikula baten posizioa eta abiadura ezin direla ezagutu baieztatzen du, eta posizioa edo higidura kantitatearen probabilitate funtzioak erabiltzen. Mundu determinista bat ezinezkoa dela uste duten zientzialarien ondoan, badira beste batzuk, esaterako Einstein, esaten dutenak "jaungoikoak ez du munduarekin dadotara jokatzen", eta orain probabilitateen teoria erabiliz ikasten diren fisika edo beste zientzietako fenomenoan lege deterministak gizadiak ezagutuko dituela uste dutenak.Beraz, zoria eremu askotan azaltzen da gaur egun, baina antzina jokoen ikasketan soilik agertzen zen. Hori dela eta lehenengo gai honetako adibide gehienek jokoekin zerikusia izango dute.

Hurrengo ataletan estatistikarekin zerikusia duten aplikazioak, edo erroreen teoria, eta hipotesi batean konfidantza tarteak aurkitzeko era edo emaitza baten estimazioa aztertuko dira.

Probabilitatearen historia

Zoria oso aspalditik da ezaguna, baina zoriaren azterketa matematikoa berri samarra da.Arkeologia aztarnategi askotan zenbait zibilizaziok jokorako eta zoriak parte hartzen zuen aztikerietarako erabiltzen zituzten dadoak eta tortoloxak aurkitu dira. Zoriak zerikusia zuen joko edo aztikeria erritoak egiten zituzten antzinako egiptoarrek, grekoek eta erromatarrek. Aurkitu den dadorik zaharrena K.a. 3.000. urtekoa da.Garai hartako jokalariek, oraingo jokalariek bezalaxe, intuiziozko ideiaren bat izango zuten gertaera bat betetzea erraza edo nekeza zen jakiteko . Izan ere, aurkitutako dado batzuk emaitza baten alde alboratuta daudela ikusi da, eta beste batzuk, irregularrak izan arren, sei aldeak probabilitate bereko edo ekiprobable egin arte landu ziren. Baina jokoetan erabiltzen zituzten probabilitate ideia hauek ez zituzten baliatu teoria matematiko bat osatzeko.Berpizkunde hasieran ezaguera matematiko guztiak deterministak ziren. Geometria ezaguera jakin eta ziurra zen, eta probabilitatea, berriz, seguruak ez ziren ezaguerak azaltzeko erabiltzen zen. Bestalde, etorkizuna asmatzeko ahalmena jainkoen dohaina zen, eta zoria kontrolatu nahi izatea fedegabetasunaren azalpentzat hartua zen.Berpizkundean hasi ziren zorizko jokoak ikuspegi matematikotik lantzen.

Lehenengo egile eta berritzaile garrantzitsua G. Cardano (1501-1576) mediku, matematikari eta jokalaria izan zen. Liber de Ludo Aleae liburua idatzi zuen, eta dado, tortolox eta karta jokoez gainera, bere bizitzan zehar jokoan izandako esperientziak kontatzen zituen. Galileok (1564-1642) ere zerbait idatzi zuen dado jokoei buruz, Toscanako printzearen eskariei erantzun nahian. Baina probabilitatea, gaur egun ezagutzen den eran behintzat, Fermat (1601-1665) eta Pascal (1623-1662) matematikarien idazkiekin sortu zen. Bi matematikari frantses hauek zorizko jokoei buruz eta apustuetako diru banaketekin zerikusia zuten problemekin osatutakogutun sorta bat idatzi zioten elkarri. Fermatek probabilitate bera zuten emaitzak bilatzen zituen, eta Pascalek jokalariek irabazteko probabilitate bera izan zezaten jokoaren bilakaerak nolakoa behar zuen izan aztertzen zuen. Ez zuten gaur egungo probabilitatearen ideia erabiltzen, emaitza baten eta beste baten probabilitatearen arteko arrazoia baizik. Hau da, dado bat jaurtitzerakoan 6 ateratzeko probabilitatea seiren bat denik ez dute esaten, aldiz 6 bat ateratzearen eta ez ateratzearen erlazioa 1 5-en kontra dela esaten dute.

Huygens (1629-1695) matematikariak Fermaten eta Pascalen ideiak garatu zituen eta itxaropen matematikoaren ideia azaldu zuen. Geroxeago Jacques Bernouilli (1654-1705) matematikariak probabilitateari buruzko lehen tratatu garrantzitsua idatzi zuen : Ars Conjenctandi (1713an argitara emana). Bertan agertzen dira lehenengo aldiz probabilitatea gertaera baten maiztasunarekin loturik, edo "a posteriori" probabilitatea, eta simetriaz ezarritako probabilitatea, edo "a priori" probabilitatea.

XVIII. mendean zehar, Moivre, Bayes eta Condorcet egileek probabilitatearen alderdi berriak landu edo probabilitatea alor berrietara, adibidez ekonomiara, zabaldu zuten. Baina probabilitatean egindako aurreramenduak laburbiltzen dituen eta emaitza berriak eskaintzen dituen hurrengo tratatu garrantzitsua 1812. urtean Laplace (1749-1827) matematikariak argitaratutako Theorie analytique des probabilites da. Bertan egilearen izena daraman probabilitatearen oinarrizko definizioarekin batera probabilitateen batura eta biderkadura arauak azaltzen dira. Bayes eta Buffon matematikariek ordu arte lortutako emaitzak ere biltzen ditu, eta probabilitateen kalkuluari integrazioa aplikatzen dio. Erroreen teoriari dagozkion problemak ebazteko probabilitatea erabiltzen du. Lan zabala eta emaitza aberatsekikoa izan zen, baina azpimarratzekoa du zehaztasun falta ere.

XIX. mendean, Gaussek, erroreen teoria hobetu eta banaketa normalaren dentsitate funtzioa -Gaussen kanpaia- ezagutarazi zuen.

Tchebychef errusiarrak eta Poisson frantziarrak teoria hauek hobetu zituzten. XIX. mendearen bigarren erditik aurrera probabilitatea biologia lantzeko erabili zen. Lan hauetan jardun zuten, besteen artean, Galton, Student, eta Pearson matematikari ingelesek. Halaber, probabilitatea fisikan eta bereziki termodinamikan erabiltzen hasi zen.

XIX. mendean aurreramendu handiak egin ziren probabilitatean eta garrantzi handia hartu zuen, eta horrek probabilitatearen oinarri matematiko sendo baten beharra areagotu zuen. Integrazioaren teoriak, Lebesgue eta Borelen ideiekin, neurriaren teoriaren oinarriak ezarri zituen. Teoria honetan oinarriturik Kolmogorov errusiarrak gaur egun onartzen den probabilitatearen definizio axiomatikoa eman zuen 1933. urtean.

I. Lagin espazioa. Gertaerak. Gertaeren aljebra

Probabilitatei buruzko problema bat ebaztean, aztergai dugun zorizko saiakuntzak dituen emaitza posible guztien multzoa ezagutu behar dugu hasteko. Horretarako, lagin espazio delakoa definitu behar da.Zorizko saiakuntza baten lagin espazioa saiakuntza hori burutzerakoan lor daitezkeen emaitza guztien multzoa da.• Adibideak:1. Txanpon bat jaurtitzerakoan «aldea» edo «ifrentzua» atera daiteke . Horiek dira «txanpon bat jaurti» zorizko saiakuntzako lagin espazioa (E) eratzen duten elementuak : E = {A,+}.2. Dado bat jaurtitzean bada, la, edo 2a, edo 3a, edo 4a, edo 5a, edo 6a aupegiak gora begira daudela gera daiteke dadoa . Beraz, saiakuntza honen lagin espazioa da : E = {1, 2, 3, 4, 5, G}.3. Zorizko saiakuntza batean dado jaurtiketan 6a atera dadin dadoa zenbat aldiz jaurti behar den eskatzen da. Seia lehenengo jaurtialdian, edo bigarren jaurtialdian, edo hirugarrenean aterako da, edo agian askotan jaurti beharko da dadoa. Beraz, lagin espazioa 1 etik hasita zenbaki arrunten multzoa izango da : E = 11, 2, 3, 4, 5, 6,....}.4. Zorizko saiakuntza batean gezi bat itu edo diana batera jaurti eta geziak jotzen duen tokitik dianaren erdi-erdiraino dagoen distantzia zein den eskatzen da. Emaitza edozein zenbaki erreal positibo izan daiteke, baina nahi izanez gero, E = [0,a] idatzi daiteke, non a arkuaren irispide gorenaren eta jaurtitzailea dagoen tokitik dianara dagoen distantziaren arteko batura baino handiagoa den zenbaki bat den.Beraz, lehenengo bien moduko adibidetan langin espazioko elementu kopurua finitua, hirugarrena bezalakoetan infinitu zenbakigarria eta laugarrena bezalakoetan infinitu jarraitua izan daiteke.

Lehenengo hirurenak lagin espazio diskretuak eta laugarrenarena lagin espazio jarraitua dela esaten da.Zorizko saiakuntza bateko gertaera bat lagin espazioko edozein azpimultzo da. Zorizko saiakuntza bat egiterakoan, gertaera jakin bati dagokion emaitza bat ateratzen denean, gertaera hori egiaztatu dela diogu, eta ateratzen ez bada, ez dela egiaztatu esango dugu.• Adibideak :1. Txanpon bat jaurtitzerakoan, lau gertaera posible ditugu : «aldea» 2.. tera, «ifrentzua» atera, «aldea edo ifrentzia» atera, eta «ez aldea eta ez ifrentzua» atera.

Dado bat jaurtitzean atera daitezkeen gertaera posibleenkopurua askoz handiagoa da. Bat 3a ateratzea izango da, {3} ; beste bat 3 baino txikiagoa ateratzea, {1, 2} ; beste bat zenbaki bikoitia ateratzea, {2, 4, 6} ; eta beste bat 1, 2, 3, 5 ateratzea, {1, 2, 3, 5} ateratzea. Gerta daiteke, halaber, {1, 2, 3, 4, 5, 6} ateratzea. Dado bat jaurtitzerakoan, guztira,gertaera ditugu.

Aurreko bien moduko adibideetan, hau da, lagin espazioa finitua denean. E lagin espazioak n elementu baditu, gertaera posibleak E-renazpimultzo posible guztiak dira, eta beren kopuruada [multzoak n elementu dituenez, n-naka harturiko 2 propietateren ("barnekoa ez izan") errepikatuzko aldakuntzak dira].Lagin espazioko elementuak oinarrizko gertaerak dira. Adibidez, txanpon bat dugunean {A} eta {+} dira oinarrizko gertaerak.Zorizko saiakuntza batean elementurik ez duen multzoa da ezinezko gertaera, beraz, multzo huts gisaadierazten da.

Saiakuntzan atera daitekeen emaitzarik ez duenez, gertaera hau ez da inoiz egiaztatzen. Gertaera seguru edo gertaera ziurra E lagin espazioa bera da, espazio hori gertaera gisa harturik. Izan ere, zorizko saiakuntzako emaitza posible guztiak hartzen dituenez, beti egiaztatzen da.

Gertaera arteko eragiketak. Gertaeren artean, multzo artean bezalaxe, bilketa, ebaketa eta diferentzia defini daitezke. Gertaera arteko eragiketak azaltzeko, multzo arteko eragiketak azaltzeko erabiltzen diren Vennen diagramak erabiliko dira.

A eta B gertaeren bilketa,gertaera berri bat da. A-n, B-n edo bietan egiaztatzen diren oinarrizko gertaeren bidez eratua.

Adibidez, dado bat jaurtitzerakoan gertaeretako bat bikoitia ateratzea da, A= {2,4,6}; beste bat 3 baino txikiagoa ateratzea da, B={1,2} eta A eta B ren bildura,. Diagrama bidez adierazita:A eta B gertaeren ebaketa,, beste gertaera berri bat da, A- n eta B-n bietan aldi berean egiaztatzen diren oinarrizko gertaeren bidez eratua. Diagrama bidez adierazita :Aurreko adibidea kontuan harturik:. Diagrama bidez adierazita :A eta B gertaeren diferentzia, A-B, B-n ez daude A-ko oinarrizko gertaeren bidez eraturiko gertaera berri bat da.

Aurreko adibidea kontuan harturik: A-B={4,6}. Diagrama bidez adierazita.A gertaera baten aurkako gertaera. A egiaztatzen ez denean egiaztatzen den eta A egiaztatzen denean egiaztatzen ez den gertaera da. A-ren aurkako gertaera E-A gertaerarekin bat dator, eta A´-ren bidez adierazten da.

Aurreko adibidea kontuan harturik: A´ = {1,3,5} eta B´={3,4,5,6}.Gertaera arteko eragiketen propietateak :Gertaeren bilketak eta ebaketak, eragiketa gisa harturik, trukakortasunaren legea, elkarketa legea eta banaketa legea betetzen dituzte, multzo arteko eragiketek bezalaxe :Gertaera baten aurkakoaren aurkakoa hasierako gertaera bera da, eta Morgan-en legeak betetzen ditu:

- Ariketak

1. Idatz ezazu "hiru txanpon jaurti" saiakuntzari dagokion lagin espazioa.2. Zenbat gertaera ditu hiru dago jaurti saiakuntzak?3. Bi txanpon airera jaurtitzen dira. Idatz itzazu gertaera hauek: «alde bat» atera; «bi alde» atera; «alderik ez» atera.4. "Espainiar karta sorta batetik karta bat atera" saiakuntza egiten da. Idatz itzazu gertaera hauek: a) urrea atera; b) erregea atera; c) urrea atera eta erregea atera gertaeren ebaketa ; d) urrea atera eta erregea atera gertaeren bilketa.

Montecarloko iruzurra

Probabilitatearen eta maiztasun erlatiboaren arteko erlazioa dela eta, zenbait jokalarik uste dute aurreko emaitzek ondorengo emaitzetan eragina dutela. Adibidez txanpon bat ehun aldiz jaurti ondoren, ehun alditan, jarraian, aldea atera bada, hurrengo jaurtialdian ifrentzua ateratzea berriro aldea ateratzea baino gertagarriagoa dela uste dute. Bere arrazonamendua hau da : "aldeare eta ifrentzuaren maiztasuna beraien probabilitatea bezala 1/2 denez, aldea askotan atera denez, gauzak berdintzeko, orain askotan aterako da ifrentzua".

Montecarloko iruzurra deitutako arrazonamendu honek ez du kontuan hartzen limite bat ezin dela kopuru finitu batetik abiatuta ezarri.

Milioi bat aldiz segidan aldea atera arren, limiteak 112 izaten jarrai dezake, izan ere, teorian behintzat, oraindik infinitu saiakuntza ditugu egiteko eta hauekin alderatuz, milioi bat ezer gutxi da.

Are gehiago, kopuru handien legeak, baldintza orokorretan, emaitza posibleen maiztasun erlatiboak egonkortu egiten direla ziurtatzeaz gainera, maiztasunabsolutuak probabilitatea eta saiakuntza kopuruen arteko biderkaduraren arabera espero den maiztasun absolutuetatik gero eta gehiago urruntzen direla ere ziurtatzen du. Alegia alde eta ifrentzu kopuruen arteko aldea gero eta handiagoa da. Baina diferentzia hori saiakuntza kopuru osoa baino mantsoago handitzen da, beraz maiztasun erlatiboa egonkortu egiten da.Aldea ifrentzua baino askoz aldi gehiagotan ateratzen denean agian txanpona alboratua eta faltsua dela eta oinarrizko bi gertaerak ez dutela probabilitate bera da atera dezakegun ondorio bakarra. Hori horrela balitz, berriro aldea ateratzearen alde egin beharko genuke apustu. Baina, txanpona alboratua dagoenik ere ezin da ziurtatu. Konfiantza handiko hipotesia izan arren, fisikan bilatu beharko litzateke ziurtasuna, adibidez grabitate-zentroan, eta ez estatistikan.

II. Probabilitatea

Zorizko saiakuntza batean, gertaera batek ateratzeko duen erraztasuna adieraziko duen zenbakia gertaera horren probabilitatea dela esaten da. Askotan egin den saiakuntza bat bada, gertaera baten maiztasun erlatiboa hartzen da gertaera horren probabilitatetzat.

Hitzarmen hau kopuru handien legea deritzanaren ondorio bat da, izan ere, zenbat eta saiakuntza gehiago egin orduan eta egonkorragoak dira maiztasun erlatiboak. Bide hau jarraituz, gertaera baten P(S) probabilitatea n saiakuntza egin ondoren f(S) gertaera horrek duen maiztasun absolututik abiaturik lortuko litzateke, limite baten bidez :Beste metodo bat emaitza posibleen artean dagoen simetria edo baliokidetasuna oinarri hartzea da. Baina bi kasuek egoera jakin bat dutenez abiapuntu, ez dute probabilitatearen definizioa orokortzeko ziurtasunik ematen.Bestalde, probabilitateak lehenxeago ikusi ditugun gertaera arteko eragiketeen osagarri izan behar du ; hau da, probabilitateen batura gertaeren bilketarekin eta ebaketarekin erlazionatzen dituen zenbait propietate beharko ditu bete.Maiztasun erlatiboaren ideiari jarraituz propietate jakin batzuk izan ditzan, ondoko definizio axiomatiko hau hartu da :Probabilitateagertaera multzoaren eta [0,1] tarte errealaren arteko aplikazio bat da, eta zera betetzen du :, non E gertaera segurua denda, baldin eta

Probabilitatearen definizioaren ondorioak :

1.da. Izan ere,da, eta gertaera bat eta bere aurkakoa beti bateraezinak dira.2.. Izan eregertaera ziurraren aurkakoa da, etada.3. Baldin etabadaizango da, izan ereda.4.Baldin etagertaerak bateraezinak badira,Bigarren axioma orokortuz.5. Baldin eta A eta B bi gertaera bateraezin ez badira, orduanda.Izan ere,etadira, non A-B eta B-A elkarren artean eta AnB-rekin bateraezinak diren.

Gainera6. Lagin espazio finitu bat oinarrizko gertaeren bilketa gisa onar daiteke. Kasu horretan, oinarrizko gertaera guztiei dagozkien probabilitate guztien batura 1 da.

Baldin etabada, orduan

III. Laplaceren erregela

Simetria bidez, estatistika bidez edo beste bideren bat erabiliz, narrizko gertaera guztiek probabilitate bera dutela edo gertaera zztiak ekiprobableak direla, hau da P(x 1 ) = P(x 2 ) = P(x3 ) =... = ;x„) dela ziurta daitekeenean, xi guztien ordez x 1 jar daiteke : P(E) P(x 1 ) + P(x 1 ) + P(x 1 ) +... + P(x l ) = n P(x 1 ) = 1Pdela ziurta daitekeenean,guztien ordezjar daiteke:Horren arabera,izango da. Eta gauza bera gertatuko da edozein-rekin. Beraz, lagin espazioa finitua bada eta gertaerak ekiprobableak badira, edozein i-rentzatizango da.Ondorio hau 4. propietatearekin elkartuz, Laplaceren erregela rtzen da. Horrela dio Laplaceren legeak :Formula hau sarritan erabiltzen da probabilitatean, eta bereziki koarekin zerikusia duten problemetan.• Adibideak:40 karta dituen sorta bateko karta guztiak behar bezala eginda daude eta probabilitate bera dute. Bila ezazu :a) Karta bat ateratzerakoan, karta hori bateko urrea izatearen probabilitatea.Laplaceren erregela erabiliz, 40 karta posibletik bakarra da aldeko karta, beraz:P (bateko urrea) =b) Karta bat ateratzerakoan, karta hori urrea izatearen probabilitatea.Laplaceren erregela erabiliz, 40 karta posibletik 10 dira aldeko, beraz:c) Karta bat ateratzerakoan, karta hori batekoa izatearen probabilitatea .Laplaceren erregela erabiliz, 40 karta posibletatik 4 dira aldekoak, beraz :P(batekoa) =d) Karta bat ateratzerakoan, karta hori batekoa ez izatearen probabilitatea .Bateko bat ez ateratzea, bateko bat ateratzearen aurkakoa da, beraz, lehenengo propietatea erabiliz :Bateko ez diren 36 karta dira, beraz, Laplaceren erregela erabiliz,da batekoa ez ateratzea gertaeraren probabilitatea.e) Karta bat ateratzerakoan, karta hori batekoa edo bikoa izatearen probabilitatea.4 bateko eta 4 biko ditugu, beraz Laplaceren erregelaren arabera.

Edo bestela, bateko edo biko gertaerada, eta gainerada.Beraz,karta hori batekoa edo urrea izatearen probabilitatea.Urrea edo batekoa gertaeragertaeraren berdina da.Bainaeta bigarren axioma erabili ezin denez, 5. propietatea erabiliko da :Edo bestela, 10 urre eta beste hiru bateko ditugu, bateko urrea urreen sailaren barruan dagoelako. Beraz, guztira 40 kasu posibletik 13 gertaera aldeko ditugu, hori dela eta :Laplaceren erregela erabili ahal izateko, ongi ezagutu behar da lagin espazioa, eta gainera oinarrizko gertaera guztiek probabilitate bera dutela ziurtatu behar da. Bi baldintza hauek elkarri lotuta daude, eta zehazten ez badira erroreak sor daitezke.• Adibideak :1. Bi txanpon berdin jaurtitzen dira. Bila itzazu gertaera hauen probabilitateak : a) bi alde ateratzea, b) alde bat eta ifrentzu bat ateratzea, eta c) bi ifrentzu ateratzea.Bi txanponak berdinak izan arren, oinarrizko gertaerak ekiprobableak izatea nahi bada, bere lagin espazioa {AA, A+, +A, ++} da, eta ez {2 alde, alde 1 eta ifrentzu 1, 2 ifrentzu}, izan ere «alde bat eta ifrentzu bat» gertaera bi eratara lor daiteke (lehenengo txanponean aldea eta bigarrenean ifrentzua atereaz, edo lehenengoan ifrentzua eta bigarrenean aldea atereaz). Bereizi ezin badira ere bi txanpon ditugu.Beraz, probabilitateak hauek izango dira :; P(alde bat eta ifrentzu bat) =2. Orain kaleko joko bat azalduko dugu: kolorez izan ezik gainerako guztian berdinak diren hiru txartel ditugu. Txartel baten bi aldeak zuriak dira, bigarrenak berriz alde bat zuria eta bestea gorria du, eta hirugarrenak gorriak ditu bi aldeak. Txartel bat aukeratzenda zoriz eta mahai gainean ipintzen da, txartelaren alde bateko kolorea ikus daitekeela. Eman dezagun ikusten den aldea gorria dela. Apustua egiten duenak dio : "Ikusten den aldea gorria denez, txartela gorria-gorria edo gorria-zuria izan daiteke ; nik gorriagorriaren alde egingo dut apustu". Froga ezazu joko hau ez dela zuzena.Azaltzen diren gertaerak ez dira txartel gorria-gorria, gorria-zuria edo zuria-zuria ateratzea, baizik eta txartel bat atera eta alde bat gora begira jartzea. Hori horrela izanik, aukeratzen dugun txartelaren eta ikusten den aldearen arabera 6 egoera desberdin ditugu. Sei horietatik aldea zuria duten 3ak bazter ditzakegu kasu honetan, zoriz atera dugun txartelak gorria baitu goialdea. Gelditzen zaizkigun hiruak hauek dira : gorria-gorria, alde bietako bat goialdean dela, gorria-gorria beste aldea goialdean dela, eta gorria-zuria, alde gorria goialdean daukala. Beraz ikusten ez den aldea gorria izatearen probabilitateada, eta ikusten ez den aldea zuria izatearen probabilitatea

Konbinatoria erabiliz ebatzitako adibideak:

1. Zenbatekoa da 10 txanpon jaurtitzerakoan 2 alde ateratzearen probabilitatea?Zenbat kasu desberdin ditugun jakiteko, hamar txanponak ordenatuta daudela pentsatuko dugu eta txanpon bakoitzean aldea edo ifrentzu atera daitekeela gogoan hartuko dugu. Alde kopurua eta ifrentzu kopurua desberdinak badira, edo hauek txanpon desberdinetan ateratzen badira, emaitzak desberdinak izango dira. Aldea edo ifrentzua txanpon batean baino gehiagotan errepikatuko da, eta ikusi dugun bezala ordenak bere garrantzia du, beraz lOnaka harturiko 2 elementuren errepikatuzko aldakuntzak dira, VR2,1o , hau da 2'°=1024.hau daAldeko kasu denek 2 alde izan behar dituzte. Beraz, aldea duten bi txanponak dira kasu bat bestetik bereizten dutenak. Beraz, konbinazioak izango dira :. Laplaceren erregela jarraituz,izango da probabilitatea.2. Idazkari batek lau bezerorentzat lau gutun idazten ditu, elkarren desberdinak lauak, eta dagozkien gutunazalak prestatzen ditu.

Hurrengo egunean ez ditu idazkariak bidaltzen, beste lankide batek baizik, eta helbideari begiratu gabe gutunazal banatan sartzen ditu gutun bakoitza. Zenbatekoa da bezero bakoitzak beretzat idatzitako gutuna jasotzeko duen probabilitatea?Lau gutun eta lau gutunazal direnez, gutun eta gutunazalen arteko parekatze kasu posibleak bat datoz gutunek izan ditzaketen ordena posbileen kopuruarekin, kontuan harturik gutunazalak edozein ordenatan daudela. Ordenak garrantzia duenez eta gutun guztiak gutunazal banatan sartzen direnez, 4 elementuren permutazioek emango dizkigute kasu posible guztiak ; hau da,Aldeko kasua bakarra da, hau da gutunak eta gutunazalak zein berearekin parekatzen direnean.Beraz, probabilitatea :.

3. Karta sorta batetik lau karta ateratzen dira hurrenez hurren.

Zenbatekoa da bateko bat, errege bat, zaldun bat eta txota bat (ordena honetan) ateratzearen probabilitatea?Kasu posibleak 40 elementuren artean 4 hartu eta hauek ordenatzeko dauden aukera guztiak izango dira, baina errepikatzen ez direnez, aldakuntzak izango dira :4 bateko, 4 errege, 4 zaldun eta 4 txota ditugula kontuan izanik, aldeko kasuak hauek izango dira :Probabilitatea hau izango da :

- Ariketak

5. Poltsa batean kolorez ezik bestelako guztian berdinak diren 3 puxtarri zuri, 2 gorri eta 3 urdin ditugu. Bila itzazu puxtarri bat ateratzerakoan, puxtarri hori : a) urdina izatearen probabilitatea ; b) gorria izatearen probabilitatea ; c) zuria ez izatearen probabilitatea.6. Hiru txanpon jaurtitzen dira. Bila ezazu zenbatekoa den : a) alde bat eta bi ifrentzu ateratzearen probabilitatea ; b) hiru ifrentzu ateratzearen probabilitatea ; c) gutxienez ifrentzu bat ateratzearen probabilitatea ; d) ifrentzu baino alde gehiago ateratzearen probabilitatea.7. Bi dado jaurtitzen dira. Bila ezazu zenbatekoa den: a) bi seiko ateratzearen probabilitatea ; b) seikorik ez ateratzearen probabilitatea ; c) gutxienez seiko bat ateratzearen probabilitatea; d) batura 5 ateratzearen probabilitatea ; e) batura 7 ateratzearen probabilitatea; f) batura 12 ateratzearen probabilitatea; g) batura 14 ateratzearen probabilitatea.8. Poltsa batean letik hasi eta 10eraino zenbakiturik dauden hamar puxtarri ditugu. Pertsona batek puxtarri bat hartu, zenbakia ikusi eta poltsan sartzen du berriro. Puxtarriak ongi nahastu ondoren beste pertsona batek puxtarri bat ateratzen du. Zenbatekoa da: a) bi puxtarriek zenbaki bera izatearen probabilitatea; b) bi puxtarriak bakoitiak izatearen probabilitatea ; c) bi puxtarrien zenbakien batura 10 izatearen probabilitatea. Lehenengo puxtarria ateratzen duenak poltsara itzuliko ez balu, zenbatekoak lirateke aurreko hiru galderei dagozkien probabilitateak?9. Toscanako Dukeak Galileori jarritako ariketa : hiru dado jaurtitzerakoan, sei batuketa desberdinen bidez lor daiteke 10 batura (1+3+6, edo 2+2+6, edo 1+4+5, edo 2+3+5, edo 2+4+4, edo 3+3+4), eta beste sei era desberdinetan 9 batura (1+2+6, edo 1+3+5, edo 1+4+4, edo 2+2+5, edo 2+3+4, edo 3+3+3). Baina 10 batura lortzea 9 batura baino errazago ateratzen dela ikusten da. Zergatik?10. Mereko zaldunak Pascali jarri zion lehenengo ariketa : zer da errazagoa, dado bat lau aldiz jaurtiz gutxienez 6ko bat ateratzea edo bi dado 24 aldiz jaurtiz gutxienez bi seiko ateratzea?

IV Baldintzazko probabilitatea

Batzuetan, zorizko saiakuntza baten probabilitate ikasketa egiteko lagin espazio osoa hartu ordez lagin espazio horren zati bat hartzen da. Hau, interesgarria izan daiteke batez ere saiakuntza bi zatitan bana daitekeenean, baina beste kasu batzuetan ere egiten da.Eman dezagun, adibidez, alboratua dagoen dado baten alde bakoitzari dagokion probabilitatea ezaguna dugula :"Dado bat jaurti" zorizko saiakuntzan bi gertaera hartuko ditugu kontuan : A, hau da bikoitia ateratzea, A = {2, 4, 6} ; eta B, 2 eta 5-en artean egotea, 2 eta 5 barne direlarik, B={2, 3, 4, 5}. A-ren probabilitatea P(A) = 0,15 + 0,20 + 0,17 = 0,5 da. Eta B-ren probabilitatea P(B) = 0,15 + 0,20 + 0,18 + 0,15 = 0,68 da.• baldintzaren mendeko A-ren probabilitatea B-ko zenbakiak bakarrik (2, 3, 4 eta 5) kontuan harturik dadoa jaurtitzean zenbaki bikoitia ateratzearen probabilitatea da. P() idazten da. B-n dauden A-ko elementuak 2 eta 4 dira, eta P(B) = 0,68 da. Orduan,. B gertaera baten mendeko A gertaera baten probabilitatearen definizio orokorra da:Eta A gertaera B gertaerari buruz askea edo independentea dela esaten da baldin etabetetzen bada.Aurreko adibidearen arabera :Baina dado baten alde guztiek probabilitate bera dutenean, P (bikoitia) = 0,5 da ;da, etaBeraz,Alegia, bi gertaerak independenteak dira.• gertaera baten mendeko probabilitatea benetako probabilitatea da, non B gertaera ziur edo segurua den. Hain zuzen, bete beharreko axioma guztiak betetzen ditu B gertaerak baldintzaturiko probabilitateak.1.probabilitatea 0 eta 1 balioen artean dago,delako eta biak positiboak direlako.2.. Beraz, B gertaera segurua da.3. C eta D bateraezinak badira,izango da.Hain zuzen, bilketarekiko ebaketaren banatze propietatea erabiliz :inserted textetaere bateraezinak dira, eta P-ren hasierako probabilitateari bigarren axioma aplikatuz :Beraz,da, eta B gertaerak baldintzatutako probabilitateak probabilitate matematiko baten axioma guztiak betetzen ditu.Propietateak : Definizioa beste era honetara idatz daiteke :A gertaera B gertaerarekiko independentea bada, orduan :A gertaera B gertaerarekiko independentea bada, orduan B gertaera A gertaerarekiko independentea da. Hain zuzen, Baldin etabada,izango da.Eta horrela:Beraz, Bgertaera A gertaerarekiko independentea da.Baldintzazko probabilitatea hiru edo gertaera gehiago direnean ere betetzen da. Halakoetan zera egiaztatzen da :Gertaera independenteak badira:Adibide bat erabiliz argituko dugu hau. Iaz matrikulatutako 100.000 automobilek izandako istripuak aztertu dira. Automobil hauek A, B eta C markakoak dira, eta marka bakoitzak ondoko taulan adierazten den istripu kopurua izan du :Aztertutako automobil guztien artean bat aukeratzen da zoriz. a) Zenbatekoa da A markakoa, B markakoa, edo C markakoa izatearen probabilitatea? b) Zein markakoa da seguruena?Maiztasun erlatiboak probabilitate gisa har daitezkeenez, zenbatekoa da P(A), P(A/Is), P(IsEz/A) eta zer esanahi du bakoitzak?Problema ebazteko, guztizkoen zutabea eta errenkada erantsiko zaizkio taulari :BerazMarkarik seguruena zein den jakiteko, marka bakoitzak zenbat istripu izan dituen aztertu behar da, istripua izatearen probabilitateak kalkulatuz.Probabilitaterik txikiena C markarena denez, C da markarik seguruena.P(A) = 0,5 berdintzak zoriaren arabera hartutako automobila A markakoa izatearen probabilitatea 0,5 dela esan nahi du.berdintzak istripua izan duten automobilen artean bat zoriz hartzen bada, automobil hori A markakoa izatearen probabilitatea 0,65 dela esan nahi du.

V. Probabilitatea, saiakuntza elkartua denean

Egoera askotan, ariketaren zailtasuna murriztu egiten da saiakuntza bakar baten moduan hartu ordez bi edo saiakuntza desberdin gehiagoz osaturiko saiakuntza gisa hartzen bada. Halakoetan, zorizko saiakuntzaren probabilitatea, emaitza partzialen probabilitatetan bana daiteke. Oro har, saiakuntza batean, zati bati dagokion probabilitatea kalkulatzerakoan, aurretik izandako emaitzak kontuan hartu behar dira, probabilitate horren kalkuluan eraginaizan dezaketelako, baina hala eta guztiz ere, errazagoa izaten da saiakuntza elkartu gisa hartzea."Hiru txanpon jaurti" saiakuntzaren ordez, "Txanpon bat hiru aldiz jaurti" saiakuntza elkartua har daiteke. Kasu honetan gainera, bigarren edo hirugarren jaurtialdian ateratzen den emaitzak ez du zerikusirik izango aurretik atera denarekin ; hau da, hiru jaurtialdiak independenteak balira bezala har daitezke. Hiru alde ateratzearen probabilitatea jakin nahi bada, lehenengo jaurtialdian aldea ateratzearen probabilitateada, eta berdina beste bi jaurtialdietan ere, beraz :Ariketa hau Laplaceren erregela erabiliz landu izan bagenu, gauza bera aterako litzake, izan ere, kasu posibleakizango genituzke eta aldeko kasu bakarra, beraz.

Saiakuntza elkartu baten oinarrizko saiakuntzak beraien artean independenteak ez direnean ere, saiakuntza horren deskonposaketak kalkuluak erraz ditzake, baina gogoan izan behar da bigarren zatitik aurrera lortzen diren probabilitateek aurrekoak kontuan hartu behar dituztela.40 karta dituen karta sorta batetik bi karta ateratzen dira, eta biak urreak izatearen probabilitatea zenbatekoa den jakin nahi da. Horretarako, hasteko karta bat aterako dugu, eta gero beste bat ; hau da, saiakuntza bitan banatuko dugu. Kasu honetan, bigarren ateraldiari dagokion probabilitatea lehenengo ateraldian lortutako probabilitatearen mende dago ; izan ere, bigarren ateraldia egiterakoan lehenengoan atera dugun karta ezingo dugu kontuan hartu. Lehenengo karta urrea izatearen probabilitateada. Baina lehenengoa urrea bada, orain karta sortan guztira 39 karta ditugu eta hauetatik 9 dira urre. Orduan, probabilitatea hau izango da :Ariketa hau ere Laplaceren erregela erabiliz egin daiteke. 40 kartako sorta batetik bi karta ateratzeko dauden era desberdin guztiak izango dira kasu posibleak. Aldi berean ateratzen direnez, ordenak ez du axola, beraz, binaka harturiko 40 elementuren konbinazioak izango dira; hau da:. Aldeko kasuak lortzeko, 10urretik 2 aukeratu behar ditugu. Eta orain ere ordenak ez du axola ; beraz, binaka harturiko 10 elementuren konbinazioa izango da ; hau da:. Hori horrela izanik, probabilitatea ondo- (2. 1) ten aditzera ematen dena izango da :

Zuhaitz diagramak

Probabilitate ariketa bat saiakuntza elkartu gisa hartzen denean, zuhaitz diagramek problemaren ebazpena erraz dezakete. Hasteko, saiakuntzaren lehenengo deskonposaketari dagokio balio bakoitza adar batean jarriko dugu. Adar hauetako bakoitzetik, saiakuntzaren bigarren deskonposaketak dituen balio bezainbeste adar berri aterako dira, eta horrela saiakuntza erabat deskonposatu arte. Ondoren, adar bakoitzari zein probabilitate dagokio idatziko dugu, horretarako balioaren aurreko emaitzak,etab., kontuan harturik.

• Adibideak :1. UDARA hitzaren bi letra zoriaren arabera hartuz, zenbatekoa da UR ateratzearen probabilitatea?Gertaera horren probabilitatea UR hitzari dagokion adarretako emaitzen biderkadura eginez lortzen da; kasu honetan : (1/5)(1/4).

Adibide honetan eta honen antzekoetan, azken emaitzarekin zerikusirik ez duten adarrak osa gabe utz daitezke.2. Poltsa batean 3 puxtarri zuri, 3 puxtarri gorri eta 4 puxtarri urdin daude. Elkarren segidan hiru puxtarri ateratzen dira. Bila ezazu zenbatekoa den lehenengoa gorria, bigarrena zuria eta hirugarrena urdina ateratzearen probabilitatea.Horretarako zuhaitz diagrama egingo dugu :Dagokien adarretako emaitzen arteko biderkadura e mez lortuko dugu probabilitatea. Oraingo honetan:

- Ariketak

11. Bi kutxa ditugu. Batean, A kutxan, 2 puxtarri gorri eta 3 puxtarri berde daude, eta bestean, B kutxan, 4 puxtarri gorri eta 2 berde. A kutxatik puxtarri bat hartu eta B-n sartzen da. B kutxan dauden puxtarriak nahastu eta puxtarri bat ateratzen da. Zenbatekoa da puxtarri hori gorria izatearen probabilitatea?12. PACCIOLIren problema (1494) : Joko zuzen edo bidezko batean bi jokalarik parte hartzen dute, bakoi-tzak 4 txanpon jarririk. 6 partida irabazten dituen jokalariak txanpon guztiak irabaziko ditu. 5 eta 3 doazenean jokoa bertan behera utzi behar izan dute.

Nola banatu behar dituzte txanponak? Pacciolik batentzat 5 eta bestearentzat 3 izan behar zutela zioen.

Froga ezazu banaketa hori okerra dela, eta mende bat geroago Pascalek Mereko zaldunari azaldu zion bezala, jokalari batentzat 7 eta bestearentzat 1 izan behar zuela.13. Joko honen beste aldaera bat da Fermatek, gutun bidez, 1654ko irailaren 25ean Pasacali ebatzi zion hau : Hiru jokalari ari dira jokoan. Jokoa n partida irabazten dituenak garaituko du. A jokalariari n partidak irabazteko partida bakarra eta B eta C-ri bina partida falta zaizkienean, jokoa bertan behera utzi behar izan dute. Nola banatu behar dute jarritako dirua?14. Tortoloxen jokoa oso ezaguna izan zen Grezia eta Erroman. Lau tortolox botatzen ziren eta gora begira gelditzen ziren alderdien arabera jokaldia hobea edo okerragoa izaten zen. Jokaldirik onena lau tortoloxek alde desberdin bana gora begira zutela gelditzea izaten zen.

"Venusen ukaldia" izenarekin ezagutzen zen, eta beste emaitza guztiek baino gehiago balio zuen. Tortoloxaren alde zabala gora begira gelditzearen probabilitatea 5 eta alde estuen probabilitatea 10 dela jakinik, zenbatekoa da "Venusen ukaldia" ateratzeko probabilitatea?

VI. Guztizko probabilitatea

E lagin espazio bateanpartizio bat, hau da bateraezinak diren segida sail bat, hau dadefinitzen bada eta j guztien bildura E bada,orduan edozein A gertaerak baldintza hauek beteko ditu :Eta horren ondorioz, gertaera horren probabilitatea honela kalkula daiteke :Berdintza honi guztizko probabilitatearen teorema deitzen zaio.• Adibideak:1. Eman dezagun bihar egingo duen eguraldia gaur egiten duenaren araberakoa dela. Gaur euria egiten badu, bihar euria egitearen probabilitatea 0,7 da, eta gaur ateri badago, bihar euria egitearen probabilitatea 0,55 da. a) Gaur euria egitearen probabilitatea 0,6 bada, zenbatekoa da bihar euria egitearen probabilitatea? b) Gaur ateri badago, zenbatekoa da etzi euria egitearen probabilitatea?Euria egin (Eu) eta ateri egon (At) partizio bat da, eta gertaera horiei dagozkien probabilitateak ezagunak dira. Zuhaitz diagramak erabiliko ditugu bi gertaera horien probabilitateak aurkitzeko :Eu-ra doazen adarrak kontuan hartu behar dira.2. Auto bat goizean lehenengo ahaleginean martxan jartzeak ala ez nagusiak autoa garajean sartu ala kalean utzi izanarekin zerikusia du. Gauean garajean gordeta egon bada, lehenengoan martxan jartzearen probabilitatea 0,8 da, eta nagusiak gau guztian kalean utzi badu, berriz, lehenengoan martxan jartzearen probabilitatea, 0,15 da. Badakigu, bestalde, nagusiak garajean sartzearen probabilitatea 0,9 dela. Nagusiak gauean autoa garajean ala kalean utzi duen ez badakigu, zenbatekoa da autoa lehenengo ahaleginean martxan jartzearen probabilitatea?Zuhaitz diagrama egingo dugu :Beraz, eskatutako probabilitatea hau izango da :

- Ariketak

15. Pertsona bat goizean garaiz jaikitzeak aurreko gauean iratzargailua jarri ala ez jartzearekin zerikusia du. Pertsona batek %90etan iratzargailua jartzen du, eta %loetan ez.

Iratzargailua jartzen duen %95etan garaiz jaikitzen da, baina iratzargailua jartzen ez duen %65etan lo gelditzen da. Zenbatekoa da garaiz jaikitzearen portzentaia?16. Ikasle batek getako klasea galtzeko duen probabilitatea 0,4koa da eta 10etako klasea galtzeko duen probabilitatea 0,35ekoa da. 9etako klasea galtzen duen %75etan loetako klasea ere galtzen du. a) Zenbatekoa da bi klaseak galtzeko duen probabilitatea? b) Zenbatekoa da loetako klasea bakarrik galtzeko duen probabilitatea?17. Tiratzaile batek helburua edo diana lortzeko duen probabilitatea 1/3 da. a) 7 jaurtialdi egiten baditu, zenbatekoa da bere helburua gutxienez bi aldiz lortzeko duen probabilitatea? b) Zenbat jaurtialdi egin behar ditu bere helburua gutxienez behin lortzeko probabilitatea 0,9 baino handiagoa izan dadin?18. Urre, kopa, ezpata eta bastoiez osaturiko karta sorta batean palo edo sail bakoitzari dagokion txota, zaldun, errege eta batekoekin 16 kartako sorta bat osatu dugu.a) Elkarren segidan hiru karta ateratzen dira.i) Zenbatekoa da hiru kartak sail berekoak izatearen probabilitatea?ii) Zenbatekoa da ateratako bi karta prezeski sail berekoak izatearen probabilitatea?b) Oraingo honetan karta bat atera ondoren, berriro sortako gainerako kartekin batera jartzen da.i) Hiru karta ateratzen dira. Zenbatekoa da hiru kartak kopakoak izatearen probabilitatea?ii) n ateratze saio egiten dira (n osoa>1). Zenbatekoa da gutxienez kopako bat ateratzearen Pn probabilitatea? Pn>0,99 izateko, zenbatekoa behar du izan n-ek?

VII. BAYESen TEOREMA

Batzuetan, lagin espazioaren partizio bat eratzen duten B ; gertaera multzo batek baldintzaturiko A gertaera baten probabilitateak ezagutuz, A gertatu delarik B ; jakin bat gertatzearen probabilitatea zenbatekoa den jakin nahi da. Hau da,probabilitateak ezagutzen dira, etaezagutu nahi da.

Hori lortzeko, badakigubetetzen dela.Beraz,Bainabetetzen denez,izago da.Berdintza honi Bayesen teorema esaten zaio. Bayes (1702-1761) matematikari ingelesa izan zen hain zuzen, era honetako problemak aztertzen hasi zen lehena. Ondorio batek kausa posible bat baino gehiago duenean, eta ondorio jakin hori gertatu delarik, horren kausa zehatza zein izan den jakin nahi denean erabiltzen da teorema hau. Horregatik deitzen zaio kausen probabilitatearen teorema ere.• Adibideak:1. Gaixotasun baten diagnosia egiteko erabiltzen den proba batek positiboa ematen du gaixotasun hori duten pertsonen %95etan eta gaixotasun hori ez dutenen %8tan. Estatistika ikasketek diotenez biztanleen %7ak du gaixotasun hori.. ) Pertsona bati proba egin diote eta emaitza positiboa eman du, baina pertsona hori baikorra denez, diagnostikoa okerra dela uste du. Zenbatekoa da diagnostikoa okerra izatearen probabilitatea?b) Beste pertsona bati ere proba bera egin diote eta negatiboa eman du, baina pertsona hori ezkorra denez, diagnostikoa okerra dela eta gaixo dagoela uste du. Zenbatekoa da asmatzeko duen probabilitatea?c) Zenbatekoa da proba honen asmatze portzentaia? ; hau da, biztanle guztiei froga egin eta froga honen emaitzen arabera zenbati esaten dio gaixo dagoela benetan hala izanik eta zenbati esaten zaio ez duela gaixotasun hori diagnosia zuzen eginik? Gaixo egoteari G eta gaixo ez egoteari G' deituko diogu, eta proban emaitza positiboa emateari S eta ez emateari S' deituko diogu.

Eskuartean ditugun datuak hauek dira :Gauzak errazteko zuhaitz diagrama egingo dugu :Lehenengo galderak era eskatzen du :Eta hiru ten galderak2. Unibertsitate batean jasotako estatistikek diotenez, irakasgai bateko klasetara ikasleen %50a bakarrik joaten da. Azken azterketen arabera ikasleen %70ak gainditu du ikasturtea. Gainditu duten ikasleen %60a ia klase guztietara joaten zen. Klasera joaten zirenen artean, zenbatekoa da gainditu dutenen portzentaia?G = gainditu eta K = klasera joan dela esango dugu. P(G) = 0,7 ; P(K) = 0,5 etaZuhaitz diagrama egingo dugu :Beraz,

- Ariketak

19. X jauna bulegora berandu iristen denean nagusiak errieta egiten dio, hurrengo egunean garaiz iristearen probabilitatea 3/4 da. Baina X jauna egun batean garaiz iristen bada, axolagabetu egiten da, eta hurrengo egunean berandu iristearen probabilitatea 1/3 da.Asteburu zoriontsu baten ondorengo astelehenean, X jauna berandu iristen da. Bila itzazu ondorengo kasuei dagozkien probabilitateak :a) Asteartean eta asteazkenean garaiz iristea.b) Asteazkenean berandu iristea.c) Asteazkenean berandu iristen dela jakinik, asteartean berandu iristea.20. Tuberkulosia detektatzeko erabiltzen den Rongten testak errore hauek ematen ditu :- Gaixo dauden pertsonen % lOa ez du detektatzen.- Osasuntsu dauden %2a gaixo dagoela esaten du.Tuberkulosiaren aurkako tratamenduan dauden pertsonak Rongten testa eginez kontrolatzen dituzte urtero. Urtetako lanaren ondorioz, urtero tuberkulosia hartzen dutenen kopurua biztanleriaren %0,07a dela jakin ahal izan da.a) Test horren arabera pertsona bat tuberkulosiak jota dagoela esateko probabilitatea, gutxi gora behera, %2koa dela frogatu.b) Kalkula ezazu testak gaixo dagoela esan duen pertsona bat benetan gaixo egotearen probabilitatea.c) Kalkula ezazu testak osasuntsu dagoela esan duen pertsona bat benetan gaixo egotearen probabilitatea.21. T ikasle talde batean %60 dira emakumezkoak eta %40 gizonezkoak. Emakumeen %30a eta gizonen %25a ez da alemaneraz mintzatzen.a) T taldeko pertsona bat hautatzen da zoriz. Kalkula ezazu pertsona hori alemaneraz ez mintzatzeko dagoen probabilitatea.b) T taldeko pertsona bat hautatzen da zoriz, eta ez da alemaneraz mintzatzen. Kalkula ezazu pertsona hori emakumea izatearen probabilitatea.22. Hiru kutxatan zenbait puxtarri ditugu, horrela :- A kutxan 3 puxtarri gorri eta 5 puxtarri beltz daude.- B kutxan 2 puxtarri gorri eta puxtarri beltz bat dago.- C kutxan 2 puxtarri gorri eta 3 puxtarri beltz daude.Kutxa bat hautatzen da zoriz. Atera dugun puxtarria gorria bada, zenbatekoa da puxtarri hori A kutxakoa izatearen probabilitatea?23. Bi kutxa ditugu, A kutxa eta B kutxa. A kutxan 8 pieza daude lokabe ; hauetatik 3, akastunak. B kutxan, berriz, 5 pieza lokabe daude ; hauetatik 2, akastunak . Kutxa bakoitzetik pieza bana ateratzen da.a) Zenbatekoa da atera diren bi piezak akatsik gabeak izatearen probabilitatea?b) Zenbatekoa da atera diren bi piezetatik bat akastuna eta bestea akatsik gabea izatearen probabilitatea?c) Piezetariko bat akastuna eta bestea akatsik gabea bada, zenbatekoa da pieza akastuna A kutxakoa izatearen probabilitatea?24. Abenduko gau batean, mendiko errepide batean, tenperatura zero azpitikoa izatearen probabilitatea 1/5 da. Izotza egin duen gau batean istripu bat izatearen probabilitatea 1/40, da; aldiz izotzik ez denean istripu bat izatearen probabilitatea 1/200 da. Kalkula itzazu ondorengo probabilitateak:a) Abenduko gau batean izotza egin eta istripua egotea.b) Abenduko edozein gautan istripu bat egotea.c) Istripua izan den abenduko gau batean izotza egin izana.25. Ikasle asko dituen unibertsitate batean egindako saiakuntzen bidez jakin da ikasleen %25a barazkijalea dela. Barazkijaleen artean %58ak betaurrekoak erabili behar ditu, eta gainerakoen artean %62ak erabili behar ditu betaurrekoak.a) Bila ezazu zenbatekoa den, unibertsitate horretan, zoriaren arabera hautatutako ikasle batek betaurrekoak erabili behar izatearen probabilitatea.b) Zoriaren arabera hautatu den ikasleak betaurrekoak erabili behar ditu. Bila zenbatekoa den ikasle hori barazkijalea izatearen probabilitatea.

Ebazpenak:

1..

2.Nahiz dadoak bereizezinak, koloretakoak edo desberdinak izan, gertaera korpurua 216 da.3. Alde bat = {A+,+A} ; Bi alde = {AA} ; Alderik ez ={++}4. Urrea atera ={Url, Ur2, Ur3, Ur4, Ur5, Ur6, Ur7, Ur10, Url l, Ur12} (oinarrizko 10 gertaera).Erregea atera = {Errege urrea (Ur12), errege kopa (Ko12), errege ezpata (Ez12), errege bastoia (Eg12)} (oinarrizko 4 gertaera).(oinarrizko 13 gertaera ; errege urreak ez du bi aldiz azaldu behar).9. Hiru dado ditugunez, kasu posibleak 6' = 216 dira. 10 batura ez da 6 eratan lortzen, 27 eratan baizik, izan ere 1,3 eta 6 zenbakien arteko batuketak egiteko erak dira 1+3+6 edo 1+6+3 edo 3+6+1 edo 3+1+6 etab. Gauza bera gertatzen da 2+2+6 eta besteekin ; guztira 27 era desberdin daude. Batura 9 denean, ordea, 25 era desberdin ateratzen dira. Beraz batura 10 ateratzea batura 9 ateratzea baino gertagarriagoa da.10. Lau jaurtialditan gutxienez seiko bat ateratzearen probabilitatea hau da:. Hogeitalau jaurtialditan gutxienez seiko bikoitza ateratzearen probabilitatea, berriz, hau da :. Beraz, gertagarriagoa da lehenengoa.12. Izan ere, irabazteko probabilitateaketadira.Ebazpenak : 13. Bidezko banaketa, banaketa horren probabilitateekin bat datorrena da; hau daA-rentzat, etaB eta C-rentzat.

Zorizko aldagai diskretua.

Banaketa binomiala

Zorizko saiakuntza batean zenbakiak, gauzak, ezaugarriak edo pertsonak izan daitezke oinarrizko gertaerak. Zenbakizko emaitzak dituen zorizko saiakuntza bati batez besteko balio bat eta barreiadura neurri bat dagozkio, saiakuntza estatistikoetan bezalaxe.

Baina kasu honetan, ez dira izango estatistika batean lortutako balioen laburpena egiteko parametroak, baizik eta zorizko saiakuntza batean itxaro diren balioak.Saiakuntza batean itxarondako emaitzak zenbakizkoak ez direnean ere, emaitzetatik zenbait kantitate atera daitezke, saiakuntza egiten duenarentzat probabilitatea kalkulatzen den gertaera bezainbateko garrantzia dutenak. Honen adibide dira, esaterako, diru apustuak. Halakoetan emaitza jakin bat ateratzearen probabilitateak, adibidez bateko bat ateratzearenak, ez du garrantzi handiegirik izango bere horretan, baina garrantzi handia hartzen du bateko hori ateratzearen probabilitateak dirua irabaztearen ala galtzearen probabilitatearekin zerikusia duenean. Termodinamika, meteorologia edo ekonomiarekin zerikusia duten probabilitatearen aplikazioetan emaitza posibleak zenbakizkoak izaten dira, eta halakoetan, garrantzizkoena, itxarondako balioa eta emaitzen barreiadura ezagutzea izaten da. Beste batzuetan gertatu ohi da saiakuntzaren emaitza zenbakizkoa izan arren, emaitza horretatik lortzen diren beste batzuk izatea benetan garrantzitsuak. Beraz, edozein motako zorizko saiakuntza batean elkarri loturiko bi problema azalduko zaizkigu: alde batetik zorizko saiakuntza baten emaitzetatik abiatuta zenbakizko aldagai bat definitzea, eta bestetik aldagai horren probabilitate banaketaren parametroak aurkitzea.Atal honetan zorizko aldagai funtzioa aztertuko da lehenik.

Zorizko aldagai funtzioak zorizko saiakuntza bateko emaitzak zenbakizko balioekin erlazionatzeko bidea ematen du. Horrela definitutako aldagai bati dagozkion probabilitate banaketek balio horietarako itxaroten den batez bestekoa eta desbideratze tipikoa bilatzeko balio dute; baina badira sarriago azaltzen direlako arreta berezia eskatzen duten banaketa batzuk ere. Ikasgai honetan banaketa binomiala eta Poissonen banaketa ikusiko dira.

I. Zorizko aldagaia

Hiru txanpon jaurtitzerakoan, txanpon bakoitzean aldea edo ifrentzua aterako da. Emaitza posible guztiek eratzen duten lagin espazioa hau izango da :Guztira 8 elementu daude. Alde gehien ateratzen dituenak irabazten badu jokoa, oinarrizko emaitza bakoitzari zenbaki bat ematen zaio :Horrela, "zoriz hiru txanpon jaurti" saiakuntzatik abiatuta zorizko aldagai bat definitu da. Saiakuntza berean beste zorizko aldagai batzuk defini genitzakeen ; hala nola ifrentzu kopurua, edo alde eta ifrentzu arteko diferentzia, edo zorizko saiakuntza honetan emaitza bakoitzari zenbaki bat emateko dauden eratatik beste edozein.Oro har, E lagin espazioa duen edozein zorizko saiakuntza emanik, E eta zenbaki errealen arteko edozein aplikaziori deitzen zaio X zorizko aldagaia.

II. Probabilitate funtzioa Bi dado jaurti eta emaitzen batura

Joko batean hiru txanpon botatzen badira eta ateratzen den alde kopurua kontatzen bada, kontuan hartu behar diren probabilitateak alde kopuruen zorizko aldagaiaren balioei dagozkienak dira. Eman dezagun oinarrizko gertaera guztiak gertatzeko probabilitate bera dagoela, hau da gertaera ekiprobableak direla guztiak ; kasu horretan probabilitate hauek dagozkie gertaera bakoitzari :Aldagaiaren balioen eta probabilitatearen arteko korrespondentzia hau beste funtzio bat da. Funtzio honi hiru txanpon jaurtitzean ateratzen diren alde kopurua zorizko aldagaiaren probabilitate funtzioa edo probabilitate legea deitzen zaio.X aldagai diskretu baten probabilitate funtzioa deitzen zaio; zorizko aldagaiaren balio bakoitzari, aldagaiak balio hori izateko duen probabilitatea elkartzen dion f aplikazioari :Balio bakoitzari dagokion probabilitate funtzioaren irudia kalkulatzeko, balio horri dagozkion oinarrizko gertaeren probabilitaten batuketa egiten da. Balio gutxi direnean balio taula baten bidez azaltzen da funtzioa."Hiru txanpon jaurtitzean ateratako alde kopurua kontatu " adibidean :"bi dado jaurti eta emaitzen batura" aldagaiari, berriz, ondoko taula dagokio :Eta aurreko ataleko 2. adibideari, loteriarenari, dagokion taula:"Dado bat jaurti eta 6ko bat atera arte jaurtitzen jarraitu" saiakuntzan ezin da taularik egin, infinitu balio har ditzakeelako.

Horren ordez, eta espresio aljebraiko baten bitartez ematen da aditzera funtzioa, i zorizko aldagaiaren balio bakoitzarentzat ondoko probabilitatea ematen duen espresioaren bidez :Hain zuzen, eskatutako 6a, lehenengo aldiz i. jaurtialdian ateratzen da [bere probabilitatea 1/6 da], aurreko i-1 jaurtialdietan beste zenbaki bat atera delarik [bere probabilitatea. Gertaera hauek elkarren artean independenteak direnez, probabilitateada.Ikasleen garaiera aipatzen zuen adibidean, eta zorizko aldagaia jarraitua den kasu guztietan, aldagaiaren balio bakoitzari ezin zaio probabilitate jakin bat ezarri ; hori dela eta, zorizko aldagai jarraituak beste era batera definitzen dira. Baina definizio hori hurrengo gaian ikasiko da.Zorizko aldagai diskretuen probabilitate funtzioak, aldagai estatistiko diskretuak bezalaxe, barra diagramen bidez irudikatzen dira.Propietateak :Aldagaiaren edozein balioren probabilitateak positiboak edo nuluak dira, eta beraien arteko baturak bat balio du. n balio desberdin ditugunean, zera egiaztatzen da :Zorizko aldagai diskretua infinitua denean, baturak jarrai bat osatzen du, baina batura horrek ere bat balioa behar du izan :

- Ariketak

l. Lau pertsonentzako lau pakete ditugu (pakete bana bakoitzarentzat) . Bakoitzari dagokion paketea eman ordez, zoriaren arabera banatzen dira. Izan bedi X dagokion paketea jasotzen duen pertsona kopurua adierazten duen zorizko aldagaia. Zein da X-en probabilitate funtzioa?

III. Banaketa funtzioa

Zorizko aldagai baten balio batekiko banaketa funtzioak balio hori edo txikiagoa ateratzearen probabilitatea ematen du. Aldagai estatistikoetako maiztasun metatuen parekoa da. Baliagarria izaten da, balio bakoitzaren probabilitatea txikia denean, eta bereziki taldetan bildutako balioen probabilitatea jakin nahi denean.X zorizko aldagai diskretu baten F banaketa funtzioa esaten zaio; balio bakoitzari-ren balio bereko probabilitatea edo balio hori baino probabilitate txikiagoa elkartzen dion funtzioari :"Hiru txanpon jaurtitzean ateratzen den alde kopurua kontatu" adibidean :"Bi dado jaurti eta emaitzen batura kalkulatu" saiakuntzan :Loteriaren saiakuntzan ezin da funtzio hau erabili, baina bai "6 bat atera arte dadoa jaurti" saiakuntzan. Kasu honetan, banaketa funtzioen bidez aise aurki daitezke «lehenengo 6a lortzeko bost jaurtialdi baino gehiago behar izatearen probabilitatea» edo «lehenengo 6a hirugarren eta seigarren jaurtialdien artean lortzearen probabilitatea» . Ariketa honetan, zorizko aldagaiak infinitu balio hartzen ditu, baina balio guztien probabilitatea txikia da eta balio bakoitzari dagokion probabilitatearen eta gainerako balioei dagokien probabilitateen arteko aldea ez da handia. Probabilitate funtzioaren taulako lehenengo balioak hartu eta probabilitateak laugarren hamarrenean, hau da hamarmilarenean biribilduz, ondoko taula lortzen da :Eta taula honi dagokion banaketa funtzioa :Banaketa funtzioa ezagutu ondoren, lehenengo 6a lortzeko bost jaurtialdi baino gehiago behar izatearen probabilitatea jakiteko ondoko eragiketa egin beharko da :. Eta lehenengo 6a hirugarren eta seigarren jaurtialdien artean, biak barne, lortzearen probabilitatea jakiteko, berriz :

F(x) banaketa funtzioaren propietateak

1. F(x) funtzioa beti positiboa eta gorakorra da.2. Zorizko aldagai diskretuaren lehenengo balioa baino lehenagoko banaketa funtzioa zero da ; aldagaia finitua bada, azken balioaren ondorengo banaketa funtzioa konstantea da, eta 1 balioa izango du.3. F(x) funtzioa konstantea da zorizko aldagaiaren bi balioen artean, beraz funtzio mailakatua da.Propietate hauen ondorioz, banaketa funtzioen grafikoak funtzio mailakatuak dira.

- Ariketak

2. Ongi orekatutako txanpon bat lau aldiz jaurtitzen da. Izan bedi X lortutako alde kopurua.a) Kalkula ezazu probabilitate banaketa edo probabilitate legea. Irudika ezazu lege horri dagokion barra diagrama.b) Bila ezazu banaketa funtzioa.3. Bi dado perfektu jaurtitzen dira. Izan bedi X lortzen diren bi zenbakien artean txikiena adierazten duen zorizko aldagaia. Kalkula ezazu probabilitate banaketa . Bila ezazu banaketa funtzioa eta funtzio honi dagokion diagrama irudikatu.

IV. Zorizko aldagai diskretu baten batez bestekoa eta desbideratze tipikoa

Zorizko aldagaietan, aldagai estatistikoetan bezalaxe, zentralizazio parametro bat definitzen da, batez bestekoa, balio bakar baten bidez adierazten duena aldagaiak hartzen duen balio multzo osoa.

Horrez gainera bariantza eta desbideratze tipikoa ere definitzen dira, baina bi hauek, aurrekoa ez bezala, barreiadura parametroak dira, eta emaitzak bilduta ala sakabanatuta dauden adierazten dute.Zorizko aldagai diskretu finitu baten batez bestekoa edo itxaropen matematikoa aldagai horren; balio bakoitzaren eta balio bakoitzari dagokion pi probabilitatearen arteko biderkadura guztien batura da, non i 1-etik n-raino doan. Batez bestekoa edo itxaropen matematikoa adierazteko, E(x) edo X erabiltzen da :Aldagai estatistikoei dagokien batez besteko aritmetikoarenbaliokidea da. Baina estatistikan, batez bestekoak atera diren balioen batez bestekoa adierazten duen bezala, probabilitatearen alorrean ateratzea espero den balioen batez bestekoari dagokio, eta hori dela eta itxaroen p edo eserantza p matematiko ere deitzen zaio.a Adibideak:1. Dado bat jaurtitzerakoan lor daitezkeen balioak 1, 2, 3, 4, 5 eta 6 dira, eta bakoitzaren probabilitatea 1/6 da. Batez bestekoa, beraz, ,hau da :2. Hiru txanpon jaurti eta ateratzen den alde kopurua kontuan sartzen bada, saiakuntza horren batez bestekoa hau da :3. Bi dado jaurti eta ateratzen diren zenbakien batura kontuan sartzen bada, berriz, batez bestekoa hau da :4. Lehenengo gaiko bigarren adibidean aipatu den loteriaren tasuan, irabazien batez bestekoa hau da :Zorizko aldagai diskretu infinitu baten batez bestekoa kalkulatu iahi izanez gero, zailtasunak handiagoak izan daitezke, aldagai finiua definitzen duen baturak jarrai bat osatzen duelako eta horrek :onbergentzia arazoak sor ditzakeelako :• Adibidea :1. 6 atera arte dado bat jaurti eta 6koa lortzeko behar izan diren aurtialdiak kontatzen badira, batez bestekoa hau izango da :Aurreko berdintzari azken berdintza kentzen badiogu :Kortxete artean azaltzen den zaria,arrazoia duen progresio geometriko indeterminatu edo infinitua a, beraz bere batura hau da:Hori dela etaHau da

Bariantza eta desbideratze tipikoa

x; balioak bere pi probabilitateekin (i, letik n-ra doa) hartu etabatez bestekoa duen X zorizko aldagai diskretu baten bariantza, ondorengo eragiketa honen emaitza da :Bariantza adieraztekozeinua erabiltzen da.Zorizko aldagai baten desbideratze tipikoa bere bariantzaren erro karratua da, eta s adierazten da.• Adibidea:Dado bat jaurtitzerakoan lor daitezkeen balioak 1, 2, 3, 4, 5 eta 6 dira, bakoitzaren probabilitatea 1/6 da, eta batez bestekoa 3,5 da, bariantza eta desbideratze tipikoak ondoren adierazten direnak izango dira :"bi dado jaurti eta ateratzen diren zenbakiak batu" saiakuntza kontuan hartzen bada, batez bestekoa 7 da, eta bariantza eta desbideratze tipikoak hauek izango dira :Lehenengo galderako loteriaren adibidean batez bestekoa 0 zela ikusi zen. Bere bariantza eta desbideratze tipikoak hauek izango dira :Emandako bariantzaren formulan azaltzen den binomiotik abiaturik:Kontuan harturik probabilitateen bat dela, eta bigarren gaiko batukaria denez batez bestekoa, bariantzaren formula berri bat lortzen dugu, kalkuluak egiteko errazagoa:

- Ariketak

4. Kutxa batean 8 gai ditugu, hauetatik 3 akastunak.

Zoriaren arabera, kutxatik bi gai ateratzen dira. Kalkula ezazu ateratako gai akastunen kopuruari dagokion itxaropen matematikoa.5. Bi dado perfektu ditugu. Lehenengoaren aldeetan 1, 2, 3, 4, 5 eta 6 jartzen du, eta bigarrenaren aldeetan 1, 1, 1, 2, 2, 3. Bi dadoak jaurtitzen dira, eta lortutako bi zenbakien arteko biderkadura X zorizko aldagaia da. Bila itzazu X- en batez bestekoa, bariantza eta desbideratze tipikoa.6. Zorizko aldagai batek 1, 2, 3, 4, 5, 6 balioak hartzen ditu, eta balio hauen probablitateak 0, l ; 0,2 ; 0, l ; 0,3 ; 0,1 ; eta 0,2 dira. Kalkulatu E(X) edoeta V(X) edo7. Ongi orekatutako txanpon bat lau aldiz jaurtitzen da.a) Izan bedi X zorizko aldagaia, 2. ariketan aztertu den lortutako alde kopurua. Kalkulatu X-en batez bestekoa, bariantza eta desbideratze tipikoa.b) Y zorizko aldagaiak, txanpona lau aldiz jaurtitzerakoan elkarren segidan ateratzen den alde kopururik handiena adierazten du. Kalkulatu Y-ren probabilitate funtzioa edo legea, batez bestekoa, bariantza eta desbideratze tipikoa.8. Alboratua dagoen txanpon bat alde bat edo bost ifrentzu atera arte jaurtitzen da. Txanpona horrela alboratua dago : p(aldea) = 1/3 eta p(ifrentzua) = 2/3.

Kalkula ezazu jaurtiketa kopuruari dagokion itxaropen matematikoa.9. Bi dado perfektu jaurtitzen dira. Izan bedi X lortzen diren bi zenbakien artean txikiena adierazten duen zorizko aldagaia (3. ariketan ikusi den bezala) Kalkula itzazu X-en batez bestekoa, bariantza eta desbideratze tipikoa.10. Azterketa batera bost hautagai aurkezten dira. Azterketa hori hautagaien %40ak gainditzen du. Izan bedi X azterketa hori gainditzen duen hautagai kopurua.

Kalkula itzazu X-en probabilitate funtzioa edo legea, E(X), V(X),

V. Tchebychefen desberdintza

Zorizko aldagai baten batez bestekoa eta desbideratze tipikoa nola definitu diren kontuan izanik, balio gehienak batez bestekotik hurbil egongo direla esan daiteke. Nahiz zorizko saiakuntza batean nahiz bestelakoetan, emaitzatartean edotartean egotearen probabilitateak oso handia izan behar luke. Tchebychefen desberdintzak horixe frogatzen du, baldintza orokorretan, probabilitate horrentzat gutxieneko borne bat ematen duela.Hori frogatzeko bariantza hartzen da oinarri :.tartean gutxienez daude emaitzen proportzioa jakin nahi bada :Hiru batugaiak positiboak dira. Bigarrena kentzen badugu, horrela geldituko litzateke :Bi batukarietandela egiaztatzen da, beraz,-ren ordezjarriko balitz, horrela geldituko litzateke :Baina parentesi artean dauden probabilitateen batura, aztergari denaren aurkako gertaeraren probabilitatea da ; hau da,da..sinplifikatuz, eta probabilitatea bakartuz, hau lortzen da :Desberdintza hau Tchebychefen desberdintza izenaz ezagutzen da. Aldagai arruntenetan borne hau erraz gainditzen da. Hurrengo gaian ikusiko den bezala, banaketa normalean,-ren balioa, gutxi gora behera, 0,6826 da, eta Tchebychefen desberdintzak ez du ezer ziurtatzen.inserted textinserted text

Bidezko jokoak: itxaropen matematikoa

Joko bat bidezkoa edo ekitatiboa da irabazteko zailtasuna lor daitekeen sariaren mailakoa denean. Traineru apustuetan aritzen diren askok A trainerua B trainerua baino lau aldiz hobea bada, ziur aski A traineruak irabaziko duen arren, B traineruaren alde apustua egitea hobe dela uste dute, batez ere irabaz daitekeena galduko litzatekeenaren laukoitza bada. Zoriaren araberako joko askotako partehartzaileek ideia horren arabera jarduten dute : "irabaztea zaila izan arren, irabazten bada jasoko den saria, seguruenik, galduko dena baino askoz ere handiagoa izango da". Matematikoki honela adieraziko litzateke ideia hau: bidezko joko batean itxaropen matematikoak zero izan behar du. Adibidez, lehen ikasitako loteriaren jokoan, zenbaki bakar bat zegoen saritua, baina itxaropen matematikoa zero zela eta, sariaren tamainak saria lortzeko zegoen zailtasuna berdintzen zuen.Joko bat aldekoa da itxaropen matematikoa positiboa denean, hau da, irabaztea espero daitekeenean, eta kontrakoa itxaropen matematikoa negatiboa denean. Kalkulu hauek guztiak egiten direnean, irabazitako dirua positibotzat eta galdutakoa edo txartela erosterakoan ordaindutakoa negatibotzat hartu behar dira.Zorte onak edo txarrak sor ditzakeen gorabeherak alde batera utzita, kalkulu honek, joko bat jokatzen hasi aurretik dirua irabaz daitekeen ala ez esango digu kalkulu honek.• Adibideak:1. A eta B jokalariek dado bat jaurtitzen dute. Zenbaki txikiena ateratzen duenak 1.000 pta. emango dizkio zenbaki handiena atera duenari batek atera duenaren eta besteak atera duenaren artean dagoen puntu bakoitzeko. Joko hau bidezkoa edo ekitatiboa al da?Bai, bidezkoa da. Irabazi aldagaiaren banaketa hau da :eta batez bestekoa :Beraz bidezkoa edo ekitatiboa da.2. ONCEk egiten duen zozketa bakoitzean 100.000 zenbaki sartzen dira, eta zenbaki bakoitzak 100 serie edo kupoi ditu. Kupoi bakoitza 100 pezetatan saltzen bada, eta jokoa bidezkoa izatea nahi bada, zenbat eman beharko lukete saritan : a) «zenbakia asmatu» sari bakarra egongo balitz, eta b) »¢zenbakia eta seriea asmatu» gertaerak jasoko balu saria.a) Guztira 100.000 zenbaki ditugu eta bakarra da aldekoa; beraz:etaJokoa bidezkoa izateko :.honi kupoia erosteko ordaindu ditugun 100 pezetak gehitu behar zaizkio. Beraz jokoabidezkoa izateko hamar milioi pezetako saria eman behar luteke.b) Salgai jartzen den kupoi kopurua 100.100.000 = 10.000.000 da.

Irabazle bakarra zenbakia eta seriea asmatzen dituena bada, honi kupoia eros- 0 000 090 )' teko ordaindu ditugun 100 pezetak gehitu behar zaizkio. Beraz, jokoabidezkoa izateko mila milioi pezetako saria eman behar lukete.3. Loto edo "Loteria primitiva" delakoak letik 49ra zenbakituriko 6 zenbakitan 6 marra behar dira. Txartel bakoitzak 100 pezeta baliodituela suposatzen da. Jokoa bidezkoa edo ekitatiboa izateko, zenbatekoa izan behar du sariak,a) Saria sei zenbakiak asmatzen dituenei bakarrik ematen bazaie?b) 5 asmatzen dutenen artean eta Eak asmatzen dituztenen artean diru kopuru bera banatzen bada?a) Kasu posibleakdira. Txartel bakarra jokatzen bada aldeko kasua bakarra da:Beste denak aurkakoak dira :Jokoa bidezkoa izateko :izan behar du; beraz x=1.398.381.500. Honi txartela erosteko ordaindu ditugun 100pezetak gehitu behar zaizkio. Jokoa bidezkoa izango da, saria 1.398.381.600 pezetatakoab) Sei zenbakiak asmatzeko aukera bakarra dugu, baina 5 zenbaki asmatzeko 6.43=258 (6, atera diren sei zenbakietarik edozein oker jar daitekeelako eta 43 oker dagoen horren ordez gelditzen den edozein jarri daitekeelako) aukera desberdin ditugu. Seirak asmatu dituenak x irabazten badu, bostak asmatu dituztenek ere x irabaziko dute ; hau da hauetariko bakoitzak x/258 irabaziko du.Jokoa bidezkoa izateko :izan behar du; beraz x=699.177.850 eta bost asmatu dutenentzatizango litzateke. Honi txartela erosteko ordaindu ditugun 100 pezetak gehitu behar zaizkio. Jokoa bidezkoa izangoda, sariak 699.177.950 eta 2.710.091,7 pezetatakoak direnean.4. "Chuck-a-luck" iparrameriketako feria joko bat da. Joko honetan letik 6ra bitarteko zenbaki baten alde apustu egiten da bankuaren aurka.

Bankuak hiru dado jaurtitzen ditu. Apusturako hautatu dugun zenbakia behin azaltzen bada, hasieran jarritakoa eta beste hainbeste ematen du bankuak. Bi aldiz ateratzen bada apustuan jarritakoari honen bikoitza gehitzen dio. Eta hiru aldiz ateratzen bada apustuan jarritakoa eta honen hirukoitza itzultzen du bankuak. Zenbatekoa da irabazteko itxaropena?Eman dezagun 3 zenbakiaren alde 100 pezeta jokatu ditugula. Hiruhiruko ateratzearen probabilitateada, bi hiruko ateratzearen probabilitatea, eta hiruko bat ateratzearen probabilitatea. Hirukorik ez ateratzearen probabilitateada. Beraz, jokalariak duen irabaztekoitxaropena hau izango da :Beraz, jokoa ez da bidezkoa. Bankua daukanak irabazteko aukera gehiago ditu, eta beraren aurka jokatzen duenak galtzeko batez besteko itxaropena %7,87koa da.Legeak onartzen dituen joko gehienak ez dira bidezkoak. Espainian loteriako diruaren %30a eta kinieletako diruaren %45a ez dira saritan banatzen. Kiniela edo zaldi lasterketetako apustuetan, Frantziako tierce delakoetan adibidez, ongi informatuta dagoen jokalari batek beste jokalari batek baino apustu gehiago asma ditzake, eta irabazien galera hori probabilitateen hobekuntzarekin berdin dezake. Baina horretarako gaizki informatuta dauden apustulari dezentek parte hartu behar dute.

VI. Banaketa binomiala

Zorizko aldagai batek emaitza edo balio gutxi dituenean, zuzenean kalkula daiteke aldagai honi dagokion probabilitate funtzioa, taula baten edo barra diagrama baten bidez. Kasu gehienetan, zorizko aldagaiaren balio bakoitzari dagokion probabilitatea ematen duen adierazpen aljebraiko baten bidez ematen da. Esapide hauek zorizko aldagaiak bete behar dituen hipotesi batzuetatik lortzen dira. Azterketa sakonagoa merezi dute horietan ohikoenak, alegia zorizko aldagai diskretuen banaketa binomialak eta zorizko aldagai jarraituen banaketa normalak.Banaketa binomiala, edo Bernoulliren banaketa, zorizko n oinarrizko saiakuntzez osaturiko saiakuntza batean asmatze kopurua zenbatekoa den jakin nahi den kasuari dagokion banaketa da. Banaketa batek, binomiala izateko, zera bete behar du :1. Oinarrizko esperientzia bakoitzak bi aukera bakarrik izan ditzake : asmatu (arrakasta) A edo huts egin (porrota) (H), eta aukera horien probabilitateak dira :2. Saiakuntza n aldiz egiten da, eta zorizko saiakuntza asmatze kopurua edo arrakasta deritzana izango da.3. Saiakuntza bakoitzeko arrakasta edo porrotaren probabilitateak aurreko saiakuntzakoekin ez du zerikusirik izan behar. Hau da, p eta q balioak konstante mantenduko dira n saiakuntzetan.Bi banaketa binomial desberdinak dira saiakuntza errepikatzen den n aldi kopurua edo oinarrizko saiakuntza bakoitzeko p probabilitatea desberdinak direnean. Hauek dira banaketa binomiala zehazten duten parametroak, eta hori dela eta, banaketa hau izendatzeko B(n, p) idazten da.• Adibideak:1. Txanpon bat bost aldiz jaurtitzen da, eta 3 alde ateratzearen probabilitatea ezagutu nahi da. Saiakuntza honetan bi aukera bakarrik daude, aldea edo ifrentzua atera, eta beraz lehenengo baldintza betetzen du. Ateratzen den alde kopurua eskatzen duenez, bigarren baldintza betetzen du. Txanponen jaurtialdi guztiak elkarren independenteak direnez, hirugarren baldintza ere betetzen du, beraz B (5, 1/2) banaketa binomial bat da.2. Europako biztanleriaren %50 emakumezkoez osatua da.

Zoriaren arabera 6 pertsona hautatzen dira eta horietariko 2 emakume izatearen probabilitatea ezagutu nahi da. Saiakuntza honetan aldiko hautatzen den pertsonaren sexua zein den zehazten da. Saiakuntza bakoitzean bi aukera bakarrik ditugu emakumea izan ala ez izan. Aldagaia emakume kopurua da. Eta probabilitatea finkoa da : 0,5. Beraz hau ere B (6 ; 0,5) banaketa binomial bat da.3. Aurrekoaren antzekoa izan arren banaketa binomiala ez den adibide bat azalduko da orain :Hamar pertsonek osatzen duten talde batean erdiak emakumeak dira eta beste erdiak gizonak. Bila ezazu talde horretatik zoriaren arabera hautatutako sei kideren artean bi emakume bakarrik izatearen probabilitatea.Kasu honetan ez da hirugarren baldintza betetzen. Izan ere, taldea 10 pertsonek bakarrik osatzen dutenez, lehenengoa emakumea izatearen probabilitatea 5/10 da, baina lehenengoa emakumea izanik bigarrena emakumea izatearen probabilitatea 4/9 da. Aurreko adibidean honek ez zuen zerikusirik, izan ere hartu den populazioa hain handia zenez, elementu bat gutxiago kontuan hartzeak ez zuen emaitza aldatzen.Banaketa binomial baten probabilitate funtzioaIkus dezagun banaketa binomial baten adibidea : 6 txintxeta berdin jaurtitzen dira. Txintxeta hauek buruz (B) edo puntaz (P) geldi daitezke, gertaera bakoitzaren probabilitateak P(B) = 0,6 eta P(P) = 0,4 dira, eta puntaz zenbat gelditzen diren jakin nahi da. B(6 ; 0,4) banaketa binomial bat da.4 puntaz eta 2 buruz gelditzearen probabilitatea zenbatekoa den jakiteko, lehenengo lauak puntaz eta azken biak buruz gelditu direla pentsatuko dugu. Gertaera honen probabilitatea hau da :Baina hau ez da 4 puntaz eta 2 buruz gelditzeko era bakarra ; PPBBPP edo PBPPBP aukerak ere badira. 6 txintxetatik lau puntaz gelditzeko era desberdin guztiak, launaka harturiko sei elementuren konbinazioak, hau dakalkulatuz lortzen dira. Beraz,Oro har, B(n, p) banaketa binomial batean, metodo bera erabiliz k arrakasta lortzeko formula hau erabiliko dugu :Hau da saiakuntza binomial bati dagokion probabilitate funtzioa . Banaketa funtzioa, berriz, aurretik lortutako emaitzak batuz lortzen da :

Banaketa binomial baten batez bestekoa eta desbideratze tipikoa

Ariketaren enuntziatua edozein dela ere, banaketa binomial guztietan probabilitatearen banaketa funtzioa berdina izateak aukera ematen du batez bestekoa eta desbideratze tipikoa kalkulatzean n eta p-ren balioen mende bakarrik dauden formulak erabiltzeko .B(n, p) banaketa binomialaren batez bestekoa hau da :Bariantza kalkulatzeko :Eta hortik,eginez eta batukaritik kopuru konstanteak atereaz :Azken batukariak, probabilitate guztien batura denez, 1 balio du.

Bigarrena, batez bestekoaren definizioa da. Eta lehenengoarentzat, x=k-ren probabilitatea ateratzeko dagokion formula erabiliz eta konbinazio zenbakia sinplifikatuz, zera lortzen da :Etadenez, gehiago sinplifika daiteke :Beraz desbideratze tipikoaizango da.• Adibideak:1. Txanpon bat 10 aldiz jaurtitzen da. Zenbatekoa da 5 alde ateratzearen probabilitatea? Zenbat balio dute batez bestekoak eta desbideratze tipikoak?Banaketa binomial bat da ; izan ere, bi aukera, aldea edo ifrentzua, bakarrik daude. Jaurtialdi bateko emaitzak ez du zerikusirik hurrengo jaurtialdiko emaitzarekin. Eta zorizko aldagaia, ateratzen den alde kopurua da. n = 10 eta p = 0,5 denez, banaketa binomiala B(10 ; 0,5) da.2. Test batean 10 galdera daude, eta galdera bakoitzak 4 aukera ditu, horietatik bakarra zuzena. Pertsona batek zoriaren araberaerantzuten du.a) Zenbatekoa da 5 galderak asmatzearen probabilitatea?b) Zenbatekoa da galdera guztiak asmatzearen probabilitatea?c) Zein da, ezer jakin gabe erantzuten duenaren asmatze kopuruaren batez bestekoa? Zein desbideratze tipikoa?d) Tchebychefen desberdintza erabiliz, eman itzazu ezer ez dakitenek emandako erantzunen %75 baino gehiago biltzen dituen tarteari dagozkion bi mugak.B(10 ; 0,25) banaketa binomiala da.d) Tchebychefen desberdintza erabilizateratzen da, beraz eskatutako %75a 0 eta 5,23 noten artean egongo da.3. Pertsona bat eta bere ama urteko egun berean, urte bisiestoak kontuan hartu gabe, jaio izanaren probabilitatea 1/365 da. Milioi bat biztanleko biztanleria batean zenbat kasu izango dira, batez beste? Zein da banaketa honen desbideratze tipikoa?Adibide honetan ikusten denez, hurbilketarik egin gabe ariketa hauek askatzeko posibilitatea n-ren balioaren mende dago. Balio hau oso handia denean probabilitatea kalkulatzea oso zaila da, baina batez bestekoa eta desbideratze tipikoa kalkulatzea oso erraza da.• Adibidea :Garbigailu fabrika bateko produktuen % 1 ak akatsak ditu. 10 garbigailu hartzen badira, zenbatekoa da horietako 4 akastun izatearen probabilitatea?Egunero 50 garbigailu egiten badira, zenbatekoa da akastunak bi baino gutxiago izatearen probabilitatea?Urtero 1.000 garbigailu egiten badira, zenbatekoa da akastunak 5 baino gehiago eta 10 baino gutxiago izatearen probabilitatea?Zenbatekoa da urtero espero den garbigailu akastunen batez besteko balioa? Zenbatekoa bere desbideratze tipikoa?

n eta k-ren balio desberdinetarako banaketa binomialaren probabilitate balioak.

- Ariketak

11. Gaitasun test batean sei galdera azaltzen dira, eta galdera bakoitzerako hiru erantzun posible daude. Hiru erantzun posible horietatik, bakarra da zuzena.ai) Zenbatekoa da jarritako lehenengo galdera zuzen erantzutearen probabilitatea?aii) Zenbatekoa da jarritako galderetatik bat bakarrik zuzen erantzutearen probabilitatea?aiii) Zenbatekoa da jarritako sei galderetatik lau zuzen erantzutearen probabilitatea?aiv) Zenbatekoa da jarritako sei galderak zuzen erantzutearen probabilitatea?av) Zenbatekoa da bosgarren galdera zuzen erantzun, eta erantzun hori zuzen erantzuten duen bigarrena izatearen probabilitatea?avi) Lehenengo biak ongi erantzun direla jakinik, zenbatekoa da hiru galdera zuzen erantzutearen probabilitatea?b) Gutxienez lau erantzun zuzen emanda hautagaiak testa gainditzen du. Zenbatekoa da hautagaiek testa gainditzeko duten probabilitatea?c) Hautagaiak zuzen emandako erantzun kopurua X zorizko aldagaiak adierazten badu, kalkulatu X- en itxaropen matematikoa eta bariantza.12. Joko bat irabaztearen probabilitatea 0,8 da. 12 aldiz elkarren segidan jokatzen bada, zenbatekoa da 12-tik 7- tan irabaztearen probabilitatea? Kalkulatu itxaropen matematikoa eta desbideratze tipikoa.13. Hazi bat ernamuintzearen probabilitatea 0,98 da.

Lorazain batek dituen 400 lorontzietako bakoitzean hazi bana jartzen du. Kalkula ezazu zenbat lorontzitako hazia ernamuintzea espero den eta zenbatekoa den desbideratze tipikoa.14. Futbolari batek penalti bat jaurtitzerakoan gola sartzeko duen probabilitatea p = 0,70 da.ai) Zenbatekoa da jaurtitzen dituen 5 penaltietatik 3 gol sartzearen probabilitatea?aii) Zenbatekoa da jaurtitzen dituen 5 penaltietatik gutxienez 3 gol sartzearen probabilitatea?aiii) Zenbatekoa da jaurtitzen dituen 5 penaltietatik 2, 4 eta 5. jaurtialdietan bakarrik gol sartzearen probabilitatea?b) Zenbatekoa da gutxienez 0,95eko probabilitatearekin gutxienez gol bat sartzeko egin behar duen jaurtialdi kopururik txikiena?c) Beste jokalari batek (B), jaurtitako hiru penaltietatik gutxienez batean gola sartzeko du 0,90eko probabilitatea du. Zenbatekoa da jokalari honek jaurtialdi bakar batean gola sartzeko duen probabilitatea?15. Iker eta Jokinek 5 partiduko tenis lehiaketa batean parte hartzen dute. Elkarren aurka jokatzen dutenean, Ikerrek irabazteko duen probabilitatea 3/5 da.a) Zenbatekoa da, Ikerrek zehazki hiru partidu irabazteko duen probabilitatea?Beste batean ere Iker eta Jokinek beste lehiaketa batean parte hartzen dute. Lehiaketa hiru partidu irabazten dituenak irabaziko du.Oraingo honetan ere, Ikerrek partidua irabazteko probabilitatea 3/5 bada,b) Zenbatekoa da hiru partidu jokatu ondoren Ikerrek lehiaketa irabazteko duen probabilitatea?c) Zenbatekoa da lau partidu jokatu ondoren Ikerrek lehiaketa irabazteko duen probabilitatea?d) Zenbatekoa da Ikerrek lehiaketa irabazteko duen probabilitatea?16. Loteria batean 20 txartel saltzen dira. Hauetatik 3 txartelek saria dute. Pertsona batek 10 txartel erosten ditu.a) Kalkula ezazu, erosi dituen hamar txartel horien artean, zenbatekoak diren hurrengo gertaeren probabilitateak :i) Txartel saridun bakar bat izatearena.ii) Gutxienez txartel saridun bat izatearena.b) Saria duten hiru txartel horietako batekin 100 franko irabazten dira, eta beste biekin 50na franko.

Erositako 10 txarteleko sorta bati lortutako irabazia elkartzen dion X zorizko aldagaia kontuan harturik, bila X-en probabilitate legea eta kalkulatu E(X) batez bestekoa eta 6(X) desbideratze tipikoa.17. Joko bat irabazteko probabilitatea 0,75 da. Joko hori 7 aldiz jokatzen da. Kalkula ezazu, jokoa 5 aldiz irabazteko dagoen probabilitatea. Zein da banaketa lege honen irabaztea itxaron ditzakedan joko kopuruaren itxaropen matematikoa?18. Lantegi batean industriarako pieza elektronikoak egiten dira, eta egiten diren piezen %7 akastuna dela ikusten da. Kalkula ezazu 10 pieza dituen kaxa batean gutxienez bat akastuna izatearen probabilitatea.19. Berrehun pertsonek galdera bati erantzuten diote, erantzunak zuzenak (Z) edo okerrak (O) izan daitezkela.

Erantzun okerra ematearen probabilitatea, aldi bakoitzean, 0,25 da. Erantzunak elkarren independenteak direla suposatuz, bila erantzuna zuzena emango duela espero den pertsona kopuruari dagokion probabilitate funtzioa eta kalkulatu bere itxaropen matematikoa.

VII. Poissonen banaketa

Poissonen banaketa, aplikazio praktiko asko dituen probabilitate diskretuko beste banaketa bat da. Zorizko aldagaia diskretu infinitua da, nahiz eta aintzat hartzeko probabilitateak balio txikiei dagozkienak izan, eta zorizko aldagaia infiniturantz doanean probabilitateak zerorantz jo. Praktikan, kontuan hartzeko probabilitateak dituzten balioak finituak dira.Denbora tarte finko batean gertaera bat zenbat aldiz betetzen den kontatzea den zorizko saiakuntza, baldintza jakin batzuk beteaz, Poissonen banaketaren adibide bat da. Bete behar dituen baldintzak hauek dira : - Denbora banako bakoitzeko, gertaera bat betetzearen probabilitateak konstantea izan behar du.

- Aldi berean, ezin dira gertaera baten bi egoera gertatu.- Une jakin batean gertaera jakin bat gertatu izanak ez du zerikusirik lehenago gertatu izan edo ez izanarekin.Egoera honen adibide gisa, zirkulazio gutxi duen errepide batetik ordu jakin batean, adibidez goizeko bostetatik seietara, pasatzen den auto kopurua har daiteke. Edo, ordu jakin batean, adibidez goizeko hamarretatik hamaiketara, bulego batean sartzen den jende kopurua, bezero asko ez dituenean. Adibide hauek ez dira baliagarriak iharduera txikiko eta handiko aldiak batera hartuko balira edo pertsonak eta autoak taldeka pasatzeko joera balute..  saiakuntza kopurua oso handia eta arrakasta lortzeko p probabilitatea oso txikia denean banaketa binomialaren hurbilketa gisa ere erabili daiteke Poissonen banaketa. Limitean, hau da, saiakuntza kopurua infiniturantz doanean, banaketa binomiala Poissonen banaketa bihurtzen da.Adibidez : Torloju fabrika batean urtero hamar milioi pieza egiten badira, eta torloju bat akastuna izatearen probabilitatea %0,001 bada, zenbatekoa da torloju akastunen kopurua 50 eta 150 bitartekoa izatearen probabilitatea? Ezinezkoa ez bada ere, 150naka harturiko hamar milioiren konbinazioak kalkulatzea oso astuna da, horregatik hobe da Poissonen banaketa erabiliz hurbilketa bat egitea..  infiniturantz doanean banaketa binomialeko probabilitate funtzioaren limiteak Poissonen banaketako probabilitate funtzioaren formula lortzeko balio du. Binomialetik Poissonenera dagoen urratsa egitean kontuan hartzen da arrakasta kopuruen batez bestekoak bere horretan irauten duela, hau da i=np finko dagoela. Datu honekin, Poissonen banaketa erabat finkaturik gelditzen da.eginez, arrakastarik ez lortzearen probabilitatea hau izango da :Aldagaiaren ondoz ondoko bi baliori dagokien banaketa binomialeko probabilitate funtzioaren formulak alderatuz, eta ondoren ahal dena sinplifikatuz, erlazio hau lortzen da :Bi espresio hauetan limiteak aplikatuz n oo-rantz doanean, hau ateratzen da :Hau da, limiteanBi berdintza hauetatik abiatu eta errekurrentzia metodoa erabiliz Poissonen banaketako probabilitate funtzioa lor daiteke :Banaketa binomiala erabiliz lortzen diren emaitzak, Poissonen banaketara hurbilketa eginez lortzen diren emaitzen antzekoak direla ikusteko, hurrengo adibideko emaitzak alderatuko ditugu :20 pieza ditugu, eta akastunak izatearen probabilitatea %4 da.

Aztertutako piezetatik bat, bi, etab. pieza akastun izatearen probabilitatea lortuko da, alde batetik B(20 ; 0,04) banaketa binomiala erabiliz, eta bestetik Poisson(0,8) banaketa erabiliz, izan ereda.Ondorio bera atera daiteke bien barra diagramak alderatzen badira ere.Poissonen banaketa baten batez bestekoa p dela eta bere bariantzarekin bat datorrela, hau da

Poissonen banaketen probabilitate funtzioa

- Ariketak

20. Pertsona bat makinaz idazten ari da, eta idazten dituen 1.000 karaktereko 3 akats egiten ditu batez beste. Gutxi gora behera 1.000na karaktere dituen hiru orrialde idatzi behar baditu, kalkula ezazu, banaketa binomiala eta Poissonen hurbilketa erabiliz, zenbatekoa den orrialde bakar bat zuzendu behar izatearen probabilitatea.2 1. Biltzar batean 1.000 pertsona bildu dira, kalkula ezazu zenbatekoa den bi biltzarkideren urtemuga abenduaren 31n izatearen probabilitatea. Zenbatekoa da bat etortze edo kointzidentzia kopururik probableena?22. Ordu batzuetan ehungailu batek egiten duen lana aztertu da, eta anezkaren 10.000 pasa aldiko sortutako hausturak kontatu eta ondoko taula osatu da

VIII. Beste banaketa batzuk

Banaketa binomiala eta Poissonen banaketaz gainera, gai honetan beste bi banaketa diskretu ikusiko ditugu : uniformea eta geometrikoa . Ikas daitezkeen beste asko daude, baina bi hauek dira hemen aztertuko diren azkenak.Dado bat jaurti eta ateratzen den zenbakia idaztea, banaketa diskretu uniformearen adibide bat da. 6 balio daude, letik 6ra, eta denek probabilitate bera dute :Oro har, balioak l etik n-ra baldin badoaz, probabilitatearen legeada.letik n-ra bitarteko balioak hartzen dituen banaketa diskretuuniforme batean, batez bestekoada, eta bariantza6 bat atera arte dado bat jaurti eta egin diren jaurtialdiak kontatzea, banaketa diskretu geometriko bat da. Edozein banaketa geometrikori dagokionprobabilitate funtzioada.probabilitate funtzioaren batez bestekoada eta berebariantzada.

Bestalde, badago k = l etik hasteko ordez k = 0tik hasten denbanaketa geometrikoa. Banaketa honen adibide gisa har daitke ondokoa: jokalari batek dato bat jaurtitzen du ; 6 ateratzen badu 1.000 pta. irabaziko ditu, bestela jokoa bertan behera geldituko da.

Adibide honetako zorizko aldagaia, jokalariak joko honekin irabazten dituen milaka pezetak dira. Hau izango litzateke bere probabilitate funtzioa :Oro har, k milakoen probabilitatea hau da.Era honetako banaketa diskretu infinituak adierazteko G o (p) erabiltzen da, eta banaketa funtzioada.Batez bestekoada, eta bariantza

Formularioa

Ebazpideak

Zenbaki irrazionalen balioak hamarmilarenera eta ehunmilarenera biribildu dira.10. Probabilitate funtzioa ;Ariketa hau errazago ebatzi daiteke B(5 ; 0,4) banaketa binomial bat dela kontuan hartuz gero.

Zorizko aldagai jarraituak.

Banaketa Normala

I. Zorizko aldagai jarraituak

Zorizko aldagai diskretuek aldez aurretik ezagunak diren balioetatik kopuru finito bat (edo infinito zenbagarria) besterik ezin dezakete hartu. Atal honetan tarte bateko balio guztiak, baita edozein balio erreal ere, har dezaketen zorizko aldagaiak kontuan hartuko dira. Halakoak, zorizko aldagai jarriak dira.Biztanleria bateko elementu bakoitza bere altuerarekin elkartzen duen aldagaia, makina batek egindako pieza bakoitza bere pisuarekin elkartzen duena, edo autobus-geltoki jakin batean autobusa hartzen duten pertsona bakoitzak autobusa hartzeko itxaron behar duten denborarekin elkartzen duen aldagaia, zorizko aldagai jarraituaren adibideak dira.Zorizko aldagai diskretuaren eta jarraituaren arteko desberdintasuna, horiek definitzen dituzten bi funtzioetako irudi-multzo desberdinetan dago. Desberdintasun horiek direla eta, zorizko aldagai jarraituari dagokion probabilitate trataera, zorizko aldagai diskretuari dagokionarengandik oso desberdina da. Zorizko aldagaia jarraitua denean, ezin da aldagaiaren balio posible bakoitzari bere probabilitatea elkartzen dion X-en probabilitate legea definitu ; izan ere, aldagaiak balio infinito desberdin ditu, eta bakoitzari dagokion probabilitatea, oro har, nulua izango da. Gainera, horrela izango ez balitz, probabilitate guztien baturak, normalean, infinito emango luke. Adibidez, [a,b] tartean definitutako banaketa uniforme bat hartzen bada, non tarteko zenbaki guztiek probabilitate bera dutela uste den, zenbaki bakoitzari dagokion probabilitatea kalkulatzeko Laplaceren legea erabiltzeko aukera izanez gero, hori zero izango litzateke ; izan ere, aldeko kasua bakarra izango litzateke eta kasu posibleak infinitoak. Edo biztanleria bateko altueren adibidea kontuan hartuz gero, zoriaren arabera hautatutako pertsona batek 1,73 metro neurtzeko probabilitatea zenbatekoa den jakin nahi bada, probabilitate hori zero da. 1,732 neurtzeko probabilitatea oraindik txikiagoa izango zen. Eta metro bat eta 732050 mikra neurtzearen probabilitatea ez litzateke kontuan hartzeko modukoa izango i3 metroko (hau da 1,732050807... metroko) altuera izateari dagokion probabilitateak nulua izan beharko luke. Berez, lehenengo kasuetan, altuera biribilduz, 1,73 ematean probabilitatea bilatzen da; hau da, altuera [1,725, 1,735] tartean egotea bilatzen da, edo altuera 1,732 denean, [1,7315, 1,7325] tartean egotea bilatzen da, eta abar.Ariketa hori ebazteko era uler dadin, aurreko adibidean bezala tarteetan taldekatzen den aldagai jarraitu bat hartzen da. Baina balio zehatz bat ikasi ordez, zorizko aldagai jarraitua diskretu bezala lantzerakoan lortzen diren histogramen aldakuntza aztertuko da.• Adibidez :Kimika arloko enpresa bateko kontrol-sailak produktu bateko botilen edukien bolumena 210 zentimetro kubikokoa den jakin nahi du. Horretarako 1.000 botila hartzen dituzte eta horien bolumena zentimetro kubikotan neurtzen dute. Banaketa hau lortzen dute :Emaitza hauei dagokien histograma hau da :Lauki zuzen guztien azaleren batura bat da. Maiztasun guztiak positiboak dira, eta zentimetro batzuetako zabalera duen tarte bateko maiztasuna zenbatekoa den jakin nahi denean, tartean dauden balioen maitasunak edo dagozkien lauki zuzenen azalerak batuko dira. Adibide gisa, azpimarratutako zatiaren azalera eta botilen bolumena [206, 211 ] tartekoa izateko probabilitatea bera da.Zentimetro kuboak neurtzen dituen tresna bat erabilti ordez, zentimetro kubo laurdenak neurtzen dituen bat erabiliz gero, baliotaula berriak aurreko taulak baino lau aldiz emaitza gehiago izango lituzke, eta emaitza bakoitzari dagokion maiztasun erlatiboa txikiagoa izango litzateke. Honek histograma hau emango luke :Probabilitatearen eta histogramako goialdeko lerroaren azpian dagoen azaleraren arteko erlazioa ez da aldatuko.Zentimetro kubotan neurtzeko ordez milimetro kubotan neurtzen bada, eta lagineko botila-kopurua gehitzen bada, eta eskalak aldatzen ez badira, dagokion histogramako eskilara-mailak ia ez dira igarriko eta kurba baten antza izango du. Baina kurba hori beti ardatz horizontalaren gainetik egongo da, beti positiboa da, eta kurba eta ardatz horizontalaren arteko azalera osoak bat balio du.

Tarte bateko probabilitatea, tarteko mugen artean eta kurbaren azpian dagoen azalera kalkulatuz lortzen da. Tarteen zabalerak zerorantz egiten badu, batura hori integral batean bihurtuko da.

II. Zorizko aldagai jarraitu baten dentsitate-funtzioa

X zorizko aldagai jarraitu bat emanik, f funtzio erreal bat, zorizko aldagaiaren dentsitate-funtzioa da ondokoa betetzen duenean :1. x-en edozein baliotarako, f(x) ez-negatiboa da.2. X, [x,x+h] tartean egotearen probabilitatea, tarte horretan f(x)-eri dagokion kurbaren azpiko azalera da.3. Kurbaren azpiko azalera osoak 1 balio du.Definizio hau erabiliz, aldagaiaren balioa [x l ,xZ ] tartean egotearen probabilitatea, integral honen bidez kalkulatzen da :Zorizko aldagaien balioak a eta b-ren artean badaude, hirugarren baldintza honako honen baliokidea da :Zorizko aldagaia zenbaki erreal guztientzat definituta badago, integral hau beste honetan bihurtzen da :Definizio honen ondorio logiko bezala, aldagaiaren balio zehatz baten probabilitatea nulua dela esan dezakegu.• Adibidea:Emandako tarte batean, adibidez [1,51 tartean, banaketa uniformea duen zorizko aldagai baten dentsitate-funtzioa definitu nahi da. Banaketa uniformea delako probabilitateak konstantea izanbeharko du. Hau da, dentsitate-funtzioa y = k izango da. k-ren balioa zein den jakiteko :Kasu honetan dentsitate-funtzioa hau izango da :

III. Banaketa-funtzioa

Zorizko aldagai jarraituetan tarte bati dagokion probabilitatea, Barrow-en erregela erabiliz, integral mugagabe baten goiko muturreko balioa eta beheko muturreko balioaren arteko diferentzia bezala lortzen da. Kasu honetan, aldagai baten balio bakoitzarentzako balio hori edo balio txikiagoen probabilitatea ematen duen banaketa-funtzioa oso erabilgarria izango da ; izan ere, horrela, probabilitateak zuzenean lortu daitezke.[a,b] tartean definitutako X zorizko aldagai jarraituaren F banaketa-funtzioa honela definitzen da :Zorizko aldagaiaren dentsitate-funtzioak honako itxura hau baldin badu:Banaketa-funtzioa hau izango da :Aldagaiak zenbaki erreal guztientzat balioak hartzen dituenean, berriz, definizioa hau izango da :Propietateak :Definiziotik ondorio hauek atera daitezke :1. Banaketa-funtzioaren deribatua dentsitate-funtzioa da :F'(x) = f(x)2. F(x) gorakorra da ; hau da :bada, orduanda.

3.• Adibidea :Bilatu edozein [a,b] tartean definitutako zorizko aldagai jarraitu uniforme baten banaketa-funtzioa.Oro har, banaketa uniforme bati dagokion dentsitate-funtzioa hau da :Azken hau integratuz lortzen den banaketa-funtzioa hau da:

- Ariketak

1. Zorizko aldagai jarraitu baten dentsitate-funtzioa ondokoa da:a) Bila bere banaketa-funtzioa.b) Bila zenbatekoa den lortutako balioa 1/2 eta 1 balioen artekoa izatearen probabilitatea.2. Zorizko aldagai jarraitu baten banaketa-funtzioa hurrengoa da :

IV. Zorizko aldagai jarraitu baten parametroak

Zorizko aldagai jarraituentzat, diskretuentzat bezalaxe, batez bestekoa bezalako zentralazizaio parametroa eta bariantza edo desbidatze tipikoa bezalako barreiadura parametroak defini daitezke.Balioak [a,b] tartean hartu, eta f(x) dentsitate-funtzioa duen zorizko aldagai jarraitu baten Batez bestekoa edo Itxaropen Matematikoa, honako integral honen emaitza da :Aldagai jarraituentzat emandako definizioa hau, aldagai diskretuentzat emandako batez bestekoaren definizioaren baliokidea da.• Adibidea :Bilatu [1,5] tartean definitutako funtzio uniformearen batez bestekoa .Dentsitate-funtzioa hau da :Balioak [a,b] tartean hartu, eta f(x) dentsitate-funtzioa duen zorizko aldagai jarraitu baten d' bariantza hau da :Edo sinplifikatuz :Zorizko aldagai jarraitu baten desbideratze tipikoa bariantzaren erro karratua da eta-ren bidez adierazten da.• Adibidea:[a,b] tartean definitu, eta U(a,b)-ren bidez adierazitako banaketa jarraitu uniforme bat emanik, bila bere batez bestekoa eta bere desbideratze tipikoa.Banaketa uniforme bati dagokion dentsitate-funtzioa hau da :Beraz batezbestekoa hau izango da :Desbidazio tipikoa kalkulatu aurretik bariantza kalkulatuko dugu :Sinplifikatuz hau gelditzen da:Beraz desbidazio tipikoaren balioa hau izango da :

- Ariketak

3. Zorizko aldagai batek balio erreal positiboak hartzen ditu, eta bere dentsitate-funtzioada, batez besteko bezala 1 duen banaketa esponentziala.a) Dentsitate-funtzioak bete behar dituen baldintzak betetzen dituela egiaztatu.b) Bilatu F(X) banaketa-funtzioa.c) Bilatu batez bestekoa.d) Bere mediana bere batez bestekoa baino txikiagoa dela egiaztatu.e) Bilatu bariantza.4. X zorizko aldagai jarraitu bati dagokion banaketa-funtzioa hau da :

V. Zorizko alda aien artean eragiketak ditugunean, batez bestekoa eta bariantza kalkulatzeko era

Y zorizko aldagaia, ezaguna den beste X zorizko aldagai baten konbinazio lineala bezala definituta dagoenean, hau da, a eta b zenbaki errealak direlarik, Y = aX + b denean, batez bestekoaren definiziotik ondorio hau atera daiteke :Mendekotasuna lineala izan ordez, beste edozein h(X) erakoa bada, ezin esan daiteke E(h(X)) eta h(E(X)) berdinak direnik.Z aldagaia, elkarren artean linealki askeak edo independenteakdiren X eta Y zorizko bi aldagaien batura bada, (Z = X + Y bada),E(Z) = E(X) + E(Y) dela egiaztatzen da.X eta Y linealki independenteak ez direnean, E(Z) = E(X) + E(Y) dela ezin ziurta daiteke.Era berean, zorizko aldagai baten bariantza adierazteko V(X) erabiltzen bada, eta Y=aX+b bada, bariantzaren definizioa erabilita hau lortzen da :X eta Y aldagaiak independenteak badira, eta Z = X + Y bada, V(X+Y) = V(X) + V(Y) beteko da.Beti ere, dagozkien batez bestekoak eta bariantzak existitzen direnean.• Adibidea:zorizko aldagai jarraituak independenteak badira, eta dagozkien batez bestekoak :etabadira eta dagozkien bariantzak :etabadira, bilatualdagaiaren batez bestekoa eta bariantza.Independenteak direlako :.

VI. Banaketa normala

Banaketa normala, zorizko aldagai jarraituen artean askotan ematen den banaketa legea da. Normalaren antzeko banaketak lortzen dira gizakien, animalien edo landareen garaierak, pisuak edo luzerak lantzen direnean. Iritzi edo produktu baten kontsumoari dagozkien inkestak ere banaketa normalaren antzekoak dira. Makina batek egiten dituen piezen luzeren aldakuntzak, edo beste makina batek betetzen duen likido-kopurua, edo saiakuntza zientifiko batean egiten diren nahigabeko erroreak ere banaketa normalaren antzekoak dira. Azterketa bat gainditzen duen pertsona-kopurua, edo talde baten adimen-kozientea eta, oro har, emaitzak alderdi askoren mende daudenean, balioen banaketak lege hau jarraituko duela pentsa daiteke.

Banaketa normal bati dagokion dentsitate-funtzioa hau da :Formula honetanzorizko aldagai honen batezbestekoa eta 6-k zorizko aldagai honen desbideratze tipikoa adierazten dute. Banaketa normalaren ezaugarriak batez bestekoa eta desbideratze tipikoa direnez, banaketa normala adieraztekoerabiltzen da.

Funtzio honen grafikoa espresio algebraikoa baino ezagunagoa da, kanpai itxura baitu.Funtzio hau eta bere grafikoa, neurketa bat egiterakoan egiten diren nahigabeko erroreak nola banatzen diren ikasteko proposatu zituen Gauss-ek. Horregatik, Gauss-en kanpaia esaten zaio.Banaketa-funtzioen propietate orokorrak betetzeaz gain, funtzio honek beste hauek betetzen ditu :1. Bere mendeko-eremua zenbaki errealen multzoa da.2.zuzenarekiko simetrikoa da.

3.puntua maximoa da.

4. Bi inflexio-puntu dituetaabsizetan.

5.-rantz doanean, OX ardatza asintota horizontala da.Aldagai normal baten banaketa-funtzioa hau da :Zoritxarrez,erako funtzioen jatorrizko funtzioak ez dira funtzio elementalak, eta hori horrela izanik, banaketa-funtzioko balioak denbora laburrean zein diren jakiteko taulak erabili behar dira. f(x) funtzioaren balioaketabalioen arabera aldatzen dira.

µ-ren balioa handiago edo txikiago denaren arabera, kanpaia eskuinerago edo ezkerrerago egongo da.-en balioa zenbat eta handiagoa izan, orduan eta zorrotzagoa izango da kanpaiaren muturra, eta balioa zenbat eta txikiagoa izan, orduan eta zapalagoa izango da kanpaia.Hori dela eta, banaketari dagozkion tauletaneta

Banaketa normala 1 Banaketa-funtzioaren taula

Banaketa normala 2 Banaketa-funtzioaren taula

Taulen erabilera

Bi taula erabiltzen dira, bata x-en balio positiboentzat eta bestea x-en balio negatiboentzat. Liburu batzuetan balio positiboen taula bakarrik azaltzen da, balio negatiboen kalkulurako funtzioaren simetria erabiltzen delarik :Liburu honetan azaltzen diren tauletako lehenengo zutabean, x aldagaiaren balioa hamarren batez azaltzen da. Ehunena zutabeen gainean dagoen lerroan irakurri behar da. Adibidez, x = -2,13ri dagokiona kalkulatzeko, -2,1 lerroko laugarren zutabea aukeratuko dugu, zutabe horrek gainean hiruko bat duelako. -2,13 balioari dagokion banaketa-funtzioa, -2,1 lerroa eta hiru zenbakia daraman zutabea gurutzatzen diren tokian azaltzen den zenbakia da :N(0,1) aldagai batekiko taula hauekin, tarte bat emanik bere probabilitatea kalkulatu daiteke, edo probabilitatea emanik bere tartea kalkulatu daiteke.A. Probabilitatea kalkulatu1. Kalkula ezazu zenbatekoa den x, x 0 balio bat baino txikiagoa izateko probabilitatea :izan ere, ezinezko gertaera ez izan arren,da.Adibidez, P(x<2,43) zuzenean kalkulatzen da tauletan ; izan ere F(2,43) = P(x<2,43) = 0,992452. Kalkula ezazu zenbatekoa denbalio bat baino handiagoa, -do handiagoa edo berdina izateko probabilitatea :Adibidez, P(x>0,74) kalkulatzeko P(x>0,74) + P(x<0,74) + P(x=0,74) = 1 berdintza erabiltzen da, P(x=0,74) = 0 dela kontuan izanik.3. Kalkula ezazu zenbatekoa den x aldagaia xetabalioen artekoa izatearen probabilitatea :Horretarako berdintza hau erabiltzen da :Adibidez,Taulak erabiliz, bi hamarren dituzten aldagaiaren balioei dagozkien probabilitateak lortu daitezke. Balioek hiru hamarren edo gehiago dituztenean, banaketa-funtzioa bilatzeko zenbakia bi hamarrenen bidez biribil daiteke, edo zehatzago egin nahi izanez gero, hurbilen dituen bi balioen arteko interpolazio lineala egin daiteke . Milarenak kalkulatzeko, lehenbizi, kalkulatzen da gainetik eta azpitik hurbilen dauden bi hamarren dituzten balioen probabilitateen arteko kenketa. Kendura hori 1 Oez zatitzen da eta milarenez biderkatzen. Balio baten banaketa-funtzioa bilatu nahi denean, balio hori positiboa bada, azpitik dagoen balioaren probabilitateari gehituko zaio. Balio baten banaketa-funtzioa bilatu nahi denean, balio hori negatiboa bada, gainetik dagoen balioaren probabilitateari kenduko zaio. Horren bidez, biribiltzea baino hobea den hurbilketa lineal bat lortzen da, zehatza ez bada ere.Adibidez, P(x<1,746) kalkulatu nahi bada,biribildu etaegin daiteke.Baina balio zehatzagoa lortu nahi bada, F(1,74) = 0,95907, eta F(1,75) = 0,95994 hartuko dira. Ondoren horien arteko kenketa kalkulatuko dugu : F(1,75) - F(1,74) = 0,95994 - 0,95907 = 0,00087. Hamarrez zatituta 0,000087 lortzen da, eta seiz biderkatuta 0,000522 ateratzen da ; biribilduta 0,00052 atertzen da.

Azkenik F(1,74)-ri dagokion balioari gehituz, F(1,746) _ 0,95959 da.B. Probabilitatea emanik, aurkitu aldagaiaren balioa 1.dela badakigu etazenbat den jakin nahi da.Probabilitatea 0,5 baino txikiago denez, zenbaki negatibo bati dagokio. 0,05938 zenbakia negatiboen taulan bilatuz, -1,5 lerroa eta 6ari dagokion zutabea elkartzen diren tokian dagoela ikusten da ; berazda.Probabilitatea 0,5 baino txikiago denez, zenbaki negatibo bati dagokio. 0,05938 zenbakia negatiboen taulan bilatuz, -1,5 lerroa eta 6ari dagokion zutabea elkartzen diren tokian dagoela ikusten da ; beraz2.da. BilatuTauletan begiratzen badugu, F(0,67) = 0,74857 eta F(0,68) _ 0,75175 dela ikusi dezakegu. Halakoetan, nahi izanez gero,

- Ariketak

5. N(0,1) banaketa normal batekiko Z zorizko aldagai bat emanik, kalkula itzazu probabilitate hauek :6. Bilatu hurrengo adibideetan kurba normalaren azpian eta abzisen artean dauden azalerak :

VII. Aldagaiaren tipifikazioa

Taula hauek ez dira erabilgarriak izaten edozein banaketa normalerako,batez bestekoaren balioa 0 ez denean, edodesbideratze tipikoaren balioa 1 ez denean. Baina aldagai aldaketa erraz bat egitea nahikoa da, taula hauek erabiliz probabilitateak irakurtzeko. Aldaketa horri, aldagaiaren tipifikazioa esaten zaio.Adibide gisa, gizon askoren altuerek banaketa normal bat jarraitzen dute, batez bestekoaeta desbideratze tipikoadirelarik. Zoriaren arabera elementu bat hartzen bada : a) bilatu zenbatekoa den 1,70 baino gehiago neurtzearen probabilitatea, eta b) bilatu zenbatekoa den 1,95 baino gutxiago neurtzearen probabilitatea.Batez bestekoa 0 duen aldagai bat izateko, aldagai bezala x-1,78 hartzen da, eta desbideratze tipikoak 1 izan behar duenez, 0,14-z zatitzen da. Hau da, aldagai laguntzaile bezala z = (x-1,78)/0,14 hartzen da. Orduan :Oro har, tipifikatutako aldagaia z bada,normaleko x aldagai arruntetik, N(0,1) normaleko z aldagaira dagoen urratsa horrela ematen da:Aldaketa hauen justifikazioa horrela azaltzen da : X aldagaiaknormala jarraitzen badu,aldagaiak N(0,1) normala jarraituko du, izan ere orokorrean Y = aX+b bada etabada, orduanda.• Adibidea :Eskolaurreko haurren altueren batez bestekoak banaketa normala jarraitzen du, batez bestekoaeta desbideratze tipikoadirelarik. Kalkulatu hurrengo gertaeren probabilitateak :a) Aldagaia batez bestekoa baino txikiagoa edo handiagoa izatearen probabilitateak 0,5 izan behar du. Tauletan F(0) = 0,5 dela ikus daiteke.Hurrengo hiru galderei erantzutekoaldaketa egin behar da.Batez bestekoarekiko diferentziaeta abar... duen balioekiko probabilitateen banaketak ez du zerikusiriketabalioekin.eta abarren probabilitateak, aurreko adibidean lortutakoak dira beti. Portzentaien laburpena hurrengo grafiko honetan azaltzen da :

- Ariketak

7. Pertsona multzo baten pisuak N(72,8) normalaren arabera banatzen dira. Bilatu pertsona batek :a) 80 kg. baino gehiago pisatzearen probabilitatea.b) 60 kg. baino gutxiago pisatzearen probabilitatea.c) 70 eta 75 kg.-ren arteko pisua edukitzearen probabilitatea .8. Irakasle bat azterketa bat zuzentzen ari da, eta emaitzak N(6,8 ; 1,35) normal legea jarraitzen dutela konturatzen da.

Azterketa egin duten % 10ari «bikain», % 15ari «oso ongi» eta %30ari «gutxiegi» jartzeko asmoa dauka. Ze notatik aurrera jarriko du bikain, oso ongi edo gutxiegi?9. Txokolate-barra batek 100 gramo pisatzen ditu, baina egia esan, pisua ez da erabat zehatza eta N(101,1 ; 3,8) normalaren arabera banatzen da.a) Txokolate fabrikak, txokolate-barrak, gutxienez 95 gramo pisatzen dituela ziurtatu behar du. Zenbatekoa da, zoriz hartutako barrak, baldintzak ez betetzearen probabilitatea?b) Tresnerian moldaketa batzuk egin dira eta orain, N(99,3 ; 2,6) banaketa normala jarraitzen du. Oraingo honetan, edozein barrak, jarritako gutxineneko pisuaren baldintza betetzea, errazagoa al da?10. 70 km/h lastertasun mugatua duen errepide batean, autoen lastertasuna N(74 ; 11,8) banaketa normalera hurbiltzen dela konturatu da polizia.a) 75 km/h lastertasuna gainditzen dutenei isuna jartzea erabaki dute. Zenbateko probabalitatea du zoriz hautatutako auto batek isuna jasotzeko?b) 85 km/h lastertasuna gainditzen dutenei hamar aldiz handiagoa den isuna jartzen badiete, zenbatekoa da, zoriz hautatutako kotxe batek, isun gogorra jasotzeko probabilitatea?c) 100 km/,h lastertasuna gainditzen duten gidariei gida baimena kentzen diete. Zenbatekoa da, zoriz hautatutako gidari batek, gida baimenik gabe gelditzeko duen probabilitatea?d) Isunen ondoren, gidariek abiadura gutxitu egiten dute eta orain N(71,3 ; 7,6) banaketa normala jarraitzen du.

Hori dela eta, agintariek erabaki dute lastertasun muga baino bizkorrago doazen kotxeen % 1 Oari jartzea bakarrik isuna. Isunen mugak zein lastertasunean egon beharko du?11. Donostiako Kontxako uraren tenperaturak uztailean, gradu zentigradotan eta goizeko 1 letan, N(21 ; 3,2) banaketa normala jarraitzen duela esan daiteke. F = (9/5)C + 32 dela jakinik, eman batez bestekoa eta desbideratze tipikoa Farenheit gradutan.

VIII. Asimetria eta zapalketa

Banaketa normala simetrikoa da, baina Poissonena adibidez ez.

Zorizko banaketa baten simetria neurtzeko hirugarren ordenako momentua deritzana erabiltzen da ; hau da. Zorizko aldagai baten bigarren ordenako momentua bariantzak ematen du, eta lehenengo ordenakoa, berriz, batez bestekoak. Erabilitako unitateek informazioa aldatu ez dezaten, hirugarren ordenako momentuazatitzen da. Asimetria koefizientea edo alborapena hau da :Banaketak simetrikoak direnean, alborapena zero da. Banaketauniforme eta normalak asimetria zero dute. Poissonen banaketakasimetria koefizientea du, etafuntzio esponentzialaren asimetria koefizienteak 2 balio du.Batzuetan, komenigarria izaten da jakitea normalera hurbiltzen den banaketa normala baino zapaldua dagoen ala ez. Horretarako zapaltasun-koefizientea edo kurtosia erabiltzen da. Balio hori lortzeko, laugarren ordenako momentua desbideratze tipikoaren laugarren berreduraz zatitzen da.Banaketa normala denean, koefiziente honek 3 balio du. Banaketa normala baino zapalduagoa denean kurtosiaren balioa 3 baino txikiagoa izaten da, eta zorrotzagoa denean kurtosiaren balioa 3 baino handiagoa izaten da. Poissonen banaketaren zapaltasun-koefizientearen balioa

Limitearen Teorema Zentrala

Zorizko aldagai jarraituen ikasketan banaketa normalak duen garrantzia azaltzen du limitearen teorema zentralak. Edozein banaketatan batez bestekoabada, eta desbideratze tipikoabada,, n emaitzeko lagin bat hartzen da. Lagin horretako x batez bestekoa kalkulatzen da. Ñ batez besteko hori zorizko aldagaia bezala har daiteke. Laginaren emaitzakopurua infinitorantz doanean,zorizko aldagaiak jarraitzen duen banaketa normalera hurbiltzen da. Zehazki, n infinitorantz doanean,aldagaiak N(0,1) banaketa normal murriztua jarraitzen du.Abiapuntu bezala hartzen den banaketa uniformea edo esponentzialaizan daiteke , n elementuko lagineko batez bestekoak

Formulak

IX. Banaketa normala, banaketa binomialaren hurbilketa bezala

B(n,p) banaketa binomial bat,(k, 0 eta n arteko balioak hartzen ditu) probabilitate-funtzioa duen banaketa diskretu bat da. Bere batez bestekoaeta bariantzadelarik, erraz kalkula daitezke. Balio baten edo, n txikia denean, balio batzuen probabilitatearen kalkuluak ez dauka inolako zailtasunik, baina n saiakuntza kopurua handitzen denean oso zaila bihur daiteke. n handia eta p oso txikia direnean, Poissonen banaketak hurbilketa ona eskaini dezake, zorizko aldagai diskretuen gaian ikusi den bezalaxe. Baldintzak orokorragoak direnean, banaketa binomiala banaketa normalaren bidez hurbildu daiteke, B(n,p) banaketa binomialaren ordez batez besteko eta desbideratze tipiko bera duenbanaketa normala hartuz.Hurbilketa honen baliagarritasuna, B(n ; 0,2) n=10, 20, 30 eta 50 denean lortzen diren maiztasun-poligonoak alderatuz ikus daiteke.n hazten doan eran, p finko batekiko hurbilketa hobetzen doala ikus daiteke. Era berean n finko mantentzen bada, 0,5etik hurbilen dauden p probabilitatearen balioak dira normalera gehien hurbiltzen den banaketa eskaintzen dutenak. Banaketa binomial bati jarri behar zaizkion baldintzak normal baten bidez lortu nahi den hurbilketa onargarria izateko, bilatu nahi den zehaztasunaren mendedaude. Oro har, npq>9 izatea eskatzen da, baina np>3 eta np>3 ere erabiltzen da.Tarteko kasu bat hartuko dugu : B(16 ; 0,5). Kasu honetan np = nq = 8>3 da, baina npq = 4<9 da, eta bestalde, banaketa binomial honetanetada. B(16 ; 0,5) banaketa binomiala eta N(8 ; 2) banaketa normalaren funtzioen balioak alderatuz, hau lortuko genuke :Balioak hurbil samar daudela ikus daiteke, baina edozein x baliorentzat, normaleko F(x) funtzioa binomialeko funtzioa baino txikiagoa da beti. Sistematikoa den diferentzia hau, banaketa binomiala diskretua eta banaketa normala jarraitua delako sortzen da ; hau da, bi balio hartzen baditugu, adibidez 6 eta 6,5, normalaren probabilitate-banaketan aldaketa bat nabarmentzen da, baina binomialaren probabilitate-banaketan, 7 zenbaki osora iritsi arte ez da aldaketarik nabarmenduko.Banaketa binomialean aldagaiak zazpi balioa hartzeari dagokion probabilitatea kalkulatu nahi bada :N(8,2) banaketa normalean, berriz, edozein banaketa jarraituan balio diskretuekin gertatzen denez, P(x=7) = 0 izango da.Probabilitatea bilatzeko ordez,denean, x-enbalioa ezagutu nahi bada, banaketa normalarekindenez, x = 7,2 lortuko litzateke ; baina binomialarekin ez genuke balio zehatzik lortuko, 7 eta 8-ren artean egon beharko lukeela soilik. Dena dela, aldagaia osoa denez ezin du 7,2 balioa hartu ; halakotan, emaitza biribilduz, soluzio bezala 7 emango litzateke.

Horrela egin behar da (6,5, 7,5) tarteko edozein baliorekin.

Alderantziz, aldagai binomialeko 7 balioarentzat aldagai normaleko (6,5, 7,5) tartea hartu behar da. Beraz, arrazonamendu hau kontuan hartuz, banaketa normal hurbilduarekin P(x=7) kalkulatzeko horrela egin behar da :Zuzenean kalkulatutako probabilitatearen eta banaketa normalaren hurbilketa erabiliz lortu den probabilitatearen arteko diferentzia milaren batekoa da.Aldaketa hau kontuan hartu behar da banaketa binomial bat banaketa normal baten bidez hurbiltzerakoan. Beharrezkoa den doitze honi jarraitasun-zuzenketa esaten zaio, eta aldagaia binomiala x-en bidez, eta aldagai normala y-ren bidez adierazten badira, horrela azaltzen da :• Adibidea:1. Ongi orekatuta dagoen txanpon bat 1.000 aldiz jaurtitzen da, eta aldea ateratzeko aukera 450 eta 500 artean egotearen probabilitatea zenbatekoa den jakin nahi da. [P(450(x(500)]B(1000 ; 0,5) banaketa binomial bat da, baina binomialaren probabilitate-funtzioa erabiliz kalkulatzen oso zaila da. Kasu honetandenez, normalarekin egindako hurbilketak emaitza ona eman behar du. Hurbilketa egiten den normalak batez besteko bera du :eta bariantzadenez, desbideratze tipikoaizango da.Aldagai binomiala adierazteko x, hurbildutako aldagai normalerako y eta murriztutako aldagai normalerako z erabiliz gero :2. Dado bat 500 aldiz jaurtitzen da, eta 6 emaitza 70 eta 120 artean egotearen probabilitatea zenbatekoa den jakin nahi da, muturrak baztertuta.

Aldagaiadenez, hurbilketa ona izango da. Hurbileko banaketa normalaren batez bestekoaizango da, bariantzaeta desbidazio tipikoaizango da. Aldagai binomiala adierazteko x, hurbildutako aldagai normalerako y eta murriztutako aldagai normalerako z erabiliz gero :

- Ariketak

12. Zenbait milioi pertsonek osatzen duten biztanleria batean %30ak begiak urdinak ditu. Biztanleria horretatik 250 pertsona zoriaren arabera hautatzen dira. Bila zenbatekoa den begi urdinen x pertsona-kopurua 75 eta 100 bitartean egotearen probabilitatea, bi horiek barne.13. Iruñeko gizonen %8ak eta emakumeen %lk moto gidabaimena (M.G.) dute.a) Iruñeko 1.000 gizoneko lagin batean, bila 60 baino gehiago eta 90 baino gutxiago M.G.dun izatearen probabilitatea .b) 1.000 emakumeko lagin batean, bila M.G.dunak 20 eta 30, biak barne, bitartean izatearen probabilitatea.14. Ikasle asko dituen unibertsitate bateko ikasleen %24a barazkijalea dela onartzen da. Unibertsitate horretako 2. 100 ikaslek osatutako lagin bat hartzen da. Kalkula ezazu, horietatik gutxienez 540 eta gehienez 610 barazkijale izatearen probabilitatea.15. A markako film bobinak egiten dituen fabrikatzaile batek dionez, bobina bat akastuna ez izatearen probabilitatea 0,99 da. Denda batean 1.000 bobina daude. Kalkula ezazu denda horretan dauden bobina akastunen kopurua 3 eta 22 bitartean, muturrak barne, egotearen probabilitatea.16. Ikerketa batek jakinarazi duenez, helduen %3ak daltonismoa du. Zoriz aukeratutako lagin bat hartzen da 1.000 helduek osatua. Kalkula ezazu zenbatekoa den, lagin horretako gutxienez 15 pertsona daltoniko izatearen probabilitatea .

Poissonen banaketaren hurbilketa normalaren bidez

Poissonen banaketa ere normala erabiliz hurbil daiteke. Kasu honetan, Poissonen banaketaren asimetria dela-eta, hurbilketak okerragoak dira ; baina limitearen teorema zentrala dela-eta, hurbilketa hori posible da. Hurbilketa ona dadenean.Binomialean bezala, aldagai diskretu baten hurbilketa aldagai jarraitu baten bidez egiten denez, jarraitasun-zuzenketa egin behar da; hau da aldagai diskretua x eta aldagai jarraitua y bada :Hurbilketa oso ona ez den adibide bat hartuz : Poisson(16) banaketa N(16,4) banaketarekin konparatuz gero, banaketa-funtzioen balioak hauek dira:

X Hipotesi-testa

Zorizko aldagaietan landutako ezagutzak estatistikara egokitzen saiatuko gara atal honetan. Saio estatistiko batean lortu diren datuak ikusirik, horren emaitzak ezaguna den banaketa batetara hurbiltzen direla pentsatu da. Hipotesi hori zuzena den ala ez egiaztatzen da hipotesi-testen bidez. Inkesta batean jasotako datuak baieztapenaren bat egiteko nahikoak diren jakitea da estimazioaren bidez aztertzen dena. Hipotesi-testarekin hasiz :- Hipotesi bat biztanleria estatistiko bati dagokion baieztapena da. Baieztapen hori zuzena ala okerra izan daiteke.- Hipotesi baten testa egitea hau da : ikertzen ari garen biztanleriko lagin bat aztertu eta hipotesia onartu edo baztertzen duen erabakitzea .Beraz, hipotesi-test bat biztanlerio lagin batek hipotesia onartu edo baztertzen duen erabakitzeko balio duen arau edo erregela bat da.

Oro har, bi hipotesi proposatzen dira :etahipotesi nulua esaten zaion hipotesi nagusia da.berriz, ordezko hipotesia da, eta oro har,hipotesiaren ezeztapena da, baina beti ez da horrela izaten.Bi hipotesietako bat zuzena izango balitz bezala lan egingo da beti.• Adibidea: Jonek dionez, txanpon bat Laplaceren txanpona da (aldea ateratzeko probabilitateada). Mikelek ordea, adea ifrentzua baino sarriago ateratzen dela dio. Txanponaren testa egin eta arrazoia bietariko bati eman behar zaio (ezin esan daiteke biak oker daudenik).

Izan bedi p aldea ateratzearen probabilitatea. Jonen hipotesianidazten da, baina Mikelen hipotesianidatzi beharko da.

Testa txanpona 100 aldiz jaurtiz egiten da eta 60 aldiz aldea atera da.

Txanpona Laplacerena dela onartu al daiteke?Adibide honetan kontuan hartu behar diren hipotesiak hauek dira:-: txanpona Laplacerena da ; hau da, aldea ateratzearen p probabilitateada.-: Txanpona ez da Laplacerena, eta aldea ateratzearen probabilitatea handiagoa da, berazda.

Kasu honetanhipotesiahipotesiaren ezeztapena ez bada ere, hipotesi horren kontrakoa da.Kalkuluak egiteko banaketa binomialaren hurbilketa egiten da normala erabiliz.kontuan hartuz :Probabilitatea oso txikia denez, txanpona Laplacerena zela esaten zuenhipotesia baztertu egiten da, etahipotesia onartzen da, berazda. Noski, ondorioa oker egon daiteke.Hipotesietako bat berdintza baten bidez azaltzen denean eta bestea desberdintza baten bidez, berdintzaren bidez azaltzen denari

Adierazkortasun mailak

Aurreko adibidekohipotesian, hau da txanpona Laplacerenadela kontuan hartut , txa ona 100 aldiz jaurtiz ero aldea 60 edo gehiagotan ateratzearen probabilitatea %2,9 atera da.

Balio hori, hipotesia onartzeko txikiegia dela uste da.Oro har, hipotesi bat zuzentzat hartzerakoan, landutako gertaeraren probabilitatea "adierazkortasun maila" esaten zaion balioa baino txikiagoa dela ikusten denean, hipotesi hori baztertu egiten da.Aztertzen den ariketaren izaeraren arabera, %5a edo % 1 a hartzen da adierazkortasun maila bezala.Aurreko adibidean hipotesia baztertu egin da atera den emaitza, %2,9, aiderazkortasun maila bezala hartu den %5a baino txikiagoa delako ; baina adierazkortasun maila bezala %la hartu izan balitz, ezingo genuke baztertu.- Adibideak:1. Eritasun larri bat A sendagaia erabiliz senda daiteke, sendatzeko duen probabilitatea %68koa delarik. Sendatze portzentai hori B sendagai baten bidez gainditu nahi da. Egia den frogatzeko 200 gaixori B sendagai hori eman zaie eta 150 sendatu dira. Ziur egon al gaitezke sendagai berria zaharra baino hobea dela? Sendakuntzen %75 portzentai berria, ez ote da kasualitatez izan?. Beste era batera esanda, sendagai berria ez dugu uste zaharra baino hobea denik : H o hipotesia, B eta A sendagaiek sendatzeko duten gaitasuna berdina dela suposatuz, 200 gaixo sendagai horrekin tratatu ondoren 150 edo sendaketa gehiago lortzea oso gertagarria al da, edo ez da ia batere gertagarria?kalkulatu behar da n = 200, p = 0,68 parametroak dituen banaketa binomial batean. Bestalde,da.npq = 43,5 denez, banaketa binomialaren hurbilketa bat lortu daiteke normalaren bidez :P(x?150) < %5 denez, eta adierazkortasun maila bezala 0,05 = %5a onartuz, B eta A sendagaien sendatzeko gaitasun berdina zutela zioen HO hipotesia baztertu dezakegu ; beraz, B sendagaia A sendagaia baino hobea dela onartuko da:2. Egiaztatu denez, behatu den sendatze kopurua eta adierazkortasun maila bezala %5a hartuz B sendagai kasuen %68an eraginkorra dela dion hipotesia ez dira bateragarriak. Eta kasuen %69an eraginkorra dela dioen hipotesiarekin bateragarria ote da? Eta %70arekin?Aurreko adibidean egindako berbera eginez, ondoko taula hau lortzen da :

Alde bakarreko testa eta alde biko testa

Aurreko adibidean bi hipotesi hartu dira kontuan : B sendagaiak A sendagaiak adina sendatzen zuela, eta hipotesi horren kontrakoa den beste hau: B sendagaiak duen sendatzeko ahalmena A sendagaiak duena baino handiagoa da.Lehenengo hipotesia betetzen dela suposatu da etaprobabilitatearen kalkuluak, hau da X zorizko aldagaiak 150aren eskuinean dagoen balio bat hartzeko probabilitatearen kalkuluak erabaki du zein hautatu. X zorizko aldagaia bakarrik balio baten eskuinaldera edo bakarrik ezkerraldera egotearen probabilitatea kalkulatzen diren test mota hauek, alde bakarreko testak dira.Beste ariketa batzuetan balio banaren eskuinaldeko eta ezkerraldeko probabilitateak kalkulatu behar izaten dira ; alde biko testak dira.• Adibidea :Txanpon bat 0,05eko adierazkortasun mailarekin Laplacerena den ikusteko, ikas ezazu hipotesi-test bat egiteko erabaki araua, txanpon baten 144 jaurtialdiko lagin baten kasuan.Izan bedi X saiakuntza egiten denean lortu den alde-kopurua.

Txanpona Laplacerena bada B(144,1/2) legea jarraituko du, etadela lortzen da. Beraz normala erabiliz hurbilketa egokia egin daiteke.

Izan bedi Y aldagaiatipifikatutako aldagaia.N(O,1) banaketari dagokion taulari esker, hau baiezta daiteke :y aldagaia bakartuta :Lortutako alde kopurua 60 eta 80-ren artean badago, biak kanpo, txanpona Laplacerena dela dioen hipotesia onartuko da; bestela, baztertu egingo da.Zona kritiko esaten zaio hipotesia bazterrarazi dituzten balioak dauden x-en tarteei. Kasu honetan :

- Ariketak

17. Kirol bat egitearen emaitzek ez du beti "kirola osasuna da" dioen ideia egiaztatzen. Zenbait estatistikak diotenez, futbola egiten dutenen artean dagoen istripu portzentaia %22ra iristen da. Denboraldi batean igeriketa egiten duten 400 pertsonen artean sortu diren istripuak kontuan hartu dira, 36 istripu gertatu direlarik. Igeriketa futbola bezain arriskutsua al da?

Lehen motako errorea eta bigarren motako errorea

Aurreko adibideetan A eta B bi egoera ikasi dira (bi sendagai, Laplaceren txanpon bat benetako txanpon batekin), eta biak alderatzerakoan B egoera A egoeraren berdina dela suposatu da, hau da, aldaketarik ez dagoela. Ezer aldatu ez dela azaltzen duen hipotesi horrihipotesi nulua esaten zaio.Hipotesi nulua baztertzeko asmoarekin egiten da, hala, aldaketarik egotekotan, kontrako hipotesia onartuko baita.baztertzen den ala ez erabakitzeko,adierazkortasun maila finkatu behar da, eta aldagaiarenbalioa emango duen testa egin.

Adierazkortasun mailak, X zorizko aldagaiarekiko K zona kritiko bat finkatzen du. Estatistikatik lortzen denbalioaren arabera, hau gerta daiteke :-zuzena dela suposatzen da, etadela gertatzen da, orduanbaztertu egingo dugu.-zuzena dela suposatzen da, etadela gertatzen da, orduan ez dugubaztertuko.Halako egoeratan bi errore mota egin daitezke :- Lehen mailako errorea :zuzena izan eta baztertzen denean.- Bigarren mailako errorea :okerra izan eta onartzen denean.Lehen mailako errore bat egitearen probabilitateaadierazkortasun mailaren berdina da. Izan bedibigarren mailako errore bat egitearen probabilitatea. Errore mota hau kalkulatzea zailagoa da.Erabaki arauak betionartuko baluetaizango litzateke. Aldizbeti baztertuko baluetaizango litzatekeetabiak txikiak izatea izango litzateke egokiena, baina bietako bat txikitzeko erabaki araua aldatzen denean, bestea handitu egiten da. Praktikan,-rentzat ustez txikia den balio bat finkatukoda (oro har 0,05 edo 0,01) etaalde batera uzten da. Hautatutako-ren balioa "testaren adierazkortasun maila" da, eta baldintzazko probabilitate bat bezala har daiteke :baztertu/

Balio kritikoak

Testaren adierazkortasun mailak %5era edo % 1 era finkatuta daudenez, z aldagaiaren muga balioak finkoak dira.1. Alde biko testaren kasuana) Adierazkortasun maila 0,05 denean-1,96 eta 1,96 balioak garrantzitsuak izan dira alde biko testari zegokion lehenengo adibidean, izan ere :F(1,96) = 0,975 ; F(-1,96) = 0,025. Beraz F(1,96) - F(-1,96) = 0,95b) Adierazkortasun maila 0,01 deneanKasu honetan -2,576 eta 2,576 balioak erabili beharko dira, izan ere :F(2,576) = 0,995 ; F(-2,576) = o,oos.Beraz F(2,576) - F(-2,576) = 0,992. Alde bakarreko testaren kasuana) Adierazkortasun maila 0,05 deneanKasu honetan 1,645 edo -1,645 balioak erabiliko dira x oso handia denean edo x oso txikia denean hipotesia baztertzeko, izan ere :0,95 = F(1,645) = P(z<1,645)0,05 = F(-1,645) = P(z> -1,645) = 1 - P(z<-I,G45) ;Beraz : P(z>-1,645) = 1 - 0,05 = 0,95b) Adierazkortasun maila 0,0 1 deneanHemen 2,326 eta -2,326 balioak erabiliko dira, izan ere :F(2,326) = 0,99 =F(-2,326) = 0,01Balio hauek F funtzioko taularen azpialdean azaltzen dira.

XI. Estimazioa

Batzuetan ez da aurretiko hipotesiarik izaten. Halakoetan probabilitatea estimatzeko azterketa bat egiten da. Azterketa hori ez da hipotesia onartzeko edo baztertzeko egiten.• Adibidea:Fabrika batean egindako pieza bat akastuna izatearen p probabilitatea zenbatekoa den jakin nahi da. Fabrika horretako 200 piezatako lagin bat hartzen da eta 20 pieza akastun aurkitzen dira. Zer esan daiteke eskatutako probabilitateari buruz?Izan bedi X, 200 piezek osatutako edozein lagineko pieza akastunen kopurua, pieza bat akastuna izatearen probabilitatea p dela suposatuz. X, B(200, p) banaketa binomialeko zorizko aldagai bat da.

Logikoena p = 20/200 = 0,1 pentsatzea da. Kasu honetanberaz, hurbilketa ona lor daiteke lege normala erabiliz. Ariketa honetan p probabilitatea estimatu nahi denez, normalarekiko hurbilketa "jarraitasun-zuzenketa"z kezkatu gabeegiten da, hau da, X aldagaiaklegea jarraitzen duela suposatzen da. Hau idatzi daiteke :P(-1,9G<_ X-200p < 0,95 J200pq 200pq - 18 hartuz, hau lortzen da :dena -200ekin zatituzHorren arabera lagin posibleen %95etan "p" balioatartekoa izango da.Lagin atean lortu den X balioarentzat, hau da x 20 balioarentzat tartea hau izango da%95eko probabilitatearekin, "p" lortutako tartea izango da.Tarte horri p-rekiko konfidantza tartea esaten zaio, konfidantza maila %95ekoa delarik.Tarteko muturretan atera zaizkigun 0,058 eta 0,142 balioei konfidantza-mugak esaten zaie.Azken atal horren eta hipotesi testei buruz azaldutakoaren artean dagoen lotura estua ikusteko, hurrengo ariketa hau ikusi daiteke :Aditu batek dioenez pieza akastunen proportzioa %l0ekoa da.

Adituak arrazoia duen ala ez jakiteko 200 pieza aztertuko dira. Alde biko test bat egiaztatzen bada, zein izango da erabaki araua?hipotesi nulua : p = 0, 1. Adierazkortasun maila %sekoa dela eman dezagun. Hipotesia onartu egin behar da tarte kritikoaren barruan ez badago, hau da banaketa honen balio kritikoak aurkitu behar dira.etadenez,banaketa erabiliz kalkulatu daitezke. z-ren balio kritikoakdenean -1,96 eta 1,96 dira.

.izango da. x despejatuzetaizango da. x despejatuzAdituaren baieztapena baztertuko da x>28 edobada.200 pieza aztertzerakoan 20 pieza akastun aurkitu direla dioen zorizko saiakuntza batetik abiatuz probabilitatearen konfidantza tartea (%95era) ezagutu nahi bada, kalkulu berdinak egin beharko dira, baina azalpenak aldatu egingo lirateke. x-en balioak lortu ondoren konfidantza tartea hau dela esango da :Hau da :

Kasu orokorra

n lagun dituen lagin batean, horietako k lagunek propietate bat dutela ikusten da.Propietate hori duten lagunen proportzioa estimatu nahi da.hartzen da, orduanizango da, etabada, normala erabiliz egiten da hurbilketa. %95eko konfidantza maila batekin, propietate hori duten "p" lagunen proportzioa hurrengo tartean dagoela baiezta daiteke:

- Ariketak

18. Zenbait milioi lagunek osatutako biztanle multzo batetik 3001aguneko lagin bat hautatzen da. Lagin honetako 45 lagunen begien kolorea berdea da. Zein balioren artean egongo da begiak kolore berdekoak dituzten pertsonen portzentaia, errore arriskua %5a baino txikiagoa izatea nahi bada?19. 50 hazietako lagin bateko 14 hazi ez dira ernamuindu.

Bilatu hazien ernamuintze probabilitatearekiko %95eko konfidantza tartea.20. Fabrikatzaile batek dioenez, egiten dituen bonbilen artetik akastunak %15a dira gehienez ere. Fabrika horretako 400 bonbilako lagin bat hartzen da(i) %5eko adierazkortasun mailarekin, zenbatgarren bonbila akastunetik aurrera baztertu behar da fabrikatzaileak dioen hipotesia zuzena dela?(ii) Lagineko 400 bonbiletatik 65 akastunak dira. Zein balioen artean estimatzen da dagoela akastunen proportzioa, errore probabilitatea % l a baino txikiagoa bada?21. Gaixotasun bat duten 500 pertsonek A sendagai bat hartzen dute gaixotasun hori gainditzeko. 360 sendatzen dira. Zein balioen artean egongo da sendatze proportzioa, errore probabilitatea %la baino txikiagoa bada?22. Enpresa batean, egunean 500 tresna egiten dira. Tresna bakoitza 4 zatitan egiten da, horretarako elkarren artean loturarik ez duten 4 makina erabiltzen direlarik.Makina horietako bakoitzak egiten dituen piezen %2,6a akastuna dela egiaztatu da. Tresna bat kalitate onekoa dela esaten da lau makinek ematen dituzten lau piezak kalitate onekoak direnean.A) Zenbatekoa da tresna bat kalitate onekoa izateko probabilitatea?B) (i) Zein formula erabili behar da, egun batean egindako tresnetatik zehatz-mehatz k tresna akastunak direla esango digun probabilitatea kalkulatzeko?(ii) Gaussen Normalaren legea erabiliz, kalkula itzazu hurrengo galderen probabilitateen hurbileko balioak :a) Egun batean, zehatz-mehatz 40 tresna akastun egin dira.b) Egun batean egindako tresna akastunen kopurua 40 eta 60ren artean dago.C) Egunaren bukaeran erosle bat azaltzen da. Oraindik 60 tresna salgai daude, horietatik 10 akastunak direlarik.

Erosleak, zoriz aukeratuta, tresna horietako 20 erosten baditu, zenbatekoa da, horietatik 4 akastunak izatearen probabilitatea?23. C fabrikatzaileak dio bere fabrikan egiten diren bonbilen % 1 5a akastuna dela. Fabrikatzaileak dioena baiezteko, 300 bonbilek osatutako lagin bat hartzen da, adierazkortasun maila %sekoa delarik. 300 bonbileko laginean, zenbatgarren bonbila akastunetik aurrera baztertuko da fabrikatzailearen hipotesia?24. A fabrikatzaile batek bidalitako 2.000 bonbilak osatutako lagin bat jaso da, horietatik 80 kalitate txarrekoak direlarik . Bila kalitate txarreko bonbilen proportzioarentzat konfidantza tarte bat, nahi den konfidantza maila %95ekoa bada.25. C fabrikatzaileak dioenez, bere fabrikan egiten diren bonbilen %15a kalitate txarrekoa da. Baieztapen hau test baten bidez egiaztatu behar da. Fabrikatzailearen hipotesia onartuko da, 100 bonbilaz osatutako lagin batean kalitate txarreko 20 bonbila baino gutxiago aurkitzen badira.(i) Zein izango da hipotesi hau okertzat baztertzeko probabilitaterik handiena?(ii) Zein izango da hipotesi hau onartzeko probabilitatea, bonbilen %20a, benetan, kalitate txarrekoa bada?26. Denda batean A fabrikatzaileak bidalita 2.000 bonbila jaso dira, bonbila horien produkzioko %4ak akatsak dituelarik. Izan bedi X multzo honetan kalitate txarreko bonbila kopurua.(i) Tchebycheffen desberdintza erabiliz, bila X-entzat %90erako konfidantza tarte bat, tarte hori X itxaropen matematikoak erdiratua dagoelarik.(ii) Banaketa normala erabiliz aurreko galdera kalkulatu eta bi emaitzak alderatu.

Ebazpenak

Pierre de Fermat

(1601-1665)Pierre de Fermat matematikari handia Beaumont de Lomagnen jaio zen, Frantziako Tolosako eskualdean, 1601ean. Aita merkatari aberatsa zuen, ama berriz abokatu eta epaile familiakoa.

Pierre de Fermat Tolosan hasi zen ikasten, Bordelera igaro zen gero, eta 1631 n Zuzenbideko lizentziatura eskuratu zuen Orleansen. Tolosara itzulita, lanpostu bat lortu zuen eskualdeko parlamentuan, bigarren lehengusu batekin ezkondu zen eta bost seme-alaba izan zituzten. Zaharrenak aitaren abokatu karrera bera egin zuen, artxidiakonoa izan zen bigarrena, alaba zaharrena ezkondu egin zen, eta bi alaba gazteenak komentuan sartu ziren.Ez zen nabarmendu Fermat abokatu lanetan.

Pixkana-pixkana gora egin zuen eskualdeko parlamentuan eta Tolosako epaitegietan, baina gehiago antzinatasunagatik merituengatik baino. Ondasun handien jabe izatera iritsi ez bazen ere, lanaren bidez eta zentzuko inbertsioak egin baitzituen, herentzia aski zabala utzi zien seme-alabei. Castrets-en hil zen, 1665eko urtarrilaren 12an.Aspaldi ahaztua legoke Tolosako burgesia onaren aitzindari baten bizimodu arazo eta gatzik gabe hori, matematikaren hain zale izan ez balitz. Zaletasun horrek XVII. mendearen lehen erdiko egile orijinal eta interesgarrienetako bat izatera eraman zuen. Newtonen eta Leibnizen kalkuluaren aitzindaria izan zen, probabilitateen hasle eta goi mailako matematika modernoaren sortzaile. Hori guztia dela-eta, Amateurren Printzea deitzen zaio Pierre Fermati.Ez zuen atsegin bere aurkikuntzak argitaratzea, eta ez zuen Parisa joan izan nahi beste matematikariekin harremanetan jartzera. Gutunezko harremanak izan zituen, zuzenean nahiz Marin Mersenneren bidez, edota haren ondorengo Carcaviren bidez, hark egiten baitzituen, Zientzien Akademien sorreraren aurretik, frantses eta europar zientzialarien arteko bitartekari lanak. Fermatek Descartes, Pascal, Wallis eta Huygens eta beste askorekin izan zituen harremanak. Lan gehienak seme zaharrenak argitaratu zizkion, zeinak 1670ean 111. mendeko Diofanto greziar matematikariaren Aritmetika berrargitaratu baitzuen, Fermaten iruzkin eta oharrekin, DiophantiAlexandriniArithmetieorum libri sex izenburuz ; gero, 1679an, seme zaharren horretxek Uaria Opera argitaratu zuen, aitaren idatzien parte handi batekin batera.Oraindik Bordelen zela, antzinako Greziako matematikarien liburu galduak berregiteko ahaleginetan hasi zen Fermat, hala adibidez Euklides, Arkimedes edota Apoloniorenak. Haren metodoak ez ziren horretan ohi zirenak, Francois Vietek XVII. mende hasieran proposatu zituenak baizik ; aljebraren prozedurak geometrian erabiltzearen aldeko zen Viete. Fermatek leku geometrikoak ekuazio bidez aztertu zituen, eta kurba bat zehazteko, kurba horrek puntu eta ardatz finko bati buruz zuen posizioa ematen zuen. Prozedura hori Descartesenaren baliokidea da, bestelako idazkera bat erabiltzen zuen arren, eta beste era batera garatzen.Metodo bat proposatu zuen maximoen eta minimoen arazoak ebazteko. Gauza zen kurbaren balioa x puntu maximo batean eta x+e puntu hurbileko batean konparatzea, bi balioak berdindu, sinplifikatu, eta e-ko terminoak kendu. Izan, ez zen berez metodo infinitesimala, funtzioaren balioak maximoan eta puntu hurbil batean duen sasi berdintasunean oinarritzen zen, eta horrela adierazpenaren termino finitoak ezaba zitzakeen, berak "adequalitas" zeritzanak. Areak aurkitzeko batura geometriko mugagabeen ezaugarriak erabili zituen, eta zenbaki osoen berreduren baturen ezaugarriak. Fermatek lortu zuen aurkitzea adierazpen polinomikoa duten kurbek mugaturiko esparruen area.Probabilitate modernoaren abiapuntutzat hartzen dira Fermatek eta Pascalek elkarri idatzi zizkioten gutunak. Probabilitatean, Fermat konbinatoriaren metodoak aplikatzearen aldeko izan zen, aldeko kasuak eta kasu posibleak ezagutu ahal izateko.Fermatek goi mailako aritmetikan izan zituen emaitzarik onenak, zenbakien teorian alegia.

Zoritxarrez, XVII. mendean, matematikari gutxi ziren alor horretan interesatuak, eta Fermatek ez zituen idatzi aurkitu zituen teorema askoren frogabideak . Era horretan, Fermaten teorema txikia deritzana, "p primoa baldin bada eta a p-z zatigarri ez den zenbaki osoa, orduan aP -1 -1 zatigarria da p-z", Eulerrek frogatu zuen 1736an. Badirudi Fermaten azken teoremaren frogantza, "ezin aurki daiteke x, y, z zenbaki osorik, xn + yn = z n denik n > 2 bada", bukatua dagoela edozein n-ren kasuan, 1993 ezkero. Teorema hori Fermatek n = 3 eta n = 4 kasuetan frogatu zuen, eta esan zuen nola egiten zen frogabidea "beheratze mugagabearen" bitartez, beheranzko indukzio moduko baten bidez alegia. Gauza aski sinesgarria dirudi akatsak aurkitu zituela lehen frogabidean, baina, jakin, Diofantoren Aritmetika-ri egin zizkion oharretan zioena besterik ez dakigu : "liburu honen bazterrak txikiegiak dira (froga hori) idatzi ahal izateko".