Matematika»Aljebra

ALJEBRA

EKUAZIOAK ETA INEKUAZIOAK

VI. Sistemak ebaztea

VI.1. Bi ekuazio linealen sistema, ezezagun batekoa bata eta bikoa bestea.

sisteman lehenengo eragiketa x bakantzea da..  = 5 ateratzen da.Ondoren, balio hori beste ekuazioan ordezkatzen da eta y bakantzen da.

VI.2. Bi ezezaguneko bi ekuazio linealen sistema

Sistema hauek era askotara ebatz daitezke, baina egin beharreko urratsen helburua ezezagun bakarreko ekuazio bat lortzea da.

Metodoen izena helburua lortzeko egiten den bidearen araberakoa izaten da. Metodo horien adibideak azalduko dira orain.

VI.2.1. Erredukzio bidezko metodoa.

Metodo honen helburua hau da: ezezagun batek bi ekuazioetan koefiziente bera izatea, baina zeinu desberdinekoa. Bi ekuazioak batzen direnean, ezezaguna ezabatzea lortzen da.• Adibideak:1.Bigarren ekuazioa 3-z biderkatzen bada, hau lortzen da :Bi ekuazioak batuz gero: 26x=26, hau da, x=1.Balio hori bi ekuazioetako batean ordezkatzen da, esate baterakolehenengoan, eta hau ateratzen da :bakantzean, hau ateratzen da: y = -5.Sistemaren emaitza (1, -5) bakarra da, beraz, sistema bateragarria eta mugatua da.2.y balioaren koefizienteak berdindu nahi badira, lehenengo ekuazioko termino guztiak bider 2 egiten dira eta bigarren ekuazioakoak, berriz, bider 5. Hau lortzen da :

VI.2.2. Berdinketaren metodoa.

Metodo honen bidez bi ekuazioetan ezezagun bera bakantzen da.

Behin hori egin denean, lortu diren adierazpenak berdindu eta ezezagun bakarreko ekuazio bat lortzen da ; ondoren ezezagun hori bakandu behar da.• Adibideak:1.bi ekuazioetan y bakanduz gero :Bi ekuzioak berdintzean :Ekuazio hori ezezagun bakarreko lehen mailako ekuazioa da.

Aurretik azaldu bezala eginez gero, berdintza hau lortzen da : 6x + 9 = 6x + 10. Terminoak aldez aldatzean ezinezko emaitza lortzen da, izan erebaita.Emaitza horrek sistema bateraezina dela adierazten du, ez baitu emaitzarik.2x bi ekuazioetan bakantzen bada :Bi adierazpenak berdintzean :Azken ekuazio hori ebaztean y = 4 lortzen da. Balio hori bigarren ekuazioan ordezkatuz gero, x-aren balioa lortzen da :alegia. Beraz, sistemaren emaitza

VI.2.3. Ordezkapen metodoa.

Metodo honetan, eragiketak ordena honetan egiten dira :• Lehenbizi, ekuazio batean ezezagun bat bakantzen da• Ondoren, lehen ekuazioan bakandutako ezezaguna bigarren ekuazioan ordezkatzen da.• Adibideak :1.x bakandu egiten da bigarren ekuazioan : x= 2y - 4Ondoren, lehenengo ekuazioan ordezkatzen da : 3 (2 y - 4) - 2y = 5, hau da, ezezagun bakarreko ekuazioa lortzen da. EbazteanBalio hori x bakanduta dagoen ekuazioan ordezkatzen bada,Sistemaren emaitzada ; sistema, beraz, bateragarria eta mugatua da.2.bigarren ekuazioan x bakantzen da. Eragiketa horretatik hau ateratzen da :Adierazpen hori lehenengo ekuazioan ordezkatuz gero, hau lortzen da :

VI.2.4. Metodo grafikoa

Bedisistema.Sistemako ekuazio guztiek lerro zuzen bat adierazten dute.

Ondoren koordenatu ardatz batzuetan adierazten dira.P puntu baten koordenatuak (x,y) sistemaren emaitza izan daitezen, puntu horrek bi lerro zuzenak ukitu behar ditu. Grafikoan ikus daiteke puntu hori (3,1) puntua dela. Puntu hori bakarra da eta proposatutako sistemaren emaitza da.Bedi bi ezezagun dituzten bi ekuazio lineal :Sistema hori grafikoki ebaztean hiru kasu ager daitezke :1. Lerro zuzenak elkarren ebakitzaileak badira, puntu komun bakarra dagoSistemaren emaitza bakarra puntu hori da.betetzen da.2. Lerro zuzenak paraleloak badira, lerroek ez dute puntu komunik eta sistemak ez du emaitzarik.betetzen da eta ez dago K zenbaki errealikbetetzen duenik.3. Lerro zuzenak bat badatoz, puntu infinituak dira ekuazioaren emaitza.betetzen da eta K zenbaki erreal bat dago hau betetzen duena :Hiru kasu horiei dagozkien grafikoak hauek dira :

- Proposatutako ariketak

10. Ebatzi ondoko sistemak aurretik azaldu diren metodoen laguntzaz.

VI.2.5.

Badira beste hainbat metodo ekuazio linealak ebazteko : Gaussen metodoa eta Crameren metodoa edo determinatzaileen metodoa. Baina hurrengo atalean azalduko dira horiek.

VI.3. Bigarren mailako ekuazio sistemak.

Sistema bat bigarren mailakoa dela esaten da, gutxienez ekuazioetako batek bigarren mailako termino bat badu.• Adibideak :Sistema horiek ebazteko aurretik ikusitako metodoak erabil daitezke, kasu bakoitzerako egokiena aukeratuz.Sistemak eduki dezake : • Lehen mailako ekuazio bat • Bigarren mailako bi ekuazio Lehenengo kasuan urrats hauek egingo dira :1. Ezezagunetako bat ekuazio linealean bakantzen da2. Bakandu den ezezaguna ekuazio kuadratikoan ordezkatzen da, eta ezezagun bakarreko bigarren mailako ekuazio bat lortzen da.3. Bigarren mailako ekuazioaren erroak edo emaitzak aurkitzen dira.4. Aurkitutako erroak edo emaitzak lehen puntuko ekuazio linealean ordezkatzen dira.Ekuazioetako bat lehen mailakoa eta bestea bigarren mailakoa duen sistema batek bi emaitza ditu, eta emaitza horiek zenbaitetan irudizkoak izaten dira.• Adibidea:Ebatzi sistema hauek.1.Lehenengo ekuazioko x bakanduta, x=7-y lortzen da.Ekuazio kuadratikoan ordezkatuz gero, hau lortzen da :Bigarren mailako ekuazioaren emaitzak hauek dira :Emaitza horiek lehen puntuko ekuazio linealean ordezkatuz gero :Emaitzak hauek dira : (1,6) eta (6,1)2.Bigarren ekuazioan x bakanduz gero :Ekuazio kuadratikoan ordezkatuz gero, laugarren mailako ekuazioa lortzen da. Ekuazio horren ebazpena IV C.1 atalean azaltzen da.Ekuazio horretan ordezkapen hau egiten da :, eta bigarren mailako ekuazioa honela gelditzen da :y ezezagunaren balioak hauek dira :Lehen puntuko ekuazioan emaitza horiek ordezkatuz gero, hau gelditzen da:Emaitzak hauek dira : (7,5) eta (-7,-5)Sistemak bigarren mailako bi ekuazio dituenean ere ordezkapen metodoa aplikatzen da. Zenbaitetan, sistema horiek kalkulu tresnak erabiliaz ebazten dira. Hala ikus daiteke hurrengo adibidean :,etaordezkapenaren bidez bi ekuazio linealeko sistex ma lortzen da :Sistema hori aurretik azaldu diren edozein metodoren bidez ebatzdaiteke, esate baterako, erredukzio bidez.a=1 eta b=2 dela ikusten da ; beraz, x=1 eta

- Proposatutako ariketak

11. Ebatzi sistema hauek.

Bi ekuazioko problemak

Bi ekuazioko problemak ebazteko eta lehen mailako ekuazioak ebazteko urrats berberak egin behar dira. Lehenbizi, bi ekuazioek problemaren baldintzak betetzen dituzten konprobatu behar da, eta ondoren, baldintzak betetzen ez dituen edo dituzten ekuazioak baztertu.12. Ebatzi problema hauek :a)- ko gainaldea eta 28 m-ko perimetroa duen lauki zuzen baten neurriak kalkulatu.b) Hiruki angelu zuzen baten aldeak aurkitu ; kontuan hartu hipotenusa 10 m-koa eta gainaldea

VII. inekuazioak ebaztea

Inekuazioak ebaztea hau da : ekuazioa betetzen duten ezezagunaren balioa edo balioak aurkitzeko helburua duten eragiketen multzoa.1. 5 puntutik 1. 11 ra ikusi bezala, inekuazioak ebazteko egin behar diren urratsak eta ekuazioak ebazteko egin behar direnak berdinberdinak dira. Salbuespen bakarra hau da : inekuazio bat zenbaki negatibo batez biderkatzen edo zatitzen bada, aldatu egiten da ezberdintasunaren noranzkoa.Inekuazio bat ebazteko arauak :• Izendatzaileak, egotekotan, ezabatzen dira, termino bakoitza bider izendatzaileen multiplo komunetako txikiena eginez.• Parentesiak, egotekotan, banakortasun legearen bidez ezabatzen dira.• Terminoak aldez aldatzen dira; x-eko terminoak alde batera eta termino independenteak bestera gelditzen dira.• Termino berdinak erreduzitu egiten dira.Azkenik, ekuazioaren emaitza edo erroa aurkitzeko ezezagunaren koefizienteaz zatitzen da termino independentea ; zatitzailea negatiboa bada, desberdintasunaren noranzkoa aldatu behar da.• Adibideak :10. Ebatzi inekuazio hauek.a)Inekuazioaren emaitza diren x-en balio guztiakbitarteko balio guztiak dira, azkena barne. Hori horrela adierazten da:; R lerro zuzenean honi dagokio :

- Proposatutako ariketak

13. Ebatzi inekuazio hauek :14. Ebatzi inekuazio sistema hauek :

EMAITZAK.

2. a) Jesus=39 ; David = 21 b)N=20 ; D=25c) Pancebostik 12 km-ra suertatuko dira elkarrekin.d)e) Miguelen adina =14 urtef) Kapitala=14.400.000 pzta.Lehenengo semea = 3.600.000 pzta.Bigarren semea=5.400.000 pzta.Hirugarren semea=4.800.000 pzta.3. a) Bi emaitza erreal eta berdin.b) Bi emaitza erreal eta desberdinc) ez dago emaitzarik. Emaitzak irudizkoak dira.Emaitza

Matrizeak, determinanteak, sistemak

I. Sarrera

XIX. mendearen erdi aldera agertu ziren matrizeak James Joseph Sylvester ingelesaren eskutik, nahiz eta matrizeen hasierako garapena sir William Rowan Hamilton irlandarrari eta Arthur Cayley ingelesari zor zaien. Azken honek asmatu zuen matrize idazkera, m ekuazio eta n ezazagun dituen sistema bat irudikatzeko modu laburtu gisa.Ekuazio sistemen azterketarako duten erabilgarritasunaz gainera, fisikan, kimikan, geometrian, estatistikan, ekonomian... eta abarretan ere erabiltzen dira matrizeak.Fisikan eta kimikan, aljebra ez trukakorra da mekanika kuantikoaren oinarria. Eta mekanika kuantikoa izan da, hain zuzen -beste erabilgarritasun zenbaiten artean-, atomoaren egitura korapilatsua ulertzen hasteko bidea eman duena. Werner Heisenberg, matrize kalkuluaren bitartez, eta Erwin Schroedinger, uhin mekanikaren bidez, antzeko emaitzetara iritsi ziren : alegia, elektroiak, partikula soil izan ordez, uhin izaera ere bazuela.

II. Matrizeak

II. 1. Zenbaki edo algebra ikur zerrendak

Bata bestearen segidan ipinitako zenbaki edo algebra ikur multzoei, zenbaki edo algebra ikur zerrendak deitzen zaie. Horizontalean (lerroak) edo zutika (zutabeak) egon daitezke, ondorengo adibideetan ikusten den bezala :

II. 2. Zenbaki taulak

Ohituak gaude egunkarietan taulak eta koadroak ikusten, ekonomiaren, burtsaren, BPGaren, inflazioaren, lanik ezaren, eta abarren bilakaerari buruzko datuak adierazi behar direnean. Esate baterako, Europar Batasuneko edo munduko zazpi herrialde industrializatuenetako datuak emateko.Har bedi, adibidez, txosten bat, Europar Batasunean azken bost urteotan egindako kontratazio mugagabeak aztertzen dituena.

Emaitzak 15 lerro eta 5 zutabeko koadro batean idatz daitezke, ondoren ikus daitekeenez :Koadro honetan, herrialde bakoitzari lerro bat dagokio eta lerro horretan islatzen da azken bost urteotan kontratazioek izan duten bilakaera. Zutabean, aldiz, urte horretan herrialde bakoitzak duen egoera ikus daiteke.Oro har, letra batez eta bi azpindizez adieraz daiteke koadroko laukitxo bakoitza. Lehen azpindizeak lerroa adierazten du, eta bigarrenak zutabea.Horrelaelementu generikoa da, zeinetan i egungo Europar Batasuneko 1tamabost herrialdeak ezaugarritzen dituen lerro azpindizea den, eta j, aztertutako urtearen berri ematen duen zutabe azpindizea. Gure adibidean, zenbaki taulako elementu kopurua, labur idatzita

II.3. Matrizeak

Baldin m eta n badira i eta jk izan ditzaketen balio handienak, m x n elementu dituen koadro batean koka daitezke matrizeko elementuak m lerrotan eta n zutabetan.Ilara horizontaletan (lerroak) eta zutetan (zutabeak), laukizuzen itxuran eratutako zenbaki edo aljebra ikur multzoari deitzen zaio matrizea.• Matrizearen dimentsioak m eta n dira. m x n biderkadurari matrizearen dimentsioa esaten zaio.•ikurrak matrize osoa adierazten du, etaberriz, matrizelo elementu bat, edozein.• Ondorengo adibideetan ikusiko den bezala, matrizeak, ikur berezirik gabe edota giltza, barra, kako zuzen edo kako artean elementuak ezarrita idatz daitezke.• Baldin m = n bada, matrize karratua deitzen zaio, lerro kopurua eta zutabe kopurua berdinak baitira. Kasu honetan, matrizea n mailakoa dela esaten da.• Baldinbada, matrize laukizuzena deitzen zaio.•matrizearen guztizko elementu kopurua m x n da.Matrize adibideak

III. Matrize motak

Duten erabilgarritasunagatik eta maiztasunagatik ezagutzea komeni den zenbait matrize mota ikusiko da ondoren. Aurreko adibideek mota bakoitza aurkezteko balioko digute.1. Lerro matrizea lerro bakar bat baizik ez duena da. Esate baterako, 4. adibidea.2. Zutabe matrizea zutabe bakar bat baizik ez duena da. Esate baterako, 2. adibidea.3. Matrize baliogabea edo zero matrizea bere elementu guztiek zero balio dutena da. Batuketan elementu neutroa da matrize hau.• Adibideak:4. Matrize karratua lerro kopurua eta zutabe kopurua berdinak dituena da. Esate baterako, 6, 7, 8 eta 9 adibideak.Matrize karratu batean lerroak eta zutabeak kontuan hartzeazgain, komeni da diagonal nagusia eta bigarren diagonalabereiztea. Lehenengoa ezkerreko goren erpinetik eskuinekomultzoa da. 6. matrizean 8,2,1 da diagonal nagusia, eta9.enean 2,1,3.Bigarren diagonala, aldiz, eskuineko goren erpinetik ezkerreko barren erpinera doan ilaran dagoen zenbaki edo ikur multzoa da. 6. matrizean 2,2,0 da eta 9.enean 0,1,2.5. Diagonal nagusikoak ez diren elementu guztiak baliogabeak dituen matrize karratuari matrize diagonala deitzen zaio.

Adibideak:Matrize eskalarra diagonaleko elementu guztiak berdinak dituen matrize diagonala da.• Adibideak :8. Goiko triangelu matrizea diagonal nagusiaz goitiko elementu guztiak baliogabeak dituen matrize karratua da.• Adibideak:9. Beheko triangelu matrizea diagonal nagusiaz behetiko elementu guztiak baliogabeak dituen matrize karratua da.• Adibideak:10. Matrize simetrikoa.; duen matrize karratuari deitzen zaio horrela, alegia, diagonal nagusiarekiko toki simetrikoetan dauden elementuak berdinak direnean.• Adibideak:11. Matrize antisimetrikoa.; duen matrize karratuari deitzen zaio horrela. Ondorioz, matrize antisimetriko baten diagonal nagusia zeroz osatua dago.• Adibideak :Matrize antisimetrikoei hemisimetrikoak ere deitzen zaie.12. Matrize laukizuzena lerro eta zutabe kopuruak desberdinak dituena da.• Adibideak:13. Matrize iraulia. A matrizea harturik, lerroak eta zutabeak tokiz aldatzean lortzen denari deitzen zaio A-ren matrize iraulia etaidazten da. A-ren lehen lerroa-ren lehen zutabea da, A-ren bigarren lerroa-ren bigarren zutabea, e.a.• Adibideak :Matrize irauliaren definiziotik ondorioztatzen da A-ren diment- sioak m x n baldin badira,-renak n x m direla.Lerro matrizebaten matrize iraulia, beraz zutabe matrizea da, eta alderantziz.14. Aurkako matrizea. A matrizearen aurkakoa, A-ren elementu guztiei zeinua aldatzean lortzen den -A matrizea da. Alegia, -A matrizearen elementuak A matrizearen elementuen aurkakoak dira.• Adibideak :15. Azpimatrizea. m x n dimentsiotako A matrizearenazpimatrizea, A matrizetik p lerro eta q zutabe ezabatuta lortzen dena da. Azpimatrizearen dimentsioak izango dira (m-p) x (n-q).• Adibideak :

IV. Matrize berdintasunak

Kokaera berdina duten bi matrizetako elementuak berdinak badira, matrizeak berdinak direla esaten da. Bi matrize berdinek, gainera, dimentsioak ere hala dituzte.• Adibideak:

V. Matrize eragiketak

V 1. Matrize batuketa

Dimentsio berdinetako bi matrizeren batura, bi matrizetako indize berbera duten elementuak ordenan batuz lortzen den dimentsio berdineko beste matrize bat da.Bitezetabatu nahi diren matrizeak. S matrize baturak sy du elementu generikotzat, eta honela lortzen da :A eta B matrizeen batura horrela adierazten da : A + B• Adibideak :Matrizeen baturak ondorengo legeak betetzen ditu :

V. 2. Matrize kenketa

Ikusi da edozein dela ere A matrizea, beti dagoela -A aurkako matrizea; horri esker honda nola defini daitekeen matrize kendura :A eta B izeneko bi matrizeren kendura A - B adierazten da eta honela definitzen da :idazten badugu-ren arteko matrize kendura, ondorengo erlazioa gertatzen da hiru matrizeen elementu generikoen artean :

V. 3. Zenbaki erreal bat (eskalarra) eta matrize baten biderkaketa

Zenbaki erreal baten (eskalarra) eta matrize baten biderkadura, hasierako matrizearen elementu bakoitza eskalarraz biderkatzearen ondorioz lortutako beste matrize bat da. Matrize baten eta eskalar baten biderkadura honela idazten da,• Adibideak:

V.4. Matrize biderkaketa

V.4.a. Lerro matrize baten eta zutabe matrize baten biderkaketa.

Baldin (x,y) eta-ren bi bektore badira, biderkadura eskalarra honela definitzen da :.-ren bektoreen kasuan horrela definituko litzateke :Biderkadura eskalarra definituko bada, bektore edo lerro matrizeek elementu kopuru berbera izan behar dute.Era berean, ondorengo adierazpenaren bidez ere defini daiteke lerro matrize baten eta zutabe matrize baten biderkadura :

V.4.b. Bi matrizeren, edozeinen, biderkaketa

Matrizeen arteko biderkaduragatik da berezia eta orijinala matrize kalkulua. Bi matrizeren arteko biderkadurak ez dauka zertan trukakorra izanik. Beraz, beharrezkoa da matrize biderkakeean parte hartzen duten biderkagaien ordena zehaztea.Bi matrize biderkatu ahal izateko nahitaezkoa da lehen matrizearen zutabe kopurua eta bigarrenaren lerro kopurua berdinak izatea . Beste modu batean esanda, A-ren dimentsioak m x n badira eta B-renak p x q, A. B biderkaketa gauzatuko bada nahitaezkoa da n = p izatea.

112m x n dimentsiotakoamatrizearen eta n x p dimentsiotakomatrizearen biderkadura, m x p dimentsiotakomatrizea da. Matrize horretakoelementu bakoitza, lehen matrizearen i lerroa, bigarrenaren j zutabeaz era eskalarrean biderkatzean lortzen da.A eta B matrizeen biderkadura, A. B edo AB adierazten da.• Adibideak :• Adibidea :Matrize biderkadurak lege hauek betetzen ditu :1. Elkartze legea. A (B C) = (A B) CHurrenkera jakin batean emandako zenbait matrize biderkatu ahal izateko, beharrezkoa da matrize bakoitzaren zutabe kopurua eta hurrengo matrizearen lerro kopurua berdinak izatea.2. Matrize biderkadura, oro har, ez da trukakorra; hau da, AB :;'- BA• Adibideak :3. Bi matrize ez baliogaberen biderkadura izan daiteke matrize baliogabea.• Adibidez:4. Elementu neutroa. Baldin A n mailako matrize karratua bada hau gertatzen da:.delarik n mailako unitate matrizea.5. n mailako A matrizea emanik, beti ez da existitzenbetetzen duen B matrizerik.B matrizea existitzen bada, A-ren alderantzizko matrizea dela esaten da eta

VI. Matrize baten heina. Heinaren kalkulua gaussen metodoaren bidez

Matrize baten heina, ilaraka askeak diren lerro edo zutabe kopurua da.Matrizearen heina aldarazten ez duten lerro edo zutabe aldaketa oinarrizkoak ondorengoak dira :1. Bi lerro edo bi zutabe trukatzen badira, heina ez da aldatzen.2. Matrizearen lerro bat edo zutabe bat zenbaki erreal ez baliogabe batez biderkatu edo zatitzen bada, heina ez da aldatzen.3. Matrizearen lerro bati edo zutabe bati beste bat paraleloa batzen edo kentzen bazaio, heina ez da aldatzen.Matrizearen heina ez da aldatzen ondorengoak ezabatzen badira ere :• Lerro edo zutabe baliogabeak.• Beste batzuen proportzionalak diren lerro edo zutabeak.• Beste batzuen konbinazio lineal diren lerro edo zutabeak.Aurreko eraldaketek bide ematen dute matrizearen heina Gaussen metodoaren bidez kalkulatzeko.

VII. Determinanteak

Determinante kontzeptua matrize karratuekin lotzen da soilik, ez besterekin.Bigarren mailako determinanteak, bi ezezagundun bi ekuazio linealeko sistemaren ebazpenak adierazteko sortu ziren. Era berean, hirugarren mailako determinanteek, koefizienteen eta gai askeen arabera, hiru ezezagundun hiru ekuazioko sistemaren ebazpenak ematen dituzte.

VII. 1. Bigarren mailako determinanteak

Bigarren mailakomatrize karratua emanik,zenbaki errealari deitzen zaio A-ren determinantea eta det (A),edo D adierazten da.Matriz karratu baten determinantea diagonal nagusiko elementuen biderkadurari bigarren diagonaleko elementuen biderkadura kenduta lortzen da.• Adibideak:

VII. 2. Hirugarren mailako determinanteak

Hirugarren mailakomatrize karratua emanik,zenbaki errealari deitzen zaio A-ren determinantea.

VII. 3. Hirugarren mailako determinantearen garapena

a) Sarrusen erregela erabiliz

Hirugarren mailako determinantea lortzeko Sarrusen erregelara jo ohi da. Determinantearen eskuinetan lehen bi zutabeak idazteari deitzen zaio horrela.Zeinu positiboko biderkadurak diagonal nagusiko elementuei eta diagonal nagusiaren paraleloetakoei dagozkie.Zeinu negatiboko biderkadurak, aldiz, bigarren diagonaleko elementuei eta haren paraleloetakoei dagozkie.Emaitza berbera lortzen da lehen bi zutabeak eskuinetan idatzi ordez, lehen bi lerroak hasierako determinantearen azpian idatzita.Azaldutakoa hobeto uler dadin bi moduetara erabiltzen da Sarrusen erregela ondorengo adibideetan.Ariketa ebatziak.1. Kalkulatu ondorengo determinanteak :Ebazpenak:

b) Lerro edo zutabe bateko elementuak erabiliz

Har bedi ondorengo determinanteaIkusi berri den bezala, horrela garatzen da :.eta- ri ateratzen bazaizkie biderkagai komunak honela idatz daiteke :Emaitzan ageri denez lehen lerroko elementu bakoitza adjuntu izeneko batek biderkatzen du. Horrela,- en adjuntuada, hain zuzen ere, A-tikduten lerroa eta zutabea ezabatuta lortzen den determinanteaEra berean- en adjuntua, A-tik elementu hori duten lerroa eta zutabea ezabatuta lortzen da, baina aurkako zeinuarekin, toki bikoitiko lerroan aurkitzen delako..dagoen lerroa eta zutabea ezabatzen badira, ondorengoa lortzen da :eta beraz,-en adjuntuaElementu baten adjuntua, hasierako matrizetik kontuan hartzen den elementua duten lerroa eta zutabea ezabatzean lortzen den matrizearen determinantea da. Zeinu berdina edo aurkakoa izango du, elementuak hartzen duen tokia (erro bakoitian edo bikoitian dagoen arabera.Ariketa ebatziak.Garatu ondoko determinanteak lerro bateko elementuetatik abiatuta.

VIII. Determinanteen ezagurriak

Determinante bat ez da aldatzen lerroak eta zutabeak (euren artean) tokiz aldatzen badira. Beste modu batean esanda, matrize jakin baten matrize irauliaren determinantea, hasierako matrizearen determinantearen berdina da.2. Determinante baten bi lerro edo bi zutabe euren artean tokiz aldatzen badira, determinante berriak hasierako determinante- aren balio absolutu berbera izango du, baina aurkako zeinua.Adibideak :3. Lerro edo zutabe bateko elementu guztiak zenbaki batez biderkatzen badira, determinantea zenbaki berberaz biderkatua geratzen da.• Adibideak:4. Lerro edo zutabe bateko elementu guztiak zeroak badira, determinantea ere zero da:5. Determinante batek bi lerro edo bi zutabe berdinak baditu, determinantea baliogabea da.Determinante baten bi lerro edo bi zutabe proportzionalak badira, determinantea baliogabea da.7. Determinantearen lerro edo zutabe baten ordez, beste (lerro edo zutabe) batzuen arteko konbinazio lineala jartzen bada, determinantea ez da aldatzen.8. Determinante baten lerro edo zutabeetako bat, beste batzuen arteko konbinazio lineala bada, determinantea baliogabea da9. Baldin lerro edo zutabeetako bat batugai bat baino gehiagoz osatua badago, lerroak edo zutabeak zenbat batugai, beste horrenbeste determinanteren baturaren balioa izango du determinanteak.10. Lerro edo zutabe bateko elementuak bi batugaitan banatzen badira, determinantearen balioa, hasierako determinanteak bezainbat elementu dituzten bi determinanteren batura izango da.

IX. Goragoko mailako determinanteak

Laugarren edo goragoko mailako matrize karratuei dagozkien determinanteek hirugarren mailakoen determinanteen lege berberak betetetzen dituzte, eta beraz eragiketa mota berdinak egin daitezke determinante horiekin.Nabarmentzekoa da lerro bateko elementuetatik abiatuta egiten den determinantearen garapenaren garrantzia, izan ere, beheragoko mailako beste determinante batzuen bidez determinante bat adierazteko bidea ematen baitu, harik eta hirugarren mailakoetara heldu arte, eta hauekin, edozein mailatako determinanteak ebatzi daitezke.Garapena egiteko orduan, lerroa tentu handiz aukeratzea komeni da. Zero gehien edo elementu bakunenak dituena hartu behar da.

Aurreko puntuetan ikusitako legeren bat aplikatuz ere lor daiteke lerro egokiagoa.

- Proposatutako adibideak.

X. Determinanteen aplikazioak

1. Ekuazioen ebazpena. Atal honen azken zatian aztertzen da.2. Kalkulatu zuzen bateko bi punturen arteko D distantzia.Izan bitezetazuzen batean kokatutako bi punturen abszisak ; D ondoko formulak emango du :3. Triangeluaren area hiru punturen determinantearen bidez.Izan bitezplano batean kokatutako hiru puntuak; arearen balioa ondorengo formulak emango du :4. Tetraedroaren bolumena lau punturen determinantearen bidez.Izan bitezetaespazioan kokatutako lau puntuak ; tetraedroaren bolumena ondorengo formulak emango du :

XI. Ekuazio linealezko sistemak ikertzea eta ebaztea

Ekuazio linealezko sistema bat ikertzea -duen ezezagun kopurua duela- soluzioak dituen ala ez jakiteko azterketa egitea da. Soluzioren bat aurkituko balitz, ikertzen jarraitu behar da bakarra den ala ez jakiteko.Bateragarritasunaren edo Rouche-Frobeniusen teoremaren bitartez egiten da lehen ikerketa hau. Ondorengo emaitzak izan ditzake sistema batek :Bateragarritasun irizpidea edo Rouche-Frobeniusen teoremaSistema bat bateragarria da, baldin eta (eta kasu horretan bestetan ez) ezezagunen koefizienteen matrizearen heina, gai askeen zutabea gehitu zaion matrizearen heinaren berdina bada.

Sistema bateragarria

XII. Cramerren araua

XII. 1. Bi ekuazio linealezko sistemak

Izan bedi sistema bat bi ezezagundun bi ekuazioz osatua, non ezezagunen koefizienteak eta gai askeak zenbaki errealak diren :Ezezagunen koefizienteez osatutako determinanteari sistemaren determinantea, (D), esaten zaio. Aurreko adibidean hau izango litzateke :Sistemaren determinantean ezezagunei dagozkien koefizienteen zutabearen ordez gai askeen zutabea ipintzearen ondorioz sortzen denari ezezagunen determinantea deitzen zaio. Aurreko adibidean x-en (Dx) determinantea hau izango da :eta y-rena berriz :Cramerren araua horrela azal daiteke :n ezezagundun n ekuazio linealezko sistema batean, ezezagun bakoitzaren balioa bere determinantea sistemaren determinanteaz zatitzetik ateratzen denaren berdina da.ezezagundunekuazio linealezko sistema batean, ezezagun bakoitzaren balioa bere determinantea sistemaren determinanteaz zatitzetik ateratzen denaren berdina da.Gure sisteman hau litzateke :Sistemaren soluzioa zenbaki erreal pare bat dabaldin etaetaordeztean bi ekuazioak batera betetzen badira.Aurreko formulak betetzen diren egiaztatzeko nahikoa da bi ezezagundun bi ekuaziozko sistema ebazteko behar diren ezagutzak izatea. Aurreko atalean ikusi da, sistema horiek berdinketaz, ordezketaz eta laburketaz ebatzi daitezkeela. Azken metodo hau lehengo adibideari aplikatzean, lehen ekuazioabiderkatzen bada eta bigarrena, batu ondoren hau ateratzen da :x bakanduta horra zer geratuko litzatekeen :eta hori bat dator Cramerren arauerako azaldutakoarekin, izan ereetaEra berean, lehen ekuazioa biderkatzen badaeta bigarrena, batu ondoren hau ateratzen da :y bakantzean hona zer geratzen deneta hori ere bat dator Cramerren arauerako azaldutakoarekin, izan ereeta

XI. 2. Hiru ekuazio linealezko sistemak

Bi ezezagundun bi ekuaziozko sistema izan ordez, hiru ezezagundun hiru ekuaziozkoa baldin badugu, ondorengoa adibidez, non ezezagunen koefizienteak eta gai askeak zenbaki errealak diren :Sistemaren determinantea hau da :eta ezezagunen determinanteak hauek :Sistemaren soluzioa zenbaki erreal hirukote bat dabadin etaetaordeztean hiru ekuazioak batera betetzen badira. Horrela adieraziko litzateke hirukotea :Hiru ezezagundun hiru ekuazio baino gehiagoz osatutako sistemetan aurreko sistemetarako ikusitako metodo berberak erabiltzen dira.Gogoan hartzeko• Ekuazio linealezko sistema bati homogeneoa deitzen zaio ekuazio guztietako gai askeak baliogabeak badira.•ezezagundunekuaziozko sistema bati Cramerren sistema deitzen zaio baldin eta sistema homogeneo elkartuak soluzio nabaria (0,0,0) beste soluziorik onartzen ez badu.• Cramerren araua erabilgarria da n ezezagundun n ekuazio linealezko sistemak ebazteko.• Sistemaren determinantea zero ez bada, ezezagun bakoitzak balio bakarra du. Sistema mugatua da.• Sistemaren determinantea zero bada, bi gauza gerta daitezke :a) Ezezagunen determinanteak zero ez izatea. Zentzurik gabeko adierazpenetara heltzen da. Sistema bateraezina da, ez baitu soluziorik.b) Ezezagunen determinanteak zero izatea. Sistema mugagabea da eta soluzio infinituak ditu.Ariketa ebatziak.3. Ebatzi ondorengo sistemak Cramerren araua erabiliz

- Proposatutako ariketak

2. Ebatzi ondorengo sistema hauek Cramerren araua erabiliz

XIII. Gaussen metodoa

XIII. 1. Sistema baliokideak

Bi ekuazio sistema baliokideak dira soluzio berberak badituzte, hau da, lehen sistemaren soluzioa bigarrenaren berdina baldin bada eta alderantziz.

XIII. 2. Baliokidetasun irizpidea

1. Sistema bateko ekuazio bateko bi kideak, zero ez den zenbaki erreal batez biderkatzen edo zatitzen badira, hasierakoaren baliokide den beste sistema bat lortzen da.2. Sistema bateko ekuazio bati, sistema bereko beste ekuazio bat batzen edo kentzen bazaio, ateratzen den sistema hasierakoaren baliokidea da.3. Ekuazio linealezko sistema batean, ekuazio bat beste batzuen konbinazio lineala bada, ekuazio hori ezaba daiteke, eta geratzen den sistema hasierakoaren baliokidea da.

XIII. 3. Laburketa metodoa edo Gaussen metodoa.

Ondoko sistema hauektriangeluarrak direla esaten da.Lehenengoa ebazteko nahikoa da hirugarren ekuazioko z, bigarren ekuazioko y, eta lehen ekuazioko x aurkitzea. Hau da soluzioa : (9,-1,6)Bigarrena ebazteko laugarren ekuazioan t aurkitu behar da, z hirugarrenean, y bigarren ekuazioan eta x lehenengoan. Hona soluzioa : (4,-2,1,3)Laburketa metodoa -Gaussen metodoa, triangelutzearena edo ur-jauzi metodoa ere deitzen zaio- ekuazio linealezko sistema bat balio bereko sistema triangeluar bihurtzea da, dagozkion eragiketak egin ondoren.Ariketa ebatziak.4. Ebatzi ondoko sistema hauek Gaussen metodoa erabiliz.ematen du eta ondorengo sistema triangeluarra ateratzen da-L, + LZ + L 3 eginda berriz ematen du eta ondorengo sistema triangeluarra ateratzen da [*] non

- Proposatutako ariketak

3. Ebatzi ondoko sistema hauek Gaussen metodoa erabiliz.

Soluzioak

- Proposatutako ariketak

2. Ebatzi ondoko sistema hauek Cramerren arauaren bidez.3. Ebatzi ondoko sistema hauek Gaussen metodoa erabiliz .