Matematika»Aljebra

Aljebra

XI. Polinomioaren deskonposaketa ruffiniren araua erabiliz. Faktorketa.

Maiz, polinomio bat polinomioen arteko biderkaketa moduan idatzi beharra izango da, aljebrako zatikiak sinplifikatzeko adibidez.P(x) polinomioa deskonposagarria edota faktoretan zatigarria dela esaten da, baldin eta 1. mailako edo goragoko mailako bi polinomio g(x) eta h(x), edozein x zenbaki errealentzat honako hau betetzen dutenak baldin badaude :? Adibidea:polinomioa, deskonposagarria da, izan ere, bai baitira bi polinomio,baldintza hau betetzen dutenak :Polinomio bat faktoretan deskonposatzen bada eta faktore horietako batbada, orduan, a, polinomioaren emaitzetako edo erroetako bat da.Polinomio batek emaitza edo erro anitz baldin baditu :orduan, polinomioa, faktore arteko biderkaketa moduan idatz daiteke.? Adibidea:Bedipolinomioa.Ruffiniren araua erabiliz, x-en gai askearen zatitzaileen artean erroak edo emaitzak aurkitzen dira, hots, 6 zenbakiarenak kasu honetan.Izan daitezkeen erroak:x = 2, erro edo emaitzetako bat dax = 3, erro edo emaitzetako bat dapolinomioa ezin daiteke gehiago deskonposatu.Bedipolinomioa.Erro edo emaitza ahalak honako hauek dira:

- Proposatutako ariketak

25. Deskonposa itzazu polinomio hauek.

XII. Aljebrako zatikiak. Aljebrako zatikiekin eragiketak.

XII.1. Aljebrako zatikiak.

Aljebrako zatikia, zatikiaren gai deitutakobi polinomioren arteko zatidura da ;polinomioa zenbakitzailea da etaizendatzailea. Izendatzailea ezin daiteke zero izan, horregatik, izen= datzailea zero eginarazten duten ezezagunaren balio guztiak kanpoan geldituko dira.? Adibideak :Bi aljebrako zatiki baliokideak dira, baldin eta beren letrei emandako edozein baliorekin zenbakizko balio berbera lortzen baldin badute, baina beti ere, izendatzaileak hutsal edo gero bihurtzen ez diren bitartean.Bi zatiki baliokideak diren jakiteko, biderkaketa gurutzatuak :gin daitezke eta bat datozela ikus daiteke. Bitez honako zatiki )aliokide hauek:orduan honako hau beteko da :

XII.2. Zatitzaile komun handiena (Z.k.h.) eta multiplo komun txikiena (m.k.t.).

Denok ere entzuna dugu Eratostenesek egindako "garbiketa" famatua. Eratostenesek, zenbaki lehenak bakarrik utzi zituen, zenbaki bikoitiak, hiruaren multiploak, bostaren multiploak, etab.. ulatu eta kentzen aritu ondoren. Zerrenda horretan gelditutakoak beraz, honako hauek dira : 1,2,3,5,7,11,13,Zatigarritasun arauetan oinarrituta, zenbaki bat bere faktore lehenetan zati daiteke. Adibidez :Bi zenbaki edo gehiago beren faktore lehenen biderkaketa adieraziz idatzita daudenean, bien arteko Zatitzaile komun handiena (Z.k.h.) kalkula daiteke ; bestela esanda, biek komunki (batera) duten zatitzaile handiena. Multiplo komun txikiena (m.k.t.) ere, era sistema beretsuaz baliatuz kalkula daiteke eta zenbaki horiek elkarrekin duten multiplorik txikiena izango da.Bi zenbaki edo gehiagoren Zatitzaile komun handiena (Z.k.h.), bakoitzak dituen faktore komunak berretzailerik txikienarekin hartuta biderkatuz kalkulatzen da.Bi zenbaki edo gehiagoren multiplo komun txikiena (m.k.t.), bakoitzak dituen faktore komunak eta komunak ez direnak berretzailerik handienarekin hartuta biderkatuz kalkulatzen da.? Adibideak : 12 eta 18 zenbakienda.12 eta 18 zenbakienda.10 eta 18 zenbakienda.10 eta 18 zenbakien

XII.3. Aljebrako zatikien Zatitzaile komun handiena (Z.k.h.) eta multiplo komun txikiena (m.k.t.).

Zenbaki osoen kasuan bezalaxe, P(x) polinomioa, faktore lehenetan deskonposa dezakegu. Nola ordea? XI. atalean ikusi dugunaren arabera, polinomioa, beti ez bada ere, faktoretan deskonposa daiteke :? Faktore komunak ateraz.? Maisutasunezko formulen edo formula nagusien bitartez : karratuen diferentzia, binomioaren karratua, etab.? Ruffiniren araua erabiliz.Bi polinomio edo gehiagoren Z.k.h. kalkulatzeko, polinomioak faktoretan zatitzen dira eta ondoren, faktore komunak biderkatzen dira beti ere berretzailerik txikienarekin hartuta.Ebatzitako ariketak.21. Kalkulatu adierazpen hauen Z.k.h.-ak.Emaitzak :Bi polinomio edo gehiagoren m.k.t. kalkulatzeko, polinomioak faktoretan zatitzen dira eta ondoren, faktore komunak eta komunak ez direnak biderkatzen dira beti ere berretzailerik handienarekin hartuta.Ebatzitako ariketak.

22. Kalkulatu adierazpen hauen m.k.t.Emaitzak :

- Proposatutako ariketak

26. Kalkulatu adierazpen hauen Z.k.h.-ak.

- Proposatutako ariketak

27. Kalkulatu adierazpen hauen m.k.t.-ak.28. Kalkulatu adierazpen hauen Z.k.h. eta m.k.t.

XII.4. Aljebrako zatikien sinplifikazioa.

XII. 1. atalean ikusia dugu jada, zatikien oinarrizko propietatearen arabera, zatiki bateko bi gaiak, zero balio ez duen aljebrako adierazpen edo gai berberaz zatitzen edo biderkatzen baditugu, lortutako zatikia hasierakoaren berdina dela. Horren arabera, hasierako zatikiaren baliokidea izanik gai soilagoak dituen beste bat lortzeko, nahikoa da zatiki horren zenbakitzailea eta izendatzailea adierazpen edo gai berberaz zatitzea.Aljebrako zatikiak sinplifikatzeko egin beharreko eragiketak hauek dira:? Zenbakitzailea eta izendatzailea faktoretan deskonposatu.? Bi gaiak, bien arteko Z.k.h.-az zatitu.Ebatzitako ariketak.23. Sinplifikatu zatiki hauek.

- Proposatutako ariketak

29. Sinplifikatu zatiki hauek.

XII.5. Ipini zatikiak izendatzaile komunarekin.

Zatikiak izendatzaile komunarekin jartzeko, eragiketa hauek egin behar dira :? Lehenik, ahal bada, sinplifikatu.? Kalkulatu izendatzaileen arteko m.k.t.? Zatiki bakoitzeko bi gaiak, m.k.t. zatiki horren izendatzaileaz zatituta ateratzen den kopuruaz biderkatu behar da.

XII.6. Zatikien aljebrako batura.

Aljebrako zatikien batuketa egiteko, eragiketa hauek egin behar dira :? Lehenik eta behin, ahal izanez gero, sinplifikatu.? Izendatzaile komunera laburtu.? Zenbakitzaileak batu izendatzaile komuna gordez.? Ahal izanez gero, azken emaitza sinplifikatu.Ebatzitako ariketak.24. Egizu zatiki hauen batura.Emaitzak:

- Proposatutako ariketak

30. Batu zatiki hauek.

XII.7. Aljebrako zatikien biderkaketa.

Aljebrako zatikiak biderkatzeko, eragiketa hauek egin behar dira:? Lehenik eta behin, ahal izanez gero, sinplifikatu.Biderkatu zenbakitzaileak beren artean zenbakitzailea lortzeko eta izendatzaileak halaber beren artean, izendatzailea lortzeko.? Ahal bada, emaitza sinplifikatu.Ebatzitako ariketak.25. Biderkatu zatiki hauek.

- Proposatutako ariketak

31. Biderkatu zatiki hauek.

XII.8. Aljebrako zatikien zatiketa.

Aljebrako bi zatiki zatitzeko, eragiketa hauek egin behar dira :Biderkatu lehenengo zatikia bigarrenaren alderantzizkoaz.? Ahal izanez gero, sinplifikatu emaitza.Ebatzitako ariketak.26. Zatitu zatiki hauek.Emaitza :Emaitza:Emaitza:

- Proposatutako ariketak

32. Zatitu zatiki hauek.

XII.9. Aljebrako zatikien berreketa.

Aljebrako zatikien berreketa egiteko, eragiketa hauek egin behar dira :? Gai bakoitzaren berreketa egin.? Ahal izanez gero, emaitza sinplikatu.Ebatzitako ariketak.27. Kalkulatu adierazitako berreketak.Emaitza :Emaitza :Emaitza :

- Proposatutako ariketak

33. Kalkulatu adierazitako berreketak.

Emaitzen eranskina

1. a) Razional osoab) Zatiki irrazionalac) Zatiki razionalad) Zatiki irrazionala12. Zatiduraren maila 4.a da, eta hondarrarena 3.a edo hori baino txikiagoa.24. a) Ez, hondarra 134 da. b) Ez, hondarra 26 da.

EUKLIDES (K.a. 111. mendean hila)

Elementuak lanak matematikaren historian izan duen garrantzia dela-eta, egilea, Euklides, bigarren mailan geratu da; ez da haren bizitzaz ia ezer ezagutzen, eta Elementuak, berriz, gehien argitaratu den matematika liburua da.Euklidesen biografiari buruz zeharkako iturbururik baino ez dago. Horien arabera, K.a IV mendearen bigarren erdian jaio zen Euklides. Matematika Atenasen landu zuen, eta Platonen eskolako kideak izan zituen irakasle. Alexandriara jo zuen gero, eta han Ptolomeo Lak sorturiko Museoan eta Liburutegian aritu zen lanean. Matematikak irakastea eta jakintza horri buruzko liburuak idaztea izan zen bere eginkizuna. Matematikako eskola bat sortu zuen, mende bete geroago, Arkimedesen garaian, oraindik ere garrantzitsua zena. K.a. 111. mendearen lehen erdian hil zen.Euklidesek geometria, astronomia, optika, musika eta mekanikako liburuak idatzi zituen. Horietatik guztietatik, zati fidagarriak Elementuak lan famatukoak besterik ez dira gorde, eta Elementuakgaratzen dituen problema liburu batenak, Datuak liburuarenak hain zuzen. Gainerako liburuetatik, zenbaiten laburpenak, iruzkinak eta fidagarritasun handirik gabeko bertsioak ezagutzen dira. Beste obra zenbaitez, ondorengo egileen iruzkinengatik dakigu existitu zirela.Elementuak (stoiceiwn)Euklidesen Elementuak lana hamabi liburuz dago osatua. Liburu horien helburua geometriaren elementuak adieraztea da, hau da, geometrian jakin beharreko auzi errazenak batetik, eta, bestetik, geometria eraikitzeko abiapuntu diren oinarrizko elementuak.Elementuak liburuaren hasiera gisa, definizio, axioma eta postulatu batzuk ematen ditu Euklidesek, eta, horietatik abiaturik, lanaren parte nagusian, proposizio, teorema edo problemak frogatzen ditu gero. Definizioek matematika objektuen tasunak adierazten dituzte (zuzen, hiruki, zirkuluenak, etab.). Axiomak zientzia guztiei dagozkien hastapen sail bat dira, Euklidesek agerikotzat jotzen dituenak.

Postulatuak matematikari soilik dagozkion hastapenak dira, eta horiek ere frogatu beharrik gabe onartzen dira. Ez da sistema axiomatiko bat, gaur ulertzen den bezala, espezifikatu gabeko objektuen tasun asko erabiltzen baitira definizioetan, eta hai baitira zehazki adierazten ez diren axiomak ere ; baina geometria sistematizatzeko erak, emaitzetara dedukzioz iristeak, eta arrazoibideen zehaztasunak, metodo axiomatiko modernoen aitzindari zuzena egiten dute Euklides.Edukiari dagokionez, I. liburuak planoaren geometria lantzen du, eta besteak beste hirukien berdintasuna, paraleloak eta Pitagorasen teorema lantzen ditu. Liburu horretan daude definizio gehienak, eta postulatu eta axioma guztiak. Bertan ageri da halaber bosgarren postulatu famatua : "5.Eta zuzen batek bi zuzen ebakitzen dituenean, alde bereko barneko angeluak bi angelu zuzen baino nikiago egiten baditu, bi zuzen haiek, mugagabe luzatuz gero, elkartu egingo dira bi angelu zuzen baino txikiago diren angelu horiek dauden aldean". 11.. iburuak zuzenkien batuketa edo kenketen gainean egin daitezkeen lauki eta lauki zuzenak lantzen ditu.

111. liburua zirkunferentziari buruzkoa da, eta IV liburua poligonoak zirkunferentzia batean inskribatzeari eta zirkunskribatzeari buruzkoa. V liburua zuzenkien arrazoiaren gainekoa da, eta edozein zuzenki motatara zabaltzen du liburu horretan zatikien teoria. VI. liburuak planoaren teoriari aplikatzen dio V liburuko proportzioaren teoria, irudi eta areen antzekotasuna aztertzen du, eta hiruki angeluzuzenen tasunak orokortzen. VII-IX liburuek aritmetika lantzen dute, multiploen eta zatitzaileen tasunak, zenbaki osoen zatikiak eta zenbaki lehenak aztertzen dituzte. X. liburua zenbaki irrazionalei buruzkoa da, eta horixe da zailena. XI eta XII. liburuek planoak, zuzenak eta espazioko irudiak aztertzen dituzte, eta paralelepido, prisma, piramide, kono, zilindro eta esferen bolumenak adierazten.

XIII. liburuak bost irudi gotor erregularrak lantzen ditu : tetraedroa, kuboa, oktaedroa, dodekaedroa eta ikosaedroa.Elementuak antzinako matematikari hoberenen bilduma da, Euklidesek hobetua eta osatua. Parte gehienak orijinalak ez badira ere, V liburua Eudoxorena da, V1I-IX liburuak pitagorikoenak, eta badira zenbait teorema eta froga Euldidesenak berarenak; zehatzago, berea da, egile guztien arabera, paraleloen postulatu ospetsuaren adierazpena.Bolyai eta Lobatchevskiren idatzien ondoren, XIX. mendaren hasieraz geroztik, gauza jakina da izan daitezkeela Euklidesena ez bezalako beste geometriak ere. Baina oraindik ere berrargitaratzen eta ikasten dira Euklidesen Elementuak.

Ekuazioak eta inekuazioak

I.1. Berdintzak.

Bi alde (=) zeinuaz berezita daudenean, berdintza bat dugu. Berdintzak, zenbakizkoak izan daitezke zenbakiz adieraziak badira eta letrazkoak edo literalak letra bidez adieraziak badatoz.? Adibideak:zenbakizko berdintzaletrazko berdintza

I.2. Identitatea.

Identitatea, partaide diren letrei egotz dakiekeen edozein baliorentzat ere balio duen berdintza da. Identitateak, aljebrako adierazpen bat, erabilerrazagoa den beste baliokide bat bilatzeko zerbitzen du.? Adibidea :

I.3. Aljebrako ekuazioa.

Aljebrako ekuazioa, duen/dituen letraren/letren balio batzuentzat bakarrik betetzen den berdintza da. Aljebrako ekuazioan azaltzen diren letrei ezezagun deritze. Ekuazioaren lehen aldea, berdin zeinuaren ezkerraldean idatzitako adierazpena da.Bigarren aldea, berdin zeinuaren eskuinaldean idatzitako adierazpena da.Berdintza betetzen duen ezezagunaren balioari, ekuazioaren emaitza cdo erro deritzo.Ekuazioa ebaztea, bere emaitzak edo erroak kalkulatzea da.

1. adibidea:Lehen aldea :Bigarren aldea : 5Emaitza edo erroa : 4, izan ere,baita.2. adibidea :Lehen aldea :Bigarren aldea : 16Emaitzak edo erroak : 6 eta - 6Izan ere,baita eta baita

I.4. Ekuazioaren gaiak

Ekuazioaren gaiak zera dira, osagai dituen lehen eta bigarren aldeetako monomioetako bakoitza. Ezezagun bat duten gaiei, "x" adibidez, x-en gai deitzen zaie eta ezezagunik ez duten gaiei berriz "gai aske". Horrela,ekuazioan,

I.5. Inekuazioa

Inekuazioa, desberdintza da, aljebrako bi adierazpenen artean (>) "handiago.... (baino)", (<) "txikiago... (baino)", (>) "handiago edo berdin" (<_) "txikiago edo berdin".Inekuazioaren lehen aldea, desberdintza adierazten duen zeinuaren ezkerraldean idatzitako adierazpena da. Inekuazioaren bigarren aldea, desberdintza adierazten duen zeinuaren eskuinaldean idatzitako adierazpena da.1. adibidea:Lehen aldea : x - 3Bigarren aldea : 5x + 42. adibidea:Lehen aldea :Bigarren aldea : 03. adibidea :4. adibidea :

I.6. Ezezagun bateko ekuazioaren (edo inekuazioaren) maila.

Ezezagun bateko ekuazioaren (edo inekuazioaren) maila, ezezagunak duen berretzailerik handiena da.? Adibideak:x - 5 = 8lehen mailako ekuazioabigarren mailako ekuazioahirugarren mailako ekuazioalehen mailako inekuazioa

I.7. Ezezagun bat baino gehiagoko ekuazioaren (edo inekuazioaren) maila.

Ezezagun bat baino gehiagoko ekuazioaren (edo inekuazioaren) maila, ezezagunek dituzten berretzaileetatik handiena da.? Adibidea:laugarren mailakoa da

I.8. Ekuazio (edo inekuazio) baliokideak.

Ekuazio (edo inekuazio) baliokideak, emaitza edo erro berdinak dituztenak dira.Bi ekuazio (edo inekuazio) baliokideak direla frogatzeko, lehenengoaren edozein emaitza bigarrenarena ere badela frogatu behar da eta baita alderantzizkoa ere. Ekuazio (edo inekuazio) baten emaitza, harik eta emaitzak bistan jarriko dituen ekuazioa (edo inekuazioa) lortu arte bera baliokide diren beste batzuetan bihurtzen joanez lortzen da.? Adibideak :etabaliokideak dira, izan ere, aurrerago ikusiko denez, emaitza berbera baitute : 7.

.

I.9. Batuketa bidezko ekuazio (edo inekuazio) baliokideak.

Batuketa bidez ekuazio (edo inekuazio) baliokideak lortzeko, printzipio hau hartu behar da kontuan :Ekuazio (edo inekuazio) bateko bi aldeei edozein zenbaki batzen edo kentzen bazaie, lehenengoaren baliokidea den ekuazioa (edo inekuazioa) lortzen da.Adibidea :Ekuazio honen emaitza 3 da.Ekuazio honen emaitza ere 3 da.ekuazio baliokideak dira.inekuazioak baliokideak dira.Lehenengo printzipio horren ondorioz :? Edozein gai ekuazioaren (edo inekuazioaren) aldez alda daiteke, baina beti ere zeinua aldatu beharko du. Aldez aldatzeko eragiketari gai iraulketa deritzo., ekuaziotik,ekuaziora pasa daiteke.? Bigarren aldea beti labur daiteke zerora bertan dauden gai guztiak lehen aldera irauliz edo pasaz.Bediekuazioa ; beste era honetan ere idatz daiteke :

I.10. Biderkaketa edo zatiketa bidez baliokideak diren ekuazioak. Ekuazio honen emaitza ere 3 da.

Biderkaketa edo zatiketa bidez baliokideak diren ekuazioak lortzeko, printzipio hau hartu behar da kontuan :Ekuazio baten bi aldeak, zero balio ez duen zenbaki berberaz biderkatzen edo zatitzen badira, lehenengoaren baliokidea den beste ekuazio bat lortzen da.? Adibideak :Ekuazio honen emaitza 3 da.Ekuazio honen emaitza ere 3 da.Beraz,ekuazioa etaekuazioa elkarren baliokideak dira, izan ere, biek baitute emaitza berbera.Bedi 5x = 30 ekuazioa Ekuazio honen emaitza 6 da.Bi aldeak 5ez zatitzen badira, hondoko hau geldituko da :; hau daPrintzipio horren ondorioz :? Ekuazio bateko izendatzaileak kendu egin daitezke, gai guztiak izendatzaileen multiplo komun batez biderkatuta.Honako ekuazio honetatik,beste hau ateratzen daGai bakoitza sinplifikatzen bada, hondoko hau ateratzen da :eta ekuazio honetan jada ez dira izendatzaileak azaltzen ; baina lehenengoaren baliokidea da, hala ere.? Ekuazio bateko gai guztiak, zero balio ez duen zenbaki berberaz zati daitezke, hain zuzen ere, koefiziente osoen zatitzaile komun handienaz. Ekuazioa sinplifikatuta gelditzen da.? Adibidea :Ekuazio horren emaitza 4 da.Ekuazioaren gai guztiak 8z zatitzen badira, honako hau ateratzen da :eta hori beroriekuazioaren baliokidea da. Azken ekuazio honen emaitza ere 4 da. Beraz,ekuazioa eta

I.11. Biderkaketa edo zatiketa bidez berdinak diren inekuazioak

Inekuazio bat zero balio ez duen zenbaki batez biderkatzen edo zatitzen bada, bi gauza gerta daitezke :? Zenbakia positiboa izatea ; kasu horretan, desberdintzaren norantza mantendu egiten da.? Zenbakia negatiboa izatea ; kasu horretan, desberdintzaren norantza aldatu egiten da.inekuazioa emanda :baino bada,.baino bada,? Adibideak :

II. Ekuazio motak.

Ekuazioak, era honetan sailka daitezke :? Ezezagun-kopuruaren arabera, ezezagun bat, bi ezezagun, hiru ezezagun,..., n ezezagunekotan sailka daitezke.? Adibideak :ezezagun bateko ekuazioa da.bi ezezaguneko ekuazioa da.Datuak adierazita dauden moduaren arabera, letrazko edo zenbakizko ekuazioak izan daitezke, ezezagunei dagozkien letrez gainera, beste letra batzuek badituzten ala ez kontuan hartuta.? Adibideak :4x + 7 = 12x - 5 zenbakizko ekuazioa da eta ezezagun bakarra du.

Aldiz, y = mx + b letrazko ekuazioa da eta bi ezezagun ditu.? Ekuazio osoak edo zatikidun ekuazioak ere izan daitezke.

Ekuazio osoak, izendatzailean ezezagunik ez dutenak eta berretzaile negatiborik ere ez dutenak dira. Zatikidun ekuazioak aldiz, horietakoak dituztenak.? Adibideak :zatikidun ekuazioa da eta bi ezezagunekoa gainera.4x + 7 = 12x - 5 ekuazio osoa (zenbaki osoduna) da.? Ekuazio razionaletan, ezezagunetako ezein ere erro-ikurpean ez dagoenean eta zatikidun berretzailerik ere ez duenean edo ekuazio irrazionaletan horietakoak dituenean.? Adibideak :ekuazio irrazionala eta ezezagun bakarrekoa da.ekuazio razionala da.ekuazio irrazionala da.? Ezezagunak duen berretzailearen arabera, lehen mailakoak edo linealak, bigarren mailakoak edo koadratikoak, hirugarren mailakoak edo kubikoak, laugarren mailakoak eta orokorki n-garren mailakoak izan daitezke baldin eta beren maila n baldin bada.Adibideak :lehen mailako ekuazioa da, hots, ekuazio lineala.bigarren mailako akuazioa edo ekuazio koadratikoa da.

III. Ekuazioen ebazpena

Ekuazioak ebazteko, lehendabizi, zein motatakoak diren hartu behar da kontuan, izan ere, jarraitu beharreko bideak eta eman beharreko urratsak oso desberdinak baitira era batekoak izan ala bestekoak izan. Ez da bide berdina lehen mailako ekuazioak ezezagun batekin jarraitzea eskatzen duena, bigarren mailakoak ezezagun batekin behar duena edota bigarren mailatik gorako ezezagunak eskatzen duena.Edozein kalkulu egiten hasi aurretik, ekuazioaren eremua zehaztu behar da, hots, ekuazioaren lehenengo eta bigarren aldeak izan ahal izateko (existitzeko) x-ek izan behar dituen balioen multzoa zehaztu behar da.hain zuzen ere :? Ezezaguna zatiki baten izendatzailean baldin badago, izendatzailea zero bihurtzen duten x-en balioak eremu horretatik kendu beharra dago.? Adibideak : Bedi; hori,0 baldin bada bakarrik ebatzi ahal izango da, hots,bada.? Ezezaguna erro-ikurpean baldin badago, errokizuna negatibo bihurtzen duten balioak kendu beharra dago eremutik.? Adibideak : Bediekuazioa;bada bakarrik ebatzi ahal izango da, hau da,

IV. Ezezagun bateko ekuazioak.

I V A.1. Lehen mailako ekuazioak.

Lehen mailakoa eta ezezagun batekoa den ekuazioa ebazteko arauak:- Baldin badaude, izendatzaileak kontzen dira. Horretarako, gai bakoitza, izendatzaileen arteko multiplo komun txikienaz biderkatu behar da. - Baldin badaude, parentesiak (makoak) kentzen dira, horretarako lege banakorra erabiliz.

- Gaiak lekuz aldatu egiten dira harik eta x-dunak alde batean eta gabeak edo gai askeak bestean kokatzen diren arte.? Antzeko gaien artean laburpena egiten da.? Azkenik, ekuazioaren emaitza edo erroa lortzeko, gai askea, ezezagunaren koefizienteaz zatitzen da.Edozein modutan aurkeztuta ere, ezezagun bat duen lehen mailako ekuazioa, aurreko puntuetan esandakoaren arabera, baliokidea den beste batera eralda daiteke. Beste horrek, itxura hau izango du :? Baldin etaetabadira ekuazioak,emaitza bakarraizango du eta emaitza horrek,Ekuazioa, bateragarria eta zehatza da.a-k eta b-k zeinu berbera badute, erroa edo emaitza negatiboa da, baina a-k eta b-k zeinu desberdinak badituzte, emaitza positiboa izango da.? a = 0 etabadira, ekuazioak ez du emaitzarik. Ekuazioa bateraezina da.? a = 0 eta b = 0 badira, ekuazioak emaitza-kopuru infinitua du.

Ekuazioa bateragarria eta zehazgabea da.Ebatzitako adibideak :1. Ebatzi ekuazio hauek.Egiaztapena :Eremua : RIzendatzaileen multiplo komun txikiena 4 da.Egiaztapena :Eremua : RIzendatzaileen multiplo komun txikiena 60 da.Egiaztapena:Lehen aldea definituta dago, baldin etaetabaldin badira eta egon ere hala izanda bakarrik egongo da. Beraz, eremua,da.Ekuazioa sinplifikatu egiten daEgiaztapena :Lehen aldea definituta dago, baldin etabada eta egon ere hala izanda bakarrik egongo da. Eremua,Ekuazioa sinplifikatu egiten daEgiaztapena:

- Proposatutako ariketak

1. Ebatzi ekuazio hauek.

IV.A.2. Lehen mailako buruketak ezezagun batekin.

Buruketa edo problema bat aljebrako metodo bidez ebaztea, buruketak ematen dituen datuak aljebrako hizkuntzara itzultzea edo eraldatzea da. Buruketaren ebazpena, hiru zatitan bana daiteke :? Planteatzea? Ebaztea? EgiaztatzeaLehenengo atalean, aurkitu nahi dugun kopurua ezezaguntzat hartzen da eta hori x letraz adierazten da ; beste edozein letraz ere adieraz daiteke, nahi izanez gero. Problema, bere datuak erlazionatzen dituen ekuazioa idatziz planteatzen da.Bigarren atalean, ezezagun bateko lehen mailako ekuaziora iritsi behar da eta gero hori askatu behar da.Azkenik, lortutako emaitza/emaitzak egiaztatu egin behar da/dira problemak edo buruketak planteatutako egoerari erantzuten dion/dioten ala ez ikusteko.Ebatzitako adibideak.2. Ebatzi ondoren adierazten diren buruketak :a) 50 batuta, zein zenbakik ematen du 218?Planteamendua: Aurkitu nahi dugun zenbakiari x deituko diogu eta ekuazio hau idatziko dugu :Ebazpena:Egiaztapena : Kalkulatutako zenbakiari 50 batuta, 218 ematen digu.b) Aurkitu hiru zenbaki bakoiti jarrai, hiruen batura 459 dutenak.Planteamendua : aurkitu nahi ditugun zenbakietako lehenengoari x deituko diogu, hurrengoari x+2 eta hirugarrenari x+4. Ondoren, ekuazio. hau idatziko dugu : x + x + 2 + x + 4 = 459.Ebazpena: 3x + 6 = 4593x=459-6=453Egiaztapena. Kalkulatutako zenbakiak batuta, 459 lortzen da.151 + 153 + 155 = 459c) Pedrok, bere aitak baino 28 urte gutxiago ditu. Hemendik hamabost urtera, Pedrok halako bi urte izango ditu aitak.

Zein da une honetan bakoitzak duen adina?Planteamendua:Ebazpena :Egiaztapena :Aitaren adina hain zuzen ere, semearenaren bikoitza izango da.d) Laukizuzen baten altuera, oina baino 4 m txikiagoa da.

Altura 8 m handitu eta oina 3 m txikituz gero, laukizuzen berri bat ateratzen da eta azken honen azalera, hasierakoaren azalera bainohandiagoa da. kalkulatu hasierako laukizuzenaren neurriak.Ebazpena:Laukizuzenaren neurriak : oina = 10 eta altura = 6Egiaztapena.Lehenengo laukizuzenaren azalera :Bigarren laukizuzenaren azalera :Azaleren aldea edo diferentzia :e) Beren artean 500 km-ko distantzia duten bi hiritatik, une berean irten dira bi tren norabide berean eta aurkako norantzetan, elkarrekin topo egiteko asmoz. Lehenengoa, batez besteko 75 km/h lastertasunez doa eta bigarrena berriz batez besteko 50 km/h lastertasunez. Non elkartuko dira? Zenbat denboran ibiliak izango dira?Planteamendua :Ibilbidea guztira = A-k egindako ibilbidea + B-k egindakoaHigidura zuzen uniformean (berdinbanatuan), ibilbidea edo espazioa = abiadura. denbora.Ibilbideko zati desberdinentzat hori erabilita, hau ateratzen da :Ebazpena:Beraz, abiatu direnetik 4 ordura eta A trena irten den hiritik 300 km-ra elkartuko dira, izan ere, tren horrek ibilitako bidea 75 km/h. 4 h = 300 km baita.Egiaztapena :A trenak egindako bidea =B trenak egindako bidea = 50 km/h. 4 h = 200 kmIbilbidea (espazioa) guztira = 200 km + 300 km = 500 km

- Proposatutako ariketak

2. Ebatzi ondoren adierazten diren buruketa hauek.. ) Josuk, Dabidek baino 18 urte gehiago ditu eta orain hiru urte hark halako bi zituen. Kalkulatu gaur egun biek dituzten adinak.. ) Zatiki baten izendatzailea, zenbakitzailea baino 5 unitate handiagoa da. Zatiki horretan zenbakitzaileari 20 unitate batzen bazaizkio eta izendatzaileari 7, hasierako zatikiaren alderantzizkoa ateratzen da.c) Mendizale talde batek, Cares errekaren ibilbidea (21 km) egitea erabaki du eta ibilbidearen bi muturretatik abiatzen dira bi taldetan. Elkarrekin topo egitean, autoen giltzak trukatzeko asmoa dute. Lehenengo taldea, goizeko Betan iritsi da Poncebos-a (abiapuntuetako batera) eta berehala abiatu da 4 km/h batez besteko lastertasunez.

Bigarren taldea ordea, goizeko 9etan hasi da ibilbidean ibiltzen 4,5 km/h lastertasunez. Non elkartuko dira? Zenbat denbora egina izango dute ibilian elkartu arte?d) Lapur batek bitxitegi bati eraso ondoren, harrapakinak zakuratu eta 80 km/h lastertasunez ihes egin du. Bitxijabeak, telefonoz dei egin du hurbileneko polizitegira eta lapurra baino 10 minutu geroago, polizi talde bat abiatu da ibilbidearen norabide berean eta dirudienez norantza berberean. Lapurra 50 km-ra atxilotu nahi badute, zein izan behar du poliziek eraman beharreko batez besteko lastertasuna?e) Migelen aitak, semea baino hiru aldiz zaharragoa da, baina hemendik 14 urtera, Migel baino bi bider zaharrago baizik ez da izango. Zer adin du gaur egun bietako bakoitzak?f) Aita batek bere testamentua egin du eta bere kapitalaren laurdena utzi dio seme zaharrenari. Bigarrenari, gainerakoaren erdia utzi dio eta hirugarrenak berriz, banatutako kopuruaren herena jaso du. Gainerako hondarra, Gobernuz Kanpoko Erakunde (GKE) bati utzi dio ; azken honek 600.000 pta. jaso ditu. Kalkulatu banatu duen kapitalaren kopurua eta seme bakoitzari utzitakoa.

IV B.1. Bigarren mailako ekuazioa.

Bere gaiak laburtu ondorenitxuran azaltzen den ezezagun bateko bigarren mailako ekuazio deritzo ; x da ezezaguna eta a, b eta c berriz zenbaki errealakdela.

IVB.2. Bigarren mailako ekuazio-motak.

Bigarren mailako ekuazioak, era hauetakoak izan daitezke :? Osoak,etabadira.? Ezosoak

IV B.3. Bigarren mailako ekuazio osoen ebazpena.

Ezezagun bateko bigarren mailako ekuazio osoaren ebazpena ematen duen formula ezartzeko, ondoren aipatzen diren eragiketak egingo dira hurrenez hurren, harik eta lehenengo aldean binomioaren karratua izatea lortzen den arte.Bedi bigarren mailako ekuazio hau :? Lehendabizi, bi aldeak 4a-z biderkatzen dira eta hau ematen du :? Ondoren, gai askea aldez aldatzen da eta honako hau ateratzen da :? Segidan,gehitzen zaie bi aldeei :Lortutako berdintzan, lehenengo aldea,binomioaren karratua da, beraz, honela idatz daiteke :Bi aldeen erro karratua eginda, hau ateratzen da :Hau da,eta x askatuz, aurkitu nahian gabiltzan formula orokorra lortzen da :Emaitza honek adierazten digunez, bigarren mailako ekuazio batek, bi erro edo emaitza izan ditzake, honako formula hauek emanak :eta

IV B.4. Bigarren mailako ekuazioen emaitzen izaera

zenbaki erreala, D letraz (delta greziar letra larriz) irudikatzen da eta ekuazio edo trinomioaren diskriminatzaile edo bereizle deitzen zaio.?baino bada, ax 2 + bx + c = 0 ekuazioak, bi emaitza erreal eta desberdin izan ditzake :ekuazioak, bi emaitza erreal eta desberdin izan ditzake :etaEmaitzak kalkulatu ondoren, lehen ikusi den moduan, bigarren mailako ekuazioa bi faktoreen biderkaketa moduan deskonposa daiteke :?bada,ekuazioak, bi emaitza erreal eta berdin izan ditzake:Kasu honetan, bigarren mailako ekuazioa, binomioaren karratuaz ordezka daiteke :?baino bada, ekuazioak ez du emaitza errealik. Erroakzenbaki irudikariak dira.Ebatzitako ariketak.3. Aztertu ebatzi gabe ondoren ematen diren ekuazioen emaitzen izaera.Diskriminatzailearen edo bereizlearen balioa kalkulatzen da :Kasu honetan,da. Diskriminatzailea negatiboa denez, ez dago ebazpen errealik. Emaitzak irudikariak dira.Kasu honetan,diskriminatzailearen balioa,da.

Diskriminatzailea positiboa denez, bi emaitza erreal eta desberdin ditu.Kasu honetan,diskriminatzailearen balioa, 100-100=0 da.

Diskriminatzailea zero denez, bi emaitza erreal eta berdin ditu.Ebatzitako ariketak.4. Aztertu ondoren ematen diren ekuazioen emaitzen edo erroen izaera eta errealak badira kalkulatu.Diskriminatzailearen balioa kalkulatzen da :Kasu honeta, ,Diskriminatzailea edo bereizlea positiboa delako, bi emaitza erreal eta desberdin ditu.Ondoren, emaitza horiek kalkulatu egin daitezke (I) formula orokorra erabiliz :etaDiskriminatzailearen balioa kalkulatzen da :Kasu honetan,Diskriminatzailea edo bereizlea positiboa delako, bi emaitza erreal eta desberdin ditu.Jarraian, emaitza horiek, (I) formula orokorraren bitartez kalkula daitezke :etaDiskriminatzailea edo bereizlea zero denez, bi emaitza erreal eta berdin ditu. Honako hauek dira :Lehendabizi, ekuazioa laburtu eta ordenatu egiten da, gai koadratikoa koefiziente positiboarekin ipiniz eta gaiak laburtuz :Ondoren, diskriminatzaile edo bereizlearen balioa kalkulatzen da :

- Proposatutako ariketak

3. Aztertu ebatzi gabe ondoren ematen diren ekuazioen emaitzen izaera.

- Proposatutako ariketak

4. Ebatzi ekuazio hauek.

IV B.5. Bigarren mailako ekuazio ezosoen ebazpena.

Ekuazioa ezosoak, aurreko atalean jada ikusia dugun formula orokorra erabiliz ebatz daitezke, baina eragiketak oro har soilagoak dira ondoren adierazten den moduan zuzenean ebazten badira.A)erako ekuazioak.Ekuazio-mota hau ebazteko, urrats hauek jarraitzen dira :? Lehendabizi x faktore komuna ateratzen da :? Bigarren, biderkadura zero izan dadin, biderkatzaileetako batek zero izan behar du, hau da, :x = 0 edota ax + b = 0. Emaitzak beraz,dira.B)erako ekuazioak.Ekuazio mota hau ebazteko,? Lehenik,askatuz hasten da ; orduan, honako hau lortzen da :? Ondoren, bi aldeen erro karratua egiten da eta hau gelditzen da:Emaitzak, honako hauek dira :etaEmaitza horiek errealak izando dira, baldin eta a-k eta c-k alderantzizko zeinuak badituzte, izan ere, beren zeinuak berdinak badira, emaitzak, irudikariak izango baitira.Ebatzitako ariketak.5. Ebatzi bigarren mailako ekuazio hauek :Emaitzak honako hauek dira :Emaitzak honako hauek dira :Emaitzak honako hauek dira :etaEmaitzak honako hauek dira :eta

- Proposatutako ariketak

5. Ebatzi bigarren mailako ekuazio hauek.

IV. B.6 Bigarren mailako ekuazioen erroen eta koefizienteen arteko erlazioa.

Formula orokorraren emaitzak eragiketa soil batzuen menpe jartzen direnean zer gertatzen den ikusiko dugu.? Lehendabizi, emaitzen batura kalkulatuko dugu :Bigarren mailako ekuazio baten emaitzen batura, letrazko gaiaren eta gai koadratikoaren zatidura da zeinuz aldatuta.? Orain, emaitzen biderkadura kalkulatuko dugu :Bigarren mailako ekuazio baten emaitzen biderkadura, gai askearen eta gai koadratikoaren zatidura da.Ebatzitako ariketak.6. Kalkulatu ondoren ematen diren ekuazioen emaitzen baturak eta biderkadurak.. )BaturaBiderkadurab)BaturaBiderkadura

- Proposatutako ariketak

6. Kalkulatu ondoren ematen diren ekuazioen emaitzen baturak eta biderkadurak.

I V.C. Bigarren mailako ekuazioetara labur daitezkeen ekuazioak

I V. C.1. Ekuazio bikoadratikoak edo bikoadratuak.

Ekuazio bikoadratikoak edo bikoadratuak, laugarren mailako ekuazioak dira, baina ez dute maila bakoitiko gairik. Honako itxura honekin azaltzen dira :Ebazteko, bigarren mailako ekuazio bihurtzen dira ordezkapen hauek eginda :Orduan, ebatzi behar den ekuazioa,da.Ekuazio horrek, lehen ikusi denaren arabera, bi emaitza ditu :Aurkitu nahi ditugun x-en balioak lortzeko, z-rentzat kalkulatutako balioen erro karratua egingo dugu. Hau da :Ekuazio bikoadratikoak beti ere lau emaitza ditu eta horietatik batzuek edota denak irudikariak izan daitezke.Ebatzitako ariketak.7. Kalkulatu ondoren ematen diren ekuazioen emaitzak.. ).etaordezkapenak egiten dira. Ateratzen den ekuazioa honako hau da:; hor, a=4, b = -5 eta c=1 dira.Diskriminatzaile edo bereizlearen balioa kalkulatuko dugu :Kasu honetan,Diskriminatzailea positiboa denez, emaitzak, honako hauek dira :x-en balioak honako hauek dira :b).etaordezkapenak egiten dira. Ateratzen den ekuazioa honako hau da :, hor, a=1, b=13 eta c=36 dira.Diskriminatzaile edo bereizlearen balioa kalkulatuko dugu :Kasu honetan,. Diskriminatzailea positiboa denez, emaitzak, honako hauek dira :x-en balioak honako hauek dira :

- Proposatutako ariketak

7. Kalkulatu hondoko ekuazio hauen emaitzak.

IV C.2. Ekuazio irrazionalak.

Lehenago ikusi den moduan, ekuazio irrazionalak, ezezaguna erro-ikurpean dutenak dira.Gauza jakina da noski, ekuazio baliokideak, emaitza berberak dituztenak direla. Ikusi ere ikusia dugu, ekuazio baliokideak lortzeko, nahikoa dela ekuazioaren bi aldeei adierazpen berbera batzea edo kentzea. Era berean ekuazioaren bi aldeak ere adierazpen berberaz biderka edo zati daitezke emaitzak deusik ere aldatu gabe.Baina, zer gertatzen da ekuazio baten bi aldeen karratua jartzen denean? Ekuazio berriak, emaitza berberak al ditu? Erantzuna: ez beti. Ekuazio baten bi aldeen karratua idazten denean, beste ekuazio bat lortzen da eta oro har ez da izan ohi lehenengoaren baliokidea; halere ordea, lehenengo ekuazioko emaitza oro, bigarrenekoa ere izaten da. Aldiz, bigarreneko emaitza oro ez da beti lehenengoaren emaitza. Ekuazioaren bi aldeen karratua egitean sartzen diren emaitza berri horiei, emaitza arrotz deritze.Ondoren, adibide bat ebatzitako da esandakoa argitzeko.Bedi 3x = 12 ekuazioa. Ekuazio horren emaitza x = 4 da.Egin ditzagun orain ekuazioaren bi aldeen karratuak :Azken ekuazio hori ebatziz gero, emaitza hauek ateratzen dira :eta- 4 zenbakia,ekuazioaren emaitza da, baina ez da 3x = 12 ekuazioarena. Kasu horretan, -4, karratua kalkulatzean sartutako emaitza arrotza dela esaten da.Aurrez esanarekin, kontuan hartu behar da, alegia, ekuazio bat ebaztean ekuazioaren bi aldeen karratua kalkulatu beharra baldin badago, gero, ematen dituen emaitzak egiaztatu beharra dagoela, hasierako ekuazioa betetzen ez duten emaitza arrotzak baztertzeko.Ekuazio razionalak ebazteko, ondoren adierazten den moduan jokatu behar da :1. Aldeetako batean, errokizuna duen gaia bereizi egin behar da.2. Ekuazioaren bi aldeen karratuak kalkulatu eta idazten dira.3. Lortutako ekuazioa ebazten da.4. Ateratako emaitzek hasierako ekuazioa betetzen duten ikusi behar da. Betetzen ez dutenak baztertu egin behar dira.5. Aurrez esandakoaren arabera jokatzean, ekuazioa errokizunik gabe gelditzen ez bada, berriro ere era berean jokatzen da letik 4rako urratsak errokizunak desagertu arte behar adina aldiz errepikatuz.Ebatzitako ariketak.8. Ebatzi ekuazio irrazional hauek. Adierazi emaitza arrotzik dagoen ala ez.Azken ekuazio honen emaitzak, honako formula honen bidez kalkulatzen dira :beraz,Hasierako ekuazioa egiaztatzean,emaitza arrotza dela ikusten da. Proposatutako ekuazio razionalaren emaitza,dela ikusten da, izan ere,baita.Azken ekuazio honen emaitzak, formula honen bitartez kalkulatuko ditugu :beraz,Hasierako ekuazioan egiaztatzean,proposatutako ekuazioaren emaitza dela egiaztatzen da. Emaitza arrotza, kasu honetan,da, izan ere,

- Proposatutako ariketak

8. Ebatzi ekuazio irrazional hauek. Adierazi erro arrotzik dagoen ala ez.

V. Bigarrena baino maila handiagoa duten ekuazioak.

Bigarrena baino maila handiagoa duten ekuazioak baina bikoadratikoak ez direnak ebazteko, liburu honek helburua baino harago dauden prozedurak eta metodoak erabiltzen dira, beraz, aljebrako testu berezituak kontsultatu beharko dira horretarako.Hala ere ordea, badaude ekuazioak, emaitza osoak dituztenak eta Ruffiniren araua erabiltzeko aukera ematen dutenak, beraz, polinomioa faktoreetan deskonposatzea, ekuazio ebazpenerako sistema gisa ere erabil daiteke.Hala bada, bedi P(x) = 0 ekuazioa.Ekuazioaren lehen aldea osatzen duen P(x) polinomioa, faktoretan deskonposatzen bada, honako hau izango dugu :edota gauza bera dena: dela.Jada ikusia denez, ekuazioaren bigarren aldea zero izan dadin, nahikoa da faktore horietako edozeinek zero balio izatea. Beraz,ekuazioaren emaitzak izango dira, izan ere,balioek polinomioari zero balioa ematen baitiote.Ebatzitako ariketak.9. Ebatzi ekuazio hauek.

a)Ebazpena: Polinomioa Ruffini-ren araua erabiliz deskonposatzen da XI. atalean ikusi den moduan eta honako hau lortzen da :. Emaitzak, honako hauek dira :.. )Ebazpena: Polinomioa Ruffiniren araua erabiliz deskonposatzen da eta hau lortzen da:Beraz, emaitzak hauek dira:

- Proposatutako ariketak

9. Ebatzi ekuazio hauek.

V. Bi ezezaguneko ekuazioak

vA.1. bi ezezaguneko lehen mailako ekuazioak

Bi ezezaguneko lehen mailako ekuazio bat berdintza bat da.

Ekuazio horrek bi ezezagun ditu, x eta y gehienetan, eta terminoak, gehienez ere, lehen mailakoak ditu.Horrela adierazten da :, esate baterakoBi ezezaguneko lehen mailako ekuazio batean, berdintza betetzen duten balio pare guztiak (x,y) izan daitezke ekuazio horren emaitza.adibidean ondoren azaltzen diren pareek berdintza egiaztatzen dute, beraz, ekuazioaren emaitza dira :

V. A. 2 bi ezezaguneko lehen mailako ekuazio sistemak

Bi ekuaziok edo gehiagok sistema bat osatzen dutela esaten da, baldin eta ekuazio horiek emaitza komuna badute. Emaitza komun horiek dira sistemaren emaitza.Sistema bat ebaztea sistema horren emaitzak aurkitzea da. Eragiketa hori egitean gerta daiteke :Sistemak emaitzarik ez izatea ; hala denean sistema bateraezina dela esaten da.? Sistemak emaitza izatea; sistema bateragarria dela esaten da.

Baina sistema horrek edo emaitza bakarra du, eta sistemari bateragarri mugatu esaten zaio halakotan, edo emaitza infinituak ditu, eta orduan bateragarri mugagabe esaten zaio sistemari .