Fisika-Kimika»Fisika - Kimika

4. Dinamika klasikoaren oinarriak

Sarrera

Atal honetan gorputzen mugimenduaren sorburua aztertuko da batetik, eta gorputz batzuek beste batzuen mugimenduan zer eta nolako eragina duten, bestetik. Gorputzak zatikitzat hartuko dira. Bestalde, mugimendua zehazten duten ekuazioak zehatz-mehatz aztertuko dira.

Lehenengo lege esperimentala

Demagun bi zatiki daudela, eta , Unibertsoko gainerako zatikietatik oso urrun. Bi zatiki horien arteko elkar eragina dela-eta, elkar lotzen dituen lerro zuzenaren norabidea eta kontrako noranzkoa duten azelerazioak dituzte bi zatikiek (4-1 irud.). Bedi zatikiaren azelerazioa, zatikiak eragina dena eta lehen mailako

4.1 : Bi zatikiren arteko elkar eragina dela-eta (bi zatiki horiek Unibertsoko gainerako zatikietatik oso urrun daudenean), bi zatiki horiek elkar lotzen dituen lerro zuzenaren norabidea eta kontrako noranzkoa duten azelerazioak izango dituzte

inertzia sistema baten barruan dagoena, eta bedi zatikiaren azelerazioa, zatikiak eragina. Esperientziaz frogatu ahal izan da azelerazio horiek sortzen dituzten egoera fisikoak edozein direla ere (grabitazio erakarpena, erakarpen edo aldaratze elektrikoa, etab.), ondoko hau gertatzen dela beti,

non konstante eskalar positibo bat baita; konstante hori, bestalde, ez da bi zatikien posizio erlatiboaren, lastertasun erlatiboaren (zatikien lastertasunak txikiak direla argiaren lastertasunaren aldean hartuko da oinarri), denboraren eta posizioaren mendeko. Minus zeinuak zatiki baten eta bestearen azelerazioek kontrako noranzkoa dutela adierazten du. Konstanteak aditzera ematen du zatiki guztiek dutela tasun mekanikoren bat. Hori da, hain zuzen, lehenengo lege esperimentalaren adierazpena.

Bigarren lege esperimentala. Masaren definizioa

konstantea interpretatzeko hirugarren zatiki bat, , hartuko da, lehenbizi zatikian eragingo duena eta ondoren zatikian. Orduan bi adierazpen, elkarren antzeko, lortuko dira :

eta hiru konstanteak elkarren mendeko ez direla onar daiteke, baina esperientziaz frogatu ahal izan da konstante horien artean harreman hau dagoela:

Berdintza horren lehenengo osagaia ez da zatikiaren mendeko; horrek adierazten du k konstanteak konstante horien magnitudeen arteko harremanak direla.

adierazpenaren bigarren berdintzan berdintza ordezkatuz gero, beste hau lortzen da:

Harreman horren arabera, baldin eta zatikia eredutzat (standard) hartzen bada, edozein zatikiri lotu ahal izango zaio konstante bat; konstante horren balioak ez du zatikiaren mendeko izan behar. konstanteari horrela esaten zaio: l zatikiaren masa zatikiari buruz, edo l zatikiaren masa, besterik gabe. eta eginez gero -berdintza horietan ez da 0 azpi indizea aipatu, hala komeni baita-, azken adierazpen hori beste adierazpen hau bilakatuko da:

Adierazpen hori da bigarren lege esperimentala

Hirugarren lege esperimentala. Indarraren definizioa

Har dezagun berriz ere berdintza. Hipotesiaren arabera, masa eta azelerazioaren arteko biderkadura zatikien posizio erlatiboen, lastertasun erlatiboen eta denboraren mendekoa da. Mendekotasun funtzional hori beste bektore funtzio baten bidez adierazten da: hain zuzen. Funtzio horretan, berdintzak adierazten du zatikiaren posizio bektorea zatikiari buruz. Behin hori eginda, berdintza hau idatz daiteke:

funtzioa horrela defini daiteke: zatikiari eragiten dion indarra zatikiaren arabera. Berdin-berdin egin daiteke zatikiarekin:

harremanak adierazten du

betetzen dela, hau da: zatikiaren eraginez zatikiari eragiten dion indarra eta zatikiaren eraginez zatikiari eragiten dion indarra berdinak dira, baina kontrako norabidea dute. Indarra bektore bat da eta azelerazioaren norabide eta noranzko ditu. adierazpena dagokio hirugarren lege esperimentalari.

ekuazioa beste era hauetara idatz daiteke:

Ekuazio horietan ontzat hartu da m konstante bat dela . Azken adierazpen horri dinamikaren oinarrizko ekuazioa esaten zaio ; indarra masaren eta azelerazioaren arteko biderkaduraren berdina dela adierazten du . Ekuazio hori oinarrizkoa da mugimenduaren inguruko problemak ebazteko

Laugarren lege esperimentala. Gainkatzearen printzipioa.

Bedi zatikizaren azelerazioa zatikiek lehenengo zatikian batera eragiten dutenean. Baldin eta -k adierazten badu zatikiaren azelerazioa, zatikia etab. daudenean bakarrik, hau frogatzen da:

hau da, zenbait zatikiren eraginaren mende dagoen zatiki baten azelerazioa eta zatiki guztiak batera arituko balira sortuko luketen azelerazioen bektore batuketa berdinak dira (gainkatzearen printzipioa). Beste era barera esanda: zatikien arteko eraginek sortzen dituzten azelerazioak askeak dira.

Aurreko ekuazioa bider m l egiten bada, emaitza indarren arabera zehatz daiteke. Emaitza hau da:

Adierazpen horren bidez indarren gainkatzearen legea azaltzen da ; indarrak askeak direla frogatzen du adierazpen horrek . Azken adierazpen horrek, bestalde, laugarren lege esperimentala azaltzen du

Newtonen mugimenduaren legeak

Lau lege esperimental horien oinarrizko edukia eta Newtonen mugimenduaren hiru legeak baliokideak dira. Newtonen legeak honela azaltzen dira:

I. Kanpoko eraginik ez duen zatikiak geldi irauten du edo (erro zuzen bat eratuz egiten duen mugimenduari eusten dio, harik eta kanpoko indar batek egoera hori aldarazten duen arte (inertziaren legea).

II. Zatiki baten azelerazioa zatiki baten gainean egiten den indarraren proportzionala da, eta indarra egiten den norabide berean mugitzen da (dinamikaren oinarrizko legea).

III. Bi zatikik elkarri eragiten diotenean, zatiki baten gainean egiten den indarra beste zatikiaren gainean egiten den indarraren berdina eta kontrakoa da (akzioaren eta erreakzioaren berdintasun legea).

Inertziaren legeak materiaren oinarrizko ezaugarrietako bat azaltzen du. Zatiki batek indar baten eraginik ez badu, alegia F=0 bada, zatikia edo geldirik dago edo lastertasun konstanteaz mugitzen da . F=O denean zatiki batek egiten duen mugimenduari inertzia mugimendua esaten zaio. Mugimendu horretan zatikiaren azelerazioa baliogabea izaten da (a=0).

Inertzia legea betetzen duen erreferentzia sistemari inertzia sistema esaten zaio.

Bigarren legea, lehenengoa bezalaxe, inertzia sistema batentzat bakarrik hartzen da ontzat. Lege horretatik ondorio hau ateratzenda: materia puntu baten inertzia neurria puntu horren masak adierazten du.

(4.9) berdintzaren bidez masa neur daiteke. Esperientziaren arabera, grabitatearen indarraren eraginpean, W, zatiki guztiak libre erortzen direnean, azelerazio berdina dute, g, grabitatearen azelerazioa alegia. Beraz, (4.9) ekuazioaren arabera, hau lortuko da:

Beraz, gorputz baten masa gorputzaren pisua zati grabitatearen azelerazioaren berdina da.

Hirugarren legeak bi materia zatikiren arteko elkar eragin mekanikoaren izaera zehazten du. Materia puntu askeen arteko eragin indarrek ez dute oreka sistema bat osatzen, izan ere, indarrek gorputz desberdinei eragiten baitiete

Banako sistemak

Magnitude mekanikoak neurtzeko hiru neurri banako behar dira. Luzeraren eta denboraren banakoak zinematikan azaltzen dira. Oinarrizko hirugarren banakotzat masa edo indarra hartzen dira. Dena dela, bi banako horiek ezin daitezkeenez arbitrarioak izan, elkarri lotuta egon behar baitute (4.9) berdintasunaren bidez, oinarrizko banakoen bi sistema erabili ahal izango dira.

Lehenengo banako sistema

Sistema mota hauetan oinarrizko banakotzat luzera, masa eta denbora banakoak hartzen dira. Indarraren banakoa, beraz, banako eratorria da. Sistema mota hauetako bat Nazioarteko Banako Sistema (NBS) da. Sistema horretan, oinarrizko banakoak hauek dira: metroa (m), kilogramo masa (kg) eta segundoa (s). Indar banakoa newtona da (N): kilo bat masari azelerazioa eragiten dion indarra.

CGS sisteman oinarrizko banakoak zentimetroa (cm), gramo masa (g) eta segundoa (s) dira. Sistema horretan indarra dinatan neurtzen da (dyn). Newtonaren eta dinaren artean harreman hau dago:

Bigarren banako sistema

Sistema mota hauetan oinarrizko banakotzat hartzen dira luzera, indarra eta denbora. Masaren banakoa sistema hauetan banako eratorria da. Sistema mota hauen barruan daude: metroa, kilogramo indarra, segundoa. Sistema hauetan masa banakoa kg da, hau da, kilogramo bateko indarrak

Mekanika klasikoaren mugak

Newtonek azaldu zituen mekanika klasikoaren legeak, ordea, zenbaitetan ez dira egokiak izaten; beraz, aldatu egin behar dira zatikiak argiaren lastertasunaren inguruko lastertasunaz mugitzen direnean, eta eskala txikiko gertakariak azaltzeko erabiltzen direnean, esate baterako fisika atomikoan eta nuklearrean izaten diren gertakariak azaltzeko. Lehenengo kasuan mekanika klasikoaren ordez mekanika erlatibista erabiltzen da, eta bigarrenean, berriz, quantumen mekanika. Hala ere, mekanika erlatibistak eta quantumen mekanikak Newtonen mekanika onartzen dute mugamugan. Dena dela, mekanika klasikoak gertakari fisikoen deskripzio egokia egiten du.

Inertzia indarra

Newtonen legeak, lehen esan bezala, erreferentzia sistema inertzial batean erabil daitezke. Koordenatu sistema ez inertzialetan, ordea, Newtonen legeak aldatu egin behar dira.

Demagun inertziala ez den O'x'y'z' sistema bat azelerazio konstanteaz mugitzen dela Oxyz erreferentzia sistema inertzialari buruz (4.2 Irud.). Bedi gorputz baten azelerazioa errefentzia sistema ez inertzialari buruz eta a gorputz horren azelerazioa erreferentzia sistema inertzialean. Orduan, berdintzatik berdintza ateratzen da. Hortaz:

edo bestela,

non

inertzia indarra den. Beraz, gorputzaren masa eta erreferentzia sistema ez-inertzialaren arteko biderkaduraren berdina eta kontrako norabidekoa da inertzia indarra. Inertzia indarrak ez direnez beste gorputzekin izandako eraginen ondorio, erreferentzia sistemako osagai azeleratuaren ondorio baizik, indar horiek ez dute Newtonen hirugarren legea betetzen. Inertzia indarren adierazpena erreferentzia sistema ez inertzialaren mugimenduaren arabera aldatuko da (lerro zuzena, zirkularra, etab.).

Adibidea. Tren bagoi baten sabaitik m masako gorputz bat zintzilikatzen da hari batetik, 4.3 irudian ikusten den bezala. Bagoia eskuinerantz azeleratzen denean, hariak angeluko desbideratzea jasaten du. Zehaztu bagoiaren azelerazioa: a) lurrari buruzko koordenatu sistema finko bat erabiliz eta b) koordenatu sistema azeleratu bat erabiliz.

Ebazpena: a) Lurrari dagokion koordenatu sistema finko bat erabiltzen denean m masa bi indarren eraginpean dago: hariaren T tentsioa eta mg pisua. Beraz,

edo:

Horrenbestez, bagoiaren azelerazioa da.

b) Bagoiari dagokion koordenatu sistema finko bat erabiltzen denean, berriz, m masa geldik dago. Kasu honetan sistemari hariaren T tentsioak, mg pisuak eta inertziak eragiten diotenez:

edo:

hau da, berriro

LANA ETA ENERGIA

Oinarrizko lana

Demagun P materia puntu batean indar bat egiten dela, puntuak espazioan duen posizioaren funtzioaF=F (xyz) dela; bedi dr puntuak izan duen leku aldatzea (4.4 irud). F eta arteko biderkadura eskalarrari esaten zaio dr leku aldatzeari dagokion F indarraren oinarrizko lana, ( -ren ordez sinboloa erabiltzen da adierazteko ez dela diferentzial zehatza), hau da:

4. 4. F indarraren eta indar horren aplikazio puntuaren dr oinarrizko leku aldatzearen arteko biderkaketa eskalarra eginez gero, indarrak egindako oinarrizko lana lortzen da .

Baldin eta, ds laburduraren bidez adierazten bada kurban neurtutako arkua eta berdintzaren bidez bektore tangente bateratzailea P puntuan, orduan:

Baina denez gero, non den F eta bektoreek osatzen duten angelua, beste ekuazio hau ere lor daiteke:

Leku aldatzea indarren norabide eta noranzko berean gertatzen bada, orduan, denez gero, hau lortuko da:

eta F indarra dr leku aldatzeari buruz zuta bada, orduan, denez gero, berdintza hau lortzen da:

Hau da, indarrak ez du lanik egiten. Azkenik, F eta dr bektoreek angelu zorrotza eratzen badute, lana positiboa izango da, eta angelu kamutsa eratzen badu, berriz, lana negatiboa izango da.

leku aldatze infinitu txikia dt denboran egiten bada, puntu horrek lekuz aldatzean hartzen duen lastertasuna izango da, eta oinarrizko lanarentzat adierazpen hau lortzen da:

izan ere, indarrak eta lastertasunak eratzen duten angelua eta indarrak eta leku aldatzeak eratzen dutena berdinak dira

Lana kurba batean

Zatikiak C kurba bat eratzen badu espazioan, leku aldatze osoa oinarrizko leku aldatze infinituen emaitza bezala har daiteke eta F indarraren lan osoa oinarrizko lan guztien batuketa bezala, hau da:

W limitea F indarraren lan osoa da; eta C kurban F indarraren kurba integral baten bidez adierazten da:

Koordenatu kartesiar lauki zuzenetan lan osoa honela adierazten da:

4.5: Indar batek kurba batean egiten duen indarra eta kurba horretan hartutako Oinarrizko lanaren integrala berdinak dira

non indarren proiekzioak baitira, eta dx, dy, dz, berriz, dr leku aldatze bektorearen proiekzioak. C jartzen denean integralaren behealdean, integrazioaren bidea adierazten da.

Adibidea.

Helize formako malguki baten luzapenean egindako lana

Esperientziaren arabera malguki bat x luzeraraino luzatzeko behar den F indarra leku aldaketaren proportzionala da (Hookeren legea), non k proportzionaltasun konstante bat baita. Horrenbestez:

non eta malgukiaren hasierako eta amaierako luzerak diren, hurrenez hurren. 4.6 irudian lan hori trapezioaren gainaldearen areak adierazten du. Baldin eta eta , orduan:

C kurba parametro ekuazioen bidez definitzen bada:

non t, esate baterako, denbora baita, orduan (4.25) ekuazioa era honetara idazten da:

Adibidea. Zatiki bat kurban zehar mugitzen da indarraren eraginpean. Zehaztu indar horrek t = 1, t = 2 tartean egindako lana. (4.7 irudia)

Ebazpena. (4.27) ekuazioa erabiliz ondoko adierazpena ateratzen da:

Lan unitatea

Nazioarteko Banako Sisteman lanaren unitatea Newton-metroa da (N-m). Joule esaten zaio ( j ):

CGS sisteman lanaren unitatea dina-zentimetroa da. Ergio esaten zaio (erg):

Joulearen eta ergioaren arteko elazioa hau da:

Teknikan, kilogrametroa ere erabiltzen da (kg-m). Kilogrametro bat hau da: kilogramo bateko indarrak, indarraren aplikazio puntua lekuz metro batez aldatzen denean, egiten duen lana. Baina, lkg=981 000 dyn eta lm = 100 cm denez gero:

Beraz:

Potentzia

Indar baten lana definitzen denean, ez da kontuan hartzen lan hori egiteko behar den denbora. Hala ere, oinarrizkoa izaten da jakitea F indar batek denbora unitate batean zenbat lan egiten duen.

Baldin eta zeinuak adierazten badu F indarrak dt denboran egiten duen lana, potentzia honela lortzen da:

oinarrizko indarren ordez jarriz gero, hau lortzen da:

edo bestela:

non F aplikazio puntuaren lastertasuna edo indar egiten den zatikiaren lastertasuna baita Beraz, potentzia F eta v bektoreen biderkadura eskalarrak neurtzen du eta, oinarrizko lana bezala, positiboa, negatiboa edo baliogabea izan daiteke, F eta dr bektoreek angelu zorrotza, kamutsa edo zuzena osatzen duten

4.8: F indarraren eta indarra aplikatzen den puntuaren v lastertasunaren arteko biderkadura eskalarrak ahalmena ematen du

Potentzia unitatea

SI sisteman potentzia unitatea Joule da. Watt esaten zaio:

CGS sisteman, potentzia unitatea ergio s da

Teknikan, kilowatt da gehien erabiltzen den banakoa. Zaldiak ere asko erabiltzen dira (CV):

Kilowatt orduko. Ordubetean kilowatt bateko potentiza duen motor batek egiten duen lanari kilowatt orduko esaten zaio (kWh):

Potentzial energia

Demagun zatiki batean eragiten duen indarra puntuaren posizioaren funtzioa dela, hau da, . Orduan, indar eremua sortzen da. Indarrak egiten duen lana, edozein C ibilbidean puntu bat -tik r-ra mugitzen denean, hau da:

Oro har, puntuak tik r-ra mugitzeko egiten duen ibilbidearen araberakoa da lan hori. Hala ere, zenbaitetan, F indar eremua hainbestekoa da non integralaren balioa ez baita ibilbidearen mendekoa. Eremu horiei kontserbatzaile esaten zaie, ere, geroago ikusiko dugun bezala, horietan energia mekanikoa kontserbatu egiten baita.

Indar eremu bat kontserbatzailea da, V(r) =V(x, y, z) funtzio eskalar bat bada berdintza hau betetzen duena:

Halakoetan, F indarrak eta r(x, y, z) puntuen artean egindako lana eta V(x, y, z) funtzioaren muturreko bi puntu horien arteko gutxitzea berdinak dira. Hori hala denean, lanaren balioa ez da integrazioan egindako bidearen mendekoa. Funtzio horri puntuaren potentzial energia F indar eremuan esaten zaio. Lana baliogabea da baldin eta C kurba itxia bada, izan ere, halakoetan baita, eta orduan:

Ekuazio horren arabera, puntutik r puntura joateko egindakolana ez da ibilbidearen mendekoa. Esate baterako, demagun etar puntuen artean bi ibilbide daudela, I eta 11, orduan (4.9. irud)aurreko ekuazioaren arabera:

edo:

hau da, egindako lana ez da integrazioan egindako ibilbidearen mendeko.

4.9 . A eta B puntuen arteko integrazioa egiteko bi bide desberdin . Indar eremu kontserbatzailean egindako lana ez da integrazioan egindako ibilbidearen mendekoa

Adibidea. Kalkulatu indarrak (0,0) puntutik (1,1) puntura bitartean egindako lana ondoko kasu hauetan: a) indarraren aplikazio puntuak egindako ibilbidea y = x lerro zuzena denean; b) indarraren aplikazio puntuak egindako ibilbidea parabola denean, eta c) indarraren aplikazio puntuak egindako ibilbidea x = 0 puntutik x = 1 puntura bitarteko x-en ardatza, eta x= 1 lerroa y = 0 puntutik -v = 1 puntura denean (4.10 irud.).

Ebazpena: Bedi ibilbidearen puntu bat, edozein. F = 0 eta dz = 0 denez, orduan da.

a) y = x ibilbidean zehar dy = dx da. Beraz:

b)

c) y = 0 lerroan zehar dy = 0 da, eta x = 1 lerroan zehar dx = 0. Beraz:

Ikusten denez indarrak egindako lana independentea da hasierako puntutik amaierako puntura joateko egindako ibilbideari buruz.

Indar eremu kontserbatzaileak

Grabitazio eremua

indar eremu kontserbatzailearen adibide arruntena grabitazio eremua da. Grabitatea bada zatikiari eragiten dion indar bakarra, eta z ardatza bertikala eta goranzko norabidekoa bada (4.11 irud.), orduan:

eta

Beraz, 4.41 ekuazioaren arabera, hau lortuko da.

edo,

4. 11 : Grabitate indarraren lana indarraren modulua bider indarraren aplikazio puntuaren goitik beherako leku aldaketa da

non V ahalmen energia zero dela hartu baita abiapuntutzat, z=0 bete dadin. Beraz, materia puntu batek grabitazio eremuan duen energia potentziala, konstante arbitrario gehigarri bat salbu, z-ren mendeko baizik ez da, eta ekuazio honen bidez adierazten da:

Kontuan hartzekoa da edozein indar konstanteren (F=c=cte) eremua kontserbatzailea dela.

Indar zentral baten eremua

Bada beste eremu kontserbatzaile garrantzi handiko bat, indarzentralarena hain zuzen, hau da, O puntu finko batetik -indar zentroa- igarotzen den eragin lerroaren indar eremua, zeinaren magnitudea P aplikazio puntuen eta 0 zentroaren arteko distantziaren mendeko baizik ez den (4.12 irud.). Koordenatuen sorburutzat 0 puntua hartuz gero:

non bektore bateratzailea baita. Kontuan hartu behar da ez dela hipotesirik egiten F(r) formari buruz, F-k eta r-k noranzko bera dutelakoa salbu. F eta r noranzko berekoak badira, F indarrak koordenatuen sorburutik, O, eragiten den aldaratzea adierazten (tu; F eta r kontrako noranzkoak badira, aldiz, indarra erakarpenezkoa izango da, eta O erakarpenaren zentroa.

4.12: Beti puntu finko batetik -indar zentroa- igarotzen den eragin lerroa dagokion indar baten eremua eremu kontserbatzailea da

a) betetzen bada, hau da, indar zentrala r distantziaren proportzionala bada, malguki bati lotutako materia puntu batean gertatzen den bezala, orduan:

Beraz,

non r=O-ren lekuan jarri den.

b) bada, hau da, indarra distantziaren koadroari buruzko alderantziz proportzionala bada, orduan:

Beraz,

non berdintzarako ontzat hartu den V ahalmen energia zero dela.

ekuazioan eginez gero, grabitazio indarra ate- ratzen n da, eta eginez gero, berriz, Coulomben legea lortzen da

Materia puntuaren dinamika

Mugimenduaren ekuazioak

Dagikunez, m masa duen zatiki baten mugimenduaren ekuazioa hau da:

non F letraren bidez zatikiaren gainean eta bere a azelerazioan eragiten duen indar osoa edo ondoriozko indarra adierazten baita. Ekuazio horren bektore ekuazioa azalduz gero koordenatu angelu zuzenez osatutako sistema batean ekuazio horrek dituen osagaien arabera, hiru ekuazio eskalar hauek lortuko dira:

Dinamikaren inguruko arazoak

Dinamikan bi arazo mota izaten da, bata bestearen alderantzizkoa: batetik, materia puntu baten mugimendu legea ezagututa, zerk eragiten duen indarra zehaztea; bestetik, egindako indarra ezagututa, puntuaren mugimendua zehaztea. Lehenengo arazoa deribatuarekin konpontzen da. Bigarren arazoa konpontzen zailagoa da, eta arazo horixe da hain zuzen, puntuaren dinamikan oinarrizko arazoa . Atal honetan bigarren arazo hori aztertuko da.

Demagun m masa duen P puntu mugikor batean F indarrak eragiten duela. Oro har, indar hori bere posizioaren, lastertasunaren eta denboraren funtzioa izango da, hau da:

Puntuaren mugimenduaren ekuazioak dinamikaren oinarrizko ekuazioa bete behar duenez gero:

Bigarren mailako ekuazio diferentzial hori integratuz gero, r aterako da t-ren arabera. Ekuazio horren emaitza orokorrak bi integrazio bektore konstante ditu (edo sei integrazio konstante eskalar: . Arazo bakoitzean, bi bektore konstante arbitrario horiek mugimenduaren hasierako baldintzen arabera zehaztu daitezke, hau da, puntu mugikorrak unean dituen posiziotik eta lastertasunetik abiatuta (oro har, t=0 aukeratzen d.a)

Berezko ekuazioak

Ibilbidea ezagutzen denean, hau da, s t-ren arabera ezagutzen denean, m zatikian egiten den F indarra hiru indarretan banatzea komeni izaten da: Hiru indar horiek F indarraren proiekzioak diren ukitzailean, normal nagusian eta binormalean, hurrenez hurren:

beti positiboa eta beti baliogabea direnez gero, indarrak alde ahurraren ibilbidearen plano oskulatzailean egon behar du (4.13 irud).

F indarra ibilbideari buruz normala eta konstantea bada, , lastertasuna konstantea izango da eta indarra makurduraren erradioaren alderantzizko arrazoiaren arabera aldatuko da.

F indarra ibilbideari buruz tangentea eta konstantea bada, orduan:

eta v ez denez gero baliogabea, p infinitua da eta ibilbidea lerro zuzena. Mugimendua plano batean egiten denean, orduan mugimenduaren planoa plano oskulatzailea da, eta tangentea eta normala plano horretan egongo dira.

Adibidea.

Pendulu konikoa

Luzera l duen hari baten muturrean lotuta dagoen m masako zatiki batek r erradioko ibilbide zirkularra egiten du plano horizontal batean zenbakizko v lastertasun konstantean, eta hariak kono baten gainaldea irudikatzen du (pendulu konikoa). Zehaztu hariak bertikalarekin eratzen duen f angelua.

Ebazpena: Zatikiari indar hauek eragiten diote: bere pisuak, W = mg eta hariaren T tentsioak (4.14 irud.). Baldin eta F bada ondoriozko indarra,

F = W + T izango da.

Baina, zatikia plano horizontal batean higitzen denez, z konstantea da eta

Beraz, z ardatzean zehar formularen emaitza zero da. Orduan,

Gainera, v lastertasuna konstantea denez,

Horrela, beraz, ondoriozko indarrak konstanteki normala izan behar du ibilbideari buruz. Horrenbestez:

(a) eta (c) ekuazioetatik beste ekuazio hau ateratzen da:

Puntuaren dinamikaren teorema orokorrak

Sarrera

Dinamikaren inguruko arazoak konpontzeko, batzuetan, mugimenduaren ekuazioak integratu ordez, egokiagoa izaten da teorema orokorrak erabiltzea; teorema horiek dinamikaren oinarrizko legearen dedukzioz atereak dira. Teorema horiei esker, bestalde, gertakari jakin batek berezkoak dituen zenbait alderdi aztertu daitezke gertakari osoa ikertu gabe. Horrez gainera, teorema horiek, askotan, arazo askoren konponketa prozesua sinplifikatzen dute.

Integrala indarraren denborarekiko. Bultzadaren teorema

mugimenduaren ekuazio difentzialaren integrazioa egiteko bi sistema erabiltzen dira. Lehenengoan, indarra denboraz biderkatzen da, eta bigarrenean, indarraren eta puntuaren leku aldatzearen arteko biderkadura eskalarra egiten da. Ondoren lehenengo sistema aztertuko da.

mugimenduaren ekuazioa bider dt egiten bada, hau lortzen da:

Ekuazio horren lehenengo osagaia limiteen artean integratuz gero, eta bigarren osagaia limiteen artean, hau gelditzen da:

p = mv bektoreari (v lastertasun bektorearen eta m puntuaren masaren arteko biderkadura) momentu lineala edo mugimendu kurua esaten zaio, eta indarraren denborari buruzko integralari, indarraren bultzada.

Momentu lineala magnitude bektoriala da; momentu horren norabidea eta noranzkoa zatikiaren lastertasunarekin bat datoz. Fisikan garrantzi handiko kontzeptua da momentu lineala; zatiki baten egoera dinamikoaren ezaugarri diren bi osagaiak, masa eta lastertasuna, lotzen ditu.

(4.62) ekuazioak adierazten du indar baten bultzada eta momentu linealaren gorabehera berdinak direla (bultzadaren teorema).

F ez badago denboraren mende, bultzada eta indarraren eta denboraren arteko biderkadura berdinak dira. Bultzada berdina izandaiteke denbora luzez irauten duen indar txiki batentzat eta denbora laburreko indar handi batentzat. Beraz, bultzadak indar baten eraginkortasuna neurtzen du. Bultzadaren eta momentu linealaren banakoak berdinak dira. -tan, eta CGS sisteman dinatan edo g cm -tan.

Mugimenduaren ekuazioa integratzeko metodo hau indarra konstantea denean edo denboraren funtzio ezaguna denean erabiltzen da.

(4.62) ekuazioanp-ren ordez mv jartzen bada, badago ekuazio hori berriz ere integratzea. Hala egiten denean, zatikiaren lastertasuna denboraren arabera lortuko da:

eta v= dr/dt denez gero, beste integrazio baten bidez, zatikiaren posizioa zehatz daiteke, edozein unetan:

non zatikiaren posizio bektorea baita unean, eta r posizio bektorea t unean

Adibidea. m = 3 kg masako zatikia lastertasunean mugitzen da x ardatzaren norabide positiboan. Aurkitu zatiki horri indarrak bi segundoz eraginez gero zatikiak bi segundoak igaro ondoren izango duen lastertasuna.

Ebazpena: Indarraren bultzadari ekuazio hau dagokio:

t = 0 denean zatikiaren lastertasuna bada eta t = 2 segundotan v bada, orduan:

Beraz, (4.62) ekuazioaren arabera

izango da,

hau da:

Indarraren integrala leku aldatzeari buruz. Energia zinetikoa

mugimenduaren ekuazioaren integrazioa egiteko aipatu den bigarren metodoa era honetan da: ekuazio horren bi aldeen eta leku aldatzearen arteko biderkadura eskalarra eginez:

Baina,

denez gero, hau ateratzen da:

edo bestela, m konstantea dela onartu denez gero:

Beraz:

C kurba batean -tik r-ra era finituan lekuz aldetzeko, indarrak egiten duen lana hau izango da:

non zatikiak amaierako puntuan duen lastertasuna baita eta zatikiak hasierako puntuan duen lastertasuna.

eskalarrari zatikiaren energia zinetikoa esaten zaio; energia zinetikoa T letraz adierazten da. Azken ekuazio horren arabera, F indarraren forma funtzionala eta zatikiaren ibilbidearen forma edozein direla ere, indarrak egiten duen lana eta zatikiaren energia zinetikoak izaten duen aldaketa berdinak dira (energia zinetikoaren aldaketaren teorema).

F konstantea edo r posizio bektorearen funtzio ezaguna denean erabiltzen da mugimenduaren ekuazioaren integrazio metodo hori. Oro har, energia zinetikoa unetik unera aldatu egiten da, ez da inoiz negatiboa izaten, eta baliogabetu egiten da gorputza geldi dagoenean.

Energia zinetikoa neurtzeko lana neurtzeko erabiltzen diren banako berberak erabiltzen dira.

Zatiki baten energia mekanikoaren kontserbazio printzipioa

Zatiki bati eragiten dion indarra kontserbatzailea denean, (4 .41) eta (4 .70) ekuazioak elkar daitezke . Orduan hau ateratzen da :

Ekuazio horren lehenengo atala bi energien arteko batura da, energia zinetikoaren eta energia potentzialaren artekoa, alegia. Energia zinetikoa zatikiaren mugimenduari dagokio; potentziala, berriz, posizioari. Ekuazio hori marruskadurarik ez dagoenean aplika daiteke bakarrik; bestalde, energiaren kontserbazioari buruzko legearen kasu berezia da. Gorputz eremu batek funtzio potentziala badu, mugitzen den zatiki baten energia zinetikoaren eta potentzialaren batura konstantea izango da. Energia zinetikoaren eta potentzialaren batuketak energia mekanikoa ematen duenez gero, aurreko esapide horri energia mekanikoaren kontserbazio printzipioa esaten zaio. Eta horregatik esaten da funtzio potentziala duen ndar eremu bat kontserbatzailea dela

Energia potentziala koordenatu bakar baten mende baldin badago, x koordenatuaren mende, esate baterako, orduan azken ekuazio hori beste era honetara idazten da:

non, E, energia osoa, konstante bat baita.

Mugimendu lerro zuzenerako lastertasunaren balioa v = dx/dt denez gero, ekuazio horrek balio du x lortzeko t-ren arabera, hau da, zatiki baten mugimendu lerro zuzenaren problema ebazteko.

Oharra. ekuazioa, energia zinetikoa ematen duena batetik, eta W = VO-V ekuazioa, energia potentziala ematen duena bestetik, konparatzen badira, ikus daiteke lehenengo ekuazioa, oro har, erabil claitekeela F indarra edozein izanda ere; bigarrena, aldiz, F indarrak ekuazioa betetzen duenean baizik ezin da baliatu, hau da, indarra V potentzial batetik datorrenean baizik ez.

Adibidea.

1. Grabitate eremuan higitzen den puntu material askea

Ardatz bertikal gisa goranzko z ardatza hartzen bada, orduan:

Energia mekanikoaren kontserbazio printzipioaren arabera:

2. Distantziaren proportzionala den indar batek puntu finko batera erakarritako puntu materiala

F(r) = - kr eta denez, energiaren kontserbazio printzipioaren arabera ondoko adierazpen hau ateratzen da:

3. Distanziaren koadroari buruz alderantziz proportzionala den indar batek puntu fmko batera erakarritako puntu materiala

denez, energiaren kontserbazio printzipioaren arabera:

Energiaren kontserbazioa

Sistema bakartu batean, hau da, kanpoko indarren eraginik ez duen sistema batean, energia zinetikoaren eta energia potentzialaren arteko T + V baturak ez du derrigorrez konstantea izan behar, izan ere, badira hori hautsi denik, ezezaguna den energia modu berri bat sortu dela baizik. Energiaren kontserbazio printzipioaren interpretazio horren adibide argia da neutrinoarena Q desintegrazio teoriaren barruan.

Zatiki baten momentu angeluarra

Zenbaitetan, materia puntu baten mugimendua aztertzean, mv momentu linealaren bektorea zehaztu beharrean egokiagoa izaten da bektore horren momentu aldaketa zehaztea. mv bektorearen momentua eta indar baten momentua berdin-berdin kalkulatzen dira. Demagun m masa duen zatiki bat eta O puntu finko bat daudela (4.15 irud). Momentu angeluarra O puntuari buruz esaten zaio honela definitutako bektoreari:

non r eta v-k zatikiaren posizioaren bektorea eta bere lastertasuna O puntuari buruz adierazten duten, hurrenez hurren.

Momentu angeluarra "zatikiaren errotazioaren" neurria da.

m dr/dt zatikiaren momentu lineala denez gero (mugimendu kopurua), momentu angeluarrari momentuaren momentua ere esaten zaio (momentu angeluarra esapidea ez da, agian, egokia zatikia lerro zuzenean mugitzen denean ez baita zero izaten, lerro hori O puntutik igarotzen ez bada behintzat).

Adibidea. Zatiki baten momentu angeluarra da zatikia (3, 2, -1) puntutik igarotzen denean. Zehaztu zatiki horren momentu angeluarra koordenatuen sorburuari buruz.

Ebazpena: eta denez:

Momentu angeluarraren teorema

Demagun zatiki bati F indar aldakor batek eragiten diola (4.16 irud). Orduan, mugimenduaren ekuazioa hau izango da:

Aurreko adierazpenaren eta r-ren arteko bektore biderkaketa eginez gero, ekuazio hau lortzen da:

Dena dela, bektore identitatea dela eta,

eta kontuan hartuta horretan dela, bektore horiekparaleloak baitira, hortaz:

r x F = r x d/dt (mv) ekuazioan azken ekuazio hori ordezkatzen bada, hau lortzen da:

r x F biderkadurak adierazten duenez F indarraren momentua O puntuari buruz, eta r x mv zatikiaren momentu angeluarra

puntu horri herari buruz, aurreko ekuazioa beste era honetan ere idatz daiteke:

hau da, zatiki baten O puntuari buruzko momentu angeluarrarekiko deribatua eta zatiki horretan eragiten duen indarraren O puntu horri buruzko momentua berdinak dira (momentu angeluarraren teorema) . Ondoren ikusiko denez teorema horrek mugimendu ekuazioen lehen mailako integrala ematen du M o baliogabea denean

Momentu angeluarraren kontserbazioa

Zatikia indar zentral baten ekintzaren mende baldin badago, hau da, O puntu finko batetik etengabe igarotzen den norabidea duen indar baten mende baldin badago, orduan puntu hori momentuen zentro bezala hartzen bada, indarraren momentua puntu horri buruz beti zero izango da eta azken ekuazioa beste hau bihurtzen da:

Eta ekuazio hori integratuz gero:

hau da, zatiki bati eragiten dion momentua zero bada, momentu angeluarra kontserbatu egingo da (momentu angeluarraren kontserbazioaren teorema). Zatikiaren ibilbidea O puntutik igarotzen den plano batean dago. Ondoko ekuazioa honen,

non bektore konstantea den c, eta r-ren arteko biderkaketa eskalarra eginez gero, hau lortzen da:

eta ekuazio horren lehenengo atala baliogabea denez (bi faktore berdin dituen bitariko biderkadura), hau lortzen da:

Adierazpen horrek O puntutik igarotzen den bektore ekuazioa adierazten du, eta zuta da c-ri buruz. Plano hori v-ren eta r-ren lehenengo balioen bidez zehazten da, hau da, eta balioen bidez. Beraz, indar zentral baten eraginpean mugitzen den zatiki oro planoa da.

Adibidea. m masa duen Lurraren satelite batek elipse formako ibilbidea egiten du (4.17 irud.). Satelitetik Lurraren zentrorako gehieneko eta gutxieneko distantziak dira, hurrenez hurren. Zehaztu satelitearen gutxieneko lastertasuna gehieneko lastertasuna denean.

Ebazpena. Satelitea indar zentral baten eraginpean mugitzen denez (grabitatea), satelitearen momentu angeluarra konstantea da. Horrenbestez, r txikitzean lastertasuna igo egiten da. Elipse formako orbita batean v lastertasuna r-ren elkarzuta denez, (4.82) ekuazioa erabiliz ondoko adierazpen hau ateratzen da:

Beraz:

Areen teorema

r x dr/dt bektore biderkaduraren interpretazio geometrikoa oso erraza da. Bedi dt denbora bitarte txikia; bitarte horretan zatikiak dr = vdt bidea egiten du (4.18 irud). Bektore erradioak mugituz dt denboran zehar eratzen duten dA area (alderdi iluna), honen berdina da zenbakiz:

4.18: Indar zentro baten eraginpean dagoen zatiki bat bektore erradioak balio bereko denbora tartean balio bereko areak irudikatzen dituela higitzen da (areen teorema)

non r eta v bektoreek osatzen duten angelua den. Beraz, arearen lastertasuna dA/dt adierazpenaren bidez definitzen bada,

ekuazioak adierazten du arearen lastertasuna, edozein indar zentralarentzat, konstantea dela. Azalpen hori Kepler-en bigarren legearekin bat dator; areen teorema esaten zaio

Mugimendu lerro zuzena

Sarrera

Demagun m masa duen zatikia F indar batek eraginda mugitzen dela lerro zuzen baten gainean (ardatz bezala x hartuko da) (4.19 irud). Zatiki horren mugimenduaren ekuazio bakarra hau izango da:

non, oro har, F indarra x, t eta v lastertasunaren funtzioa den, hau da, F=F (t,x,v). Bigarren mailako ekuazio diferentzial horri esker, baldin eta ebatz badaiteke, x kalkulatu ahal izango da t-ren arabera. Ekuazio horren emaitzak, , bi konstante arbitrario edukiko ditu gehienetan.

Indar konstantea

Demagun F indarra konstantea dela. Orduan, mugimenduaren ekuazioa honela adieraziko da:

Ekuazio horren bi atalak bider dt egin eta integratuz gero, hau lortzen da:

eta berriz integratuz gero:

Dena dela, oro har, errazagoa da beste era honetara egitea

izan ere, ekuazioan ordezkatuz gero eta denborari buruz integratuz gero, hau ateratzen da:

(4.90), (4.91) eta (4.93) ekuazioen bidez, azelerazio konstantean eta lerro zuzenean egindako mugimenduari buruzko edozer kalkula daiteke. A, B eta C konstanteak hasierako baldintzen arabera zehazten dira. t = 0 berdintzarako eta bada, orduan aurreko ekuazioek hau ematen dute:

Beraz:

Adibidea. Mugimendu mota honen adibiderik garrantzizkoena Lurraren gainaldetik hurbil grabitatearen eraginpean libre eta airearen erresistentzia eta Lurraren errotazio mugimendu txikia kontuan hartu gabe erortzen den zatikiarena da. Kasu horretan F aldagaiak zatikiaren pisua adierazten du, mg aldagaiaren berdina da, eta mugimendu ekuazio hau dagokio:

Indarra posizioaren funtzio gisa

Indarra posizioaren funtzio denean, mugimenduaren ekuazioa hau izango da:

non F(x) den x-en funtzioa bakarrik. Ekuazio hori ebazteko bi atalak x-z biderkatu behar dira. Biderkaketa horretatik lortzen da:

Aurreko adierazpenetik deduzitzen da:

edo bestela,

Integratuz gero:

non

ekuazioak adierazten du mugimenduan zehar, energia zinetikoaren, , eta potentzialaren, V(x), arteko batuketak konstante irauten cluela. E konstanteak emaitza osoa adierazten du.

x-erako (4.100) ekuazioa ebatziz gero:

Ekuazio hori integratzeko aldagaiak banandu egiten dira, hau da,ekuazioaren atal batean x aldagaia jarrita eta bestean t aldagaia.Hori eginda hau lortuko da:

eta integrazioa eginez gero:

Mugimenduaren ekuazioaren emaitzan diren bi konstante arbitrarioak hauek dira: E energia osoa eta . Sistemako E energia osoa ezagutzea ez (la mugimenduaren ezaugarri guztiak deduzitzeko nahikoa, izan ere, horrez gainera ezagutu behar baita. V(Y) ezagutzen bada, azken ekuazio horren bidez x-en balioa kalkula daiteke edozein unetan

Energiaren diagramak

Energiaren kontserbazioaren printzipioaren bidez informazio asko lor daiteke zatiki baten mugimenduaren ingurukoa, baita (4.104) ekuazioaren laguntzarik gabe ere. Hasierako posizioa eta lastertasuna ezagutzen badira h' konstatea kalkula daiteke. Orduan,

aclierazpenaren bidez, zatikiaren lastertasuna (zeinurik gabea) lor daiteke edozein x posiziorako.

Energia zinetikoa, oinarrian magnitude positiboa denez gero, E energia osoa mugimenduan zehar energia potentziala baino handiagoa izango da beti, hau da, mugimendua V(v) <F_ betetzen den guneetara mugatuko (la. V(x) energia potentzialax leku aldatzearen arabera adierazten bada, hainbat kurba mota lor daitezke. (4.20) irudian erakusten den adibidean, energia potentzialak gutxieneko

bakarra du. Grafiko horretan E energia osoari dagokion lerro zuzena marrazten bada, berehala bereiziko dira mugimenduaren mugak. Adibide horretan, mugimendua AB eremuan gerta daiteke hakar bakarrik. Adibide horretan, V(x) = E betetzen duten puntuek jartzen dituzte mugimenduaren mugak. Puntu horieigeldiune puntuuk esaten zaie, x lastertasuna zero baita horietan. Esate baterako, zatikia geldialditik abiatzen bada, eskuinerantz mugituko da, lastertasuna handituz lehenbizi eta txikituz ondoren, harik eta puntura iristen den arte. Une horretatik aurrera, zatikiak kontrako mugimendua egiten du. Beraz, zatikiak mugimendu oszilatzailea egiten du AB potentzial puntzuan, eta puntuen artean. Baina zatikiak -etik -ra joateko behar duen denbora tik x-ra joateko behar duenaren berdina denez gero, oszilazio denbora (T), hau da, zatikiak -etik -ra eta -tik -ra joateko behar duena, distantzia egiteko behar duen denboraren bikoitza da. Beraz, (4.103) ekuazioaren arabera,

Integrazioaren mugak ekuazio erroak dira E balioarentzat. Ekuazio horrek edozein oszilazio mugimenduaren periodoa zehazten du zatikiaren E energia osoaren arabera.

Adibidea.

Oszi latzaiile armoniko linealaEman dezagun malguki baten bidez O puntu finko bati lotuta dagoen m masa bat dugula (4.21 irud.). Zatikiaren posizioa. koordenatuak zehazten du eta haren oreka egonkorreko posizioaz = 0 puntuan gertatzen da. Kasu honi m masaren mugimenduaren ekuazio hau dagokio:

non aldagaiak x aldagaiaren denborari buruzko bigarren deribatua adierazten baitu, F aldagaia indar berreskuratzailea baita, -kx, x- en leku aldaketaren proportzionala, eta k konstante elastikoa baita (cm - ' indarra). k konstantea malgukiaren «indar» neurri bat da.

(a) ekuazioan azaltzen den sistemari oszilatzaile armoniko lineal izena ematen zaio eta mugimendu periodikoaren kasu erraz eta garrantzizkoena da, fisika klasikoko eta fisika kuantikoko problema askoren eredu zehatza, edo gutxi gorabeherakoa, baita.

(a) ekuazio diferentziala ebazteko osagai bakoitza bider zatikiaren x egiten (la. Beraz, orduan:

Adierazpen hori integratuz

ateratzen da, non E integrazio konstanteak zatikiaren energia osoa adierazten baitu, aldagaiak energia zinetikoa eta aldagaiak energia potentziala. Beraz, (c) adierazpena, mugimenduaren ekuazioaren lehen integrala, energiaren ekuazioa (la [ikus 139. orrialdeko (b) ekuazioa]. E konstantea hasierako baldintzen arabera zehazten da. Eman dezagun denean dela, beraz:

Bigarren mailako (a) ekuazio diferentzialaren ordez lehen mailako ekuazio diferentziala dugu orain. (d) ekuaziotik beste hau ateratzen da:

non baita. Aurreko adierazpenaren bidez zatikiaren x lastertasuna kalkula daiteke oreka posizioaren x Teku aldaketaren arabera, hasierako baldintzak lehen emandako berberak direnean. (e) ekuazioan aldagaiak bakartuz emaitza hau lortzen da:

Erroaren zeinu negatiboa hartzen bada, integratzean emaiza hau ateratzen da:

hau da,

non d integrazio konstante berri bat baita; konstante horren balioa hasierako leku aldatzearen balioa emango duen hasierako bigarren baldintzatik abiatuta kalkulatzen cia. Eman dezagun t = 0 denean x = 0 (lela, orduan eta t = 0 denean x = x o balitz, orduan

Oharra. Erroaren zeinu positiboa hartu Baliz, emaitza heste hau litzateke:

(h) eta (i) ekuazioek d = 0 denean adierazten dituzten mugimenduen espazio-denborari dagozkion grafikoak 4.22 irudian agertzen elira. I kurba sinu funtzioari dagokio eta 11 kurba, herriz, kosinu funtzioari. Noski, hi kurbek bat egiten clute denboraren ardatzari buruzko leku aldatze erlatibo batean.

4.22: Denboraren araberako leku aldaketaren grafikak mugimendu armoniko sinplean . I kurba sinu ntzioari dagokio eta II kurba kosinu funtzioari

Energia diagramak. Oszilatzaile armoniko batean, energia potentziala adierazten duen kurba, parabola bat cia, eta E energia osoa adierazten duena, berriz, lerro horizontal bat (4.23 irud.). Zatikiaren mugimendua lerro horizontalak parabola ebakitzen duen puntuen artean dauden x aldagaiaren balioetara murrizten da, (4. 100) ekuazioaren arabera denean energia zinetikoa negatiboa baitlitzateke eta hori ezinezkoa baita. Goitik beherako lerro bat irudikatzen bada, energia potentzialaren eta tarteko edozein x posiziori buruzko V energia potentziala kurbaren ordenatuak emango du eta energia zinetikoa, T = E - V, parabolaren eta E altura duen zuzen horizontalaren arteko distantziak. Beraz, muturretan energia guztia potentziala da, eta erdiko posizioan, berriz, zinetikoa.

4.23 : E energia osoaren, V energia potentzialaren eta T energia zinetikoaren adierazpena mugimendu armonika sinplea egiten duen zatiki batentzat.

Indarra lastertasunaren funtzio

Demagun F indarra v lastertasunaren funtzioa dela bakarrik, hau da, F=F(v) dela. Orduan:

Adierazpen hori integratuz gero:

nonv=v o berdintza gertatzeko behar den denbora t=to den . Baina, dx=v dt denez gero, m dv/dt = F(v) ekuazioan ordezkatuta, hau lortzen da:

eta integratuz gero:

Hor ikusten da bai x [(4.110) ekuazioa] bai t [(4.108) ekuazioa] v aldagai auxiliarraren arabera -zatikiaren lastertasuna- adierazten direla. (4.108) eta (4.110) ekuazioetan v kenduz gero, ateratzen da.

Adibidea.

Mugimendua gorputzei erresistentzia egiten dien ingurune batean

Gorputz bat airean edo uretan mugitzen denean inguruneak erresistentzia egiten dio gorputzaren mugimenduari. Lastertasun txikiak direnean formula erabil daiteke R ingurunearen gutxi gorabeherako erresistentzia adierazteko, non ingurunearen eta gorputzaren neurriaren eta formaren araberako konstante bat, eta ez masaren araberakoa, baita. (Lastertasun handietarako, erabiltzen da).

Koordenatuen O sorburua zatikiaren hasierako posizioa bera bada, eta x ardatzaren norabide positiboa gorputzaren mugimenduaren norabidearekin bat badator, mugimenduaren ekuazio diferentziala hau izango da:

Aldagaiak bakartu ondoren gelditzen den ekuaziotik beste adierazpen hau lortzen da:

eta t = 0 denean denez, orduan:

edo bestela

(c) formula integratuz zatikiak ibilitako espazioa eta denbora lotzen dituen ekuazioa lortzen da:

Oharra. Ibilitako espazioa lastertasunaren arabera zehazteko, komenigarria da berriro (a) ekuaziotik abiatzea, ekuazio hori era honetara jarrita:

Adierazpen hori zati v egiten, aldagaiak bakartzen eta x = 0 denean dela kontuan hartzen bada, emaitza hau ateratzen da:

v = 0 egiten bada izango da, eta zatikiak mugitzen hasten denetik gelditzen den arte ibilitako espazioa emango du adierazpen horrek

Indarra denboraren funtzio gisa 5. Bi zatikiz osaturiko sistema baten dinamika

Demagun indarra denboraren mendekoa dela, hau da, F=F(t) dela. Mugimenduaren ekuazio hau, orduan, erraz ebatz daiteke.

Lehenengo integralak hau ematen du denborari buruz:

non dx/dt-ren balioa den -rako. egiten bada, hau lortuko da:

Beste integrazio bat eginez gero, hau idatz daiteke:

non x-en balioa den betetzen denerako. egiten bada, azkenik hau lortuko da:

(4.111) ekuazioan adierazitako zatikiaren mugimendua ematen du adierazpen horrek.

Adibidea. m masa duen zatiki bat F indarraren eraginpean mugitzen da lerro zuzen batean zehar eta indarraren magnitudea handitu egiten da denboraren proportzioan, F = kt ekuazioaren arabera. Zehaztu mugimenduaren legea, hasiera unean zatikia geldik dagoela.

Ebazpena. Koordenatuen sorburutzat zatikiaren hasierako posizioa hartzen bada eta x ardatza mugimenduaren norabidetzat, adierazpen hau ateratzen da:

Berdintza horretako bi osagaiak bider dt eginez honela gelditzen da:

edo

Formula hori integratuz:

Baina t = 0 denean denez, izango da. Beraz:

Berriro integratzen da eta ekuazio hau ateratzen da:

eta t = 0 baliorako x = 0 denez, orduan, azkenik:

Zatikiak ibilitako espazioa handitu egiten da, beraz, denboraren kuboaren proportzioan

5. Bi zatikiz osaturiko sistema baten dinamika

Sarrera

Indar baten mende dagoen zatiki baten mugimendua aztertu da aurreko atalean, indar hori bere kokalekuaren, lastertasunaren edo denboraren funtzio besterik ez zela. Dinamikaren oinarrizko ekuazioaren eta zatikiaren hasierako baldintzen arabera erabat zehaztuta geratzen zen zatikiaren mugimendua. Atal honetan, ordea, elkarri eragiten dioten bi zatikiz osaturiko sistema bakartu baten mugimendua aztertuko dugu.

Barne eta kanpo indarrak

Bedi sistema bat, bi zatikiz osatua: eta dira zatikien masa, eta eta berriz, hautatu den koordenatu sistema bateko puntuak, hots, zatikien kokalekua (ikus 5.1 irudia). Baldin zatikian indarrak eragiten badu, eta zatikian -k, hauek izango dira zatiki horien mugimendu ekuazioak:

5 .1 : Kanpo eta barne indarrak bi zatikiz osaturiko sistema bati eragiten.

Nolanahi ere, eta indarrak bi eratakoak izan daitezke: kanpo indarrak -sistemari kanpotik eragiten diotenak- eta barne indarrak -sistemaren barruko bi zatikien artekoak-. Eremu elektriko batean dabiltzan bi zatiki kargadun, batetik, edo Lurra eta Marte, Eguzkiaren grabitate eremuan higituz, bestetik, izan daitezke horren adibide,

Honela adieraziko da, heraz, zatikiaren mugimenduaren ekuazioa:

non zatikiari eragiten dioten kanpo indarren ondoriozko indarra baita eta -ren eraginez zatikiari eragiten dion barneindarra, berriz, . Era berean, hau aterako litzateke zatikiaren kasuan:

Eta eta , zatikien mugimendu ekuazioak batuz gero, hau aterako litzateke:

Baina, Newtonen hirugarren legearen arabera, eta barne indarrak berdinak dira, eta kontrako noranzkoa dute. Hala heraz, izango da, eta bi zatiki horiek osatzen duten sistemaren mugimenduaren ekuazioa, berriz:

non, eta kanpo indarren ondoriozko indarra baita F.

Masa zentroko mugimendua

Aurreko ekuazio hori, baina, bakunagoa bihur daiteke, posizio bektorea txertatuz gero; sorburutik bi zatikien masa zentrora doa bektorea, eta, lehenago adierazi den bezala, ekuazio honen bidez definitzen da:

non

ekuazioak sistemaren masa osoa adierazten baitu (ikus 5.3 irudia). Gero, hartu adierazpena, eta bi aldiz deribatzen badugu denborari buruz, eta ekuazioan ordezten badugu, hauxe lortzen da:

alegia: bi zatikiz osaturiko sistema baten masa, batetik, eta sistema osoarena adinako masa masa zentroan bilduta duen eta kanpo indar guztien ondoriozko indar baten eraginpean dagoen zatiki batena, bestetik, berdin-berdinak dira. Baldin konstantea bada F (zatikiak grabitate eremuan daudenean, adibidez, F = mg), azelarazio konstantez higitzen da orduan masa zentroa. Bistan denez, barne indarren masa zentroaren mugimenduan ez du eraginik batere.

5 .3: Bi zatikiz osaturiko sistema baten masa zentroaren mugimendua

Sistema bakartua. Masa zentroaren kontserbazioaren teorema.

Gorabehera handiko kasu bitxi bat gertatzen da sistemari barne indarrak besterik eragiten ez diotenean, kanpo indarrik ez clenean, alegia. Sistema horri sistema bakartu esaten zaio. Orduan, F = 0 denez:

eta

Hau da, sistema bakartu baten masa zentroaren mugimendua lerrozuzena eta uniformea da.

Baina ekuazioak zatikiaren momentu lineala adierazten duenez, eta ekuazioak, berriz, m, zatikiaren momentu lineala, beste honetara ere adierazi ahal izango da goraxeagoko ekuazio hori:

Masa zentroan dagoen eta masa osoa m duen masa puntual baten mugimendu lineala adierazten du hor ekuazioak. Beraz, bi zatikiz osaturiko sistema bakartu baten momentu lineal osoa mugimenduaren bektore konstante bat da (momentu linealaren kontserbazioaren teorema).

Masa murriztua.

Bedi bektore bat, zatikiak zatikiari buruz hartzen duen leku erlatiboa adierazten duena. Orduan, eta 5.4 irudiaren arabera:

Sistema bakartua dagoela onartzen bada, hau ondorioztatzen da (5.2) eta (5.3) ekuazioetatik, (5.12) kontuan hartuz betiere:

5.4: Elkarri eragiten dioten bi zatikien mugimendu erlatiboa indar zentral baten eraginpean dagoen masa murriztuko zatiki bakar baten mugimenduaren berdina da

Beste magnitude bat txertatuko dugu orain, magnitudea hain zuzen, masa murriztua deitua, eta ekuazio honen bidez definitua.

(5.13) ekuazioa beste honetara aldatzen da orduan:

Elkarri eragiten dioten bi zatikien mugimenduaren arazoa, beraz, beste bakunago honetara laburtzen da, alegia, masa duen eta indar zentral baten eraginpean dagoen zatiki baten mugimendura.

Baldin denboraren arabera ezagutzen baditugu eta (5.6) eta (5.11) ekuazioak ebatziz lortuko dira eta zatikien kokalekuak:

Masa murriztuaren adierazpena moduetako batean idatziz,

masa murriztua eta masak baino txikiagoa dela ikusten da (horregatik esaten zaio masa murriztua).

Ikus daitekeenez, zatikietako baten masa bestearena baino askoz handiagoa denean - , esate baterako-, orduan, masa murriztua masa arinena bezalakoa da gutxi gorabehera, hau da: , eta bi masak berdinak direnean,

Adibidea. Zehaztu elektroi-protoi sistemaren masa murriztua hidrogeno atomo batean. Nukleoraren masa, gutxi gorabehera, elektroi masa bider 1840 da.

Ebazpena. Izan bitez eta hidrogeno atomoko elektroiaren eta nukleoaren masak. Hara zer ateratzen den

Momentu angeluarra.

(5.8) eta (5.15) adierazpenek eta r bektoreen arabera ematen dituzte mugimendu ekuazioak. Zehaztu dezagun orain, bi zatikiz osaturiko sistema baten momentu angeluarra O puntu finko bati buruz eta r bektoreen arabera.

Izan bitez zatikien momentu angeluarrak O puntu finkoari buruz. Horren arabera,

Eta (5.16) ekuazioen arabera, berriz:

Baina aise ikusten denez, deuseztu egiten dira, eta beste honetara aldatzen da aurreko adierazpen hori:

Energia zinetikoa

Bi zatikiz osaturiko sistema baten energia zinetikoa zatiki horietako bakoitzaren energia zinetikoen batura da. Hortaz:

Baina denborari buruz deribatuz gero (5.16) ekuazioak, hau lortuko da:

ekuazioan ordeztu, eta eraldatze erraz batzuk egin ondoren, hau atertzen da:

Beraz, bi zatikiz osaturiko sistema baten energia zinetikoa bi terminozko batuketa gisa adieraz daiteke. Lehenengo terminoa, , mugimendu erlatiboaren energia zinetikoa da; bigarrena, berriz, (165), bere masa zentroaren mugimenduaren energia zinetikoa; hau da, masa duen eta masa zentroaren lastertasunaz mugitzen den zatiki baten energia zinetikoa. adierazpenari sistemaren barne energia esaten zaio, eta (165) adierazpenari, berriz, traslazioko energia zinetikoa.

Masa zentroko erreferentzia sistema

Lehenago ikusi dugun bezala, sistema bakartu batean, kanpo indarren eraginik batere gabe, lastertasun konstantean mugitzen da masa zentroa eta zatiki soil baten antzekoa da sistemaren mugimendua. Hori dela eta, hobe da masa zentroa geldi dagoen erreferentzia sistema batean aztertzea eta zatikien mugimendua. Eta sistema horri masa zentroko sistema esaten zaio. Hemendik aurrera izartxo batez (*) adieraziko dira sistema horri dagozkion magnitudeak.

Izan bedi, beraz, erreferentzia sistema bat, bere ardatzek -sistema finko baten ardatzen paralelo- beren sorburua masa zentroan

5.5. Bi zatikiren posizio bektoreak masa zentroko erreferentzia sisteman eta erreferentzia sistema finkoan

dutena (ikus 5.5 irudia). Beraz, masa zentroko sistemari buruzko bi zatikien posizio bektoreak baldin badira:

eta

Orobat ere, eta masa zentroaren definizioaren arabera,

alegia, norabide bera eta kontrako noranzkoa dute bektoreek.

Eta (5.26) ekuaziotik ondorioztatzen denez,

Hauxe ateratzen da, beraz, goiko ekuazio hori (5.25) ekuazioan ordeztean:

Horrelaxe lortzen da ere:

Baldin denborari buruz deribatzen badugu (5.27) ekuazioa, eta kontuan hartzen (5.14), (5.28) eta (5.29) ere, hauxe lortzen da:

Ekuazio horretan, eta zatikien masa zentroko erreferentzia sistemako lastertasuna adierazten dute eta -ri buruz hartzen duen lastertasuna erlatiboa adierazten du, berriz, v-k; eta zatikiak masa zentroarekiko duen momentu erlatiboa edo «barne» momentua adierazten du, azkenik,

Beraz, masa zentroko erreferentzia sisteman bi zatikien momentu linealak berdinak direla eta elkarren kontrako norabidea dutela adierazten du (5.30) ekuazioak.

5.6 irudian, bi zatikik osatzen duten sistema baten masa zentroaren mugimendua adierazi da, laboratorioko erreferentzia sistema batean, geldi dagoenean, eta, berriz, -ra hurbiltzen. Irudian ikusten denez, masa zentroa zuzen mugitzen da lastertasun konstantean laboratorioko erreferentzia sistemari buruz.

Zatikiaren mugimendua deskribatzeko laboratorioan erabiltzen den koordenatu sistema finkoari esaten zaio laboratorioko erreferentzia sistema.

Orain, berriz, momentu linealaren balioak, momentu angeluarrarenak eta energia zinetikoarenak zehaztu behar ditugu erreferentzia sistema finko batean, edozeinetan, masa zentroko erreferentzia sisteman dagozkien balioen arabera.

Bedi bi zatikien masa zentroaren lastertasuna erreferentzia sistema finkoan. Orduan, (5.24) ekuazioen arabera, hauek izango dira bi zatikien lastertasunak:

Eta kontuan harturik (5.30), hau ateratzen da:

Hona, beraz, momentu angeluar osoa eta energia zinetikoa, (5.20) eta (5.22) ekuazioen arabera, masa zentroko sisteman:

Hala beraz, beste edozein erreferentzia sistema finkorentzat, hauxe beteko da: alegia,

Beraz, edozein erreferentzia sistema finkotan masa zentroko sisteman dagozkion balioetatik abiaturik eta T lortzeko, aski da balio horiei masa zentroan dagoen m masako zatiki baten ekarria eranstea.

Edozein zatiki kopururako orokortu daitezke aurreko emaitza horiek

Bi zatikiren talka elastikoa

Sarrera

Dituen erabilerak direla eta, oso gauza jakingarria da bi zatikien arteko talka, fisika atomikoarentzat eta nuklearrarentzat batez ere . Esperimentu bidez aztertzen denean, erreferentzia sistema finkoa erabiltzen da laboratorioan ; sistema horretan, zatikietako bat geldi dagoen bitartean, harengana hurbiltzen da bestea, lastertasun jakin batean . Hala ere, talkak errazago aztertzen dira masa zentroa erreferentziatzat duen koordenatu sistema batean

Talka elastikoa

Bi zatikik talka egiten dutenean eta energia zinetikoa galtzen ez denean, hau da, sistemaren energia zinetiko osoa talka baino lehen eta talkaren ondoren berdina denean, talka elastikoa dela esaten da.

Eman dezagun masa zentroko erreferentzia sisteman eta direla, hurrenez hurren, zatikien lastertasunak. Momentu lineala kontserbatzeko teoremaren arabera, talka baino lehen eta talkaren ondoren, berdinak eta kontrako norabidea izan behar dute zatiki bien momentuak.

non zatikien talka ondorengo momentua adierazten baitute eta aldagaiek. Zatikietako bakoitza, beraz, angelu bera desbideratzen da (ikus 5.7 irudia). Hala ere, talka elastikoa denez, eta (5.34) ekuazioaren arabera:

eta

Hau da, talka elastiko batean, masa zentroko erreferentzia sisteman dauden bi zatikien momentuen moduluak ez dira aldatzen. Laboratoriko erreferentzia sisteman, zatikia geldi dago hasieran. Orduan, talka baino lehen denez, zatiki horren momentua zero izango da: alegia, . Bedi zatiki jotzailearen momentua, eta berriz, eta -ren momentuak talka egin ondoren.

5.7 Talka elastikoa masa zentroko erreferentzia sisteman.

5 .8: Talka elastikoa loabaratoriako erreferentzia sisteman

Baldin eta desbideratze angelua eta atzeranzko angelua badira hurrenez hurren (rkus 5.8 irudia), eta dela kontuan izanik, hauxe ateratzen ola (5.32) ekuazioan ordeztuz gero:

eta

Eta (5.32) ekuazioaren arabera, eta (5.41) kontuan hartuz, hauek izango dira bi zatikien momentuak talkaren ondoren:

Hurrengo irudiko bektore diagraman (ikzts 5.9 irudia) (5.42) eta (5.43) bektore ekuazioak eta laboraturiko sisteman momentua kontserbatzeko ekuazioa irudikatu dira. Momentuen, energien eta angeluen arteko erlazio oro zehaztu daiteke diagrama hori oinarri harturik.

Ekuazio hauen bidez ematen dira atzeranzko angelua eta momentuaren modulua, masa zentroko sisteman neurtuak:

eta

Hau da, beraz, laboratoriko erreferentzia sisteman geldi dagoen zatikiari erantsitako energia zinetikoa:

eta sistema horretan, zatiki jotzailearen energia zinetikoa da, hain justu, energia zinetiko osoa; (5.42) ekuazioaren arabera, balio hau du zatikiaren energia zinetikoak:

Garrantzi handikoa ola halaber desbideratze angeluen artean dagoen erlazioa bai laboraturiko erreferentzia sisteman bai masa zentroko erreferentzia sisteman. Eta 5.9 irudiaren arabera:

Erlazio hori ez olago bi zatikien momentuen mende, masen arteko erlazioaren mende baizik.

Adibidea

Nukleo zatikien talka laboratorio sisteman

Eman dezagun masako alfa zatiki bat ON ibilbide zuzen batean zehar mugitzen dela eta geldi dagoen masako atomo nukleo batekin talka egiten duela (5.10 irudia). Talkaren ondoren, alfa zatikia NA norabidean mugitzen da eta nukleoa NB norabidean, eta direla desbideratze eta atzerako angeluak.

5.10:: Bi nukleo zatikiren talka elastikoa .

Izan bitez alfa zatikiaren hasierako lastertasuna eta talkaren ondorengo lastertasuna, eta nukleoarenak herriz, 0 eta , hurrenez hurren.

Nola ez dagoen sistemaren gaineko inolako indarrik momentu linealak lehenean jarraitzen du. Beraz:

Bektore ekuazio hau ondoko bi ekuazio eskalarren balio berekoada:

Lehen ekuazioak mugimencluaren hasierako norabidean momentuak lehenean jarraitzen duela adierazten du eta bigarrenak, hasierako mugimenduaren norabide zutean momentuak lehenean jarraitzen duela. Bi ekuazio horiek ez dira nahikoa, ordea, eta ezezagunak ebazteko. Energiaren kontserbazio legeak beste ekuazio bat eskaintzen digu:

(b) eta (c) ekuazioek bide ematen digute, ezabatuta, ren funtzioan adierazteko:

Era berean, ezabatzen badugu ekuazio berberetatik, lortuko dugu ren funtzioan:

Azkenik, (e) eta (f), (d)n ordeztuta, lastertasunak ezabatuko ditugu eta lortzen den ekuazioan masa erlazioa soilik eta angeluen funtzioan egongo da:

Ondokoa idazten badugu:

eta kontuan hartzen badugu

azkenean zera lortzen da:

Emaitza honek, eta ç neurtu besterik gabe, alfa zatikiaren eta atomo nukleoaren masen arteko erlazioa zehaztea ahalbidetzen digu.

Alfa zatikiak talkaz jotzen duen nukleoa helio nukleoa baldin bada, orduan eta (5.11 irudia). Eta baldin bada, orduan, (h)ren arabera, izan behar du, eta beraz, alfa zatikia geldi geratzen da,

6. Uhin mugimendua

Sarrera

Uhin mugimendua fisikaren hainbat alorretan agertzen den gertaera da. Horren adibide dira, besteak beste, uraren gainaldeko uhinak, soinu uhinak eta uhin elektromagnetikoak. Uraren uhinek eta soinu uhinek ingurune material jakinak, ura eta airea hain zuzen, behar dituzte espazioan hedatzeko; uhin elektromagnetikoek (irratia, infragorriak, argi ikusgarria, X izpiak eta izpiak) eta mugitzen ari den atomo zatiki bati dagozkion uhin materialek, aldiz, ez dute inolako ingurune materialik behar hedatzeko.

Uhin bat oreka egoera batean sortzen den perturbazio bat da, denborarekin espazioan zehar hedatzen dena.

Uhin motak

Bi uhin mota nagusi daude: luzetarakoak eta zeharretarakoak. Luzetarako uhinetan, uhinak hedatzen diren noranzko berean oszilatzen dute inguruneko zatikiek, eta zeharretarakoetan, aldiz, uhinen hedapen noranzkoari buruz perpedikularrean oszilatzen dute.

6.1 irudian luzetarako uhin bat ikusten da, hodi baten barneko gasa hodiaren mutur batean dagoen pistoi bat txandaka mugitzen denean sorturiko uhina, hain zuzen ere. Kasu honetan gas molekulak hodiaren ardatzaren norabide berean mugitzen dira. Luzetarako uhinak eratzen dira, halaber, metalezko ziri baten mutur bat jotzen denean (6.2 irudia). Kasu honetan uhin elastiko bat sortzen da eta ziri guztian zehar hedatzen da uhin hori. Ziriaren materialaren zatikiak ez dira gune batetik bestera aldatzen; uhin elastikoa da zirian zehar hedatzen dena. Irudian gune batzuk besteak baino ilunago ikusten dira; gune horiek batez besteko dentsitatea baino dentsitate handiagoa dutela esan nahi du horrek.

61 : Gas bat duen hodi batean hodiaren muturretako batean dagoen pistoia mugitzean eratzen duen luzetarako uhina.

Zeharretarako uhinei dagokienez, zeharretarako uhinak eratzen dira, esaterako, soka tenkatu batean, sokaren mutur bati zeharretarako mugimendu batek eragiten dionean (6.3 irudia).

62: Metalezko ziri batean ziroaren mutur bat jotzean eratzen den luzetarako uhina

63: Soka tenkatu batean sokaren mutur bati zeharretarako mugimendu batek eragiten dionean eratzen den zeharretarako uhina.

Sokaren zatikiak sokaren norabideari buruz perpendikularrean mugitzen dira beti, eta ez dute sokaren norabidearen paraleloan inolako mugimendurik egiten

Uhin baten deskribapen matematikoa dimentsio batean

Gauza jakina denez, puntu baten mugimendua deskribatzeko ezinbestekoa da puntu hori une bakoitzean non dagoen jakitea. Adibidez, deskribatu nahi den puntua x ardatzean zehar mugitzen bada, x = f(t) ekuazioa ebatzi behar da; ekuazio horretan, puntuaren mugimendu motaren araberakoa izango da f funtzioa. Deskribatu nahi den mugimendua uhin mugimendua denean ordea, puntu guztiek une bakoitzean duten kokaera ezagutu behar da, hau da, u uhin perturbazioax abzisaren eta t denboraren funtzioa da, hots, u = f (x, t). Ekuazio honetan x eta t aldagaiak aldagai askeak dira, hau da, edozein balio har dezakete; x eta t aldagaien balio bakoitzari u uhin perturbazioaren balio jakin bat dagokio. Aldiz, x = f(t) ekuazioan, x eta t aldagaiak ez dira aldagai askeak.

Uhin perturbazio bati t = 0 unean dagokion kurba 6.4 irudian agertzen dena bada, orduan:

Perturbazioa v lastertasun konstatean mugitzen bada eta mugimendu horretan forma aldatzen ez bazaio, t denbora tartean vt distantzia beteko du. Baina, 6.4 irudiak x' = x - vt betetzen dela erakusten duenez, eta kontuan harturik u(x, 0) = f (x) eta u (x, t) = f(x) direla, perturbazioaren forma ez baita aldatzen, ondoko adierazpena betetzen da:

6.4 : Uhin beraren bi une adierazteko funtzio bakar bat erabil daiteke, elkarretatik vt distantziara dauden bi koordenatu sistema harturik funtzio bakar horrentzat

Adierazpen horri uhinaren ekuazioa esaten zaio. magnitudea uhinaren fasea da. Fasea konstantea bada, u(x, t) ere konstantea izango da. Eta.x - vt konstantea denez, berdintza dt beteko da. Beraz, perturbazioaren hedapen lastertasuna fasearen lastertasunaren berdina da.

Baldin eta (6.2) ekuazioan ondoko aldaketa egiten bada:

orduan, uhinaren deskribapen matematikoaren beste adierazpen bat aterako da, aurrekoaren baliokidea:

Ikusten denez, t = 0 unean f(x') funtzioak adierazten cluen uhinari f (x - vt) funtzioa dagokio t = t unean, hasierako funtzioan x' aldagaiaren ordez (x - vt) jartzen bada. x ardatzaren norabide positiboan, forma aldatu gabe, hedatzen den uhin bati dagokio f(x - vt) funtzioa, soilik x eta t aldagaiak (x - vt) konbinazioan agertzen diren kasuetan, adibidez, A cos(wt - bx), , etab.

Adibidea. t = 0 uneko uhin perturbazioari adierazpena dagokio. Baldin eta perturbazio hori v lastertasunean leku aldatzen bada, aurkitu t uneari dagokion uhinaren forma. Adierazi uhinaren forma t = 1 eta t = 2 uneetan.

Ebazpena. Uhinaren forma lortzeko u(x, 0) adierazpenean x aldagaiaren ordez x - vt jartzen da, hau da, . 6.5 irudian uhinari t = 1 eta t, = 2 uneetan dagokion forma agertzen da.

(6.2) ekuazioan vt aldagaiak luzera jakin bat adierazten clu. Beraz, perturbazio bat neurtzen ari diren bi behatzailek -t = 0 uneko perturbazioa neurtzen badu batek, eta t unekoa besteak- emaitza bera lor dezaten, behatzaile baten eta bestearen arteko distantziak vt izan behar du. (6.4) adierazpenean,.x/v zatikiak denbora ematen du aditzera. Beraz, x puntuko perturbazioa neurtzen ari den behatzaile batek jatorrian unean zegoen perturbazio bera aterako du emaitza.

(6.2) adierazpena baliagarria cla x ardatzaren noranzko positiboan heclatzen den uhin batentzat. Zeinu negatiboak x koordenatuaren balioaren aurretik claudenak dira. Uhina x ardatzaren noranzkonegatiboan hedatzen denean, beraz, alderantzizko zeinua jarri behar zaio x - vt konbinazioari. Kasu horretan, uhinaren ekuazioa hau izango da:

Uhin armonikoak

Kasu aipagarria da u(x, t) perturbazioa ondoren adierazten den tankerako sinu funtzioa edo funtzio armonikoa denean gertatzen dena:

non uhinaren anplitudea baita A, hau da, perturbazioaren balio handiena, eta w maiztasun zirkularra. Kosinuaren argumentua, w(t - x/v), fasea da 6.6 irudian u uhinaren grafikoa azaltzen da x ardatzari buruz eta t une jakin baterako. Bi C puntuei, u funtzioak gehieneko balioa duen puntuei, gailur esaten zaie, eta V puntuak, u funtzioak gutxieneko balioa duen puntuak, hondoak dira. Balio horiek A anplitudearekin bat datoz.

Baldin eta x ardatzean zehar fase bereko eta ondoz ondoko bi puntu, eta hartzen badira une jakin batean, orduan:

izan ere, betetzen da, eta horrenbestez:

eta

non uhin luzera baita, fase bereko bi puntu bereizten dituen gutxieneko distantzia alegia, T periodoa eta v maiztasuna. Gauza jakina denez betetzen dela, ondoko adierazpen hau dagttkiox positiboetarantz v lastertasun konstantean mugitzen den uhin armoniko bati:

edo, bestela,

kopuruak distantzian dauden uhin luzeren kopurua ematen du aditzera, hau da uhin kopurua. (6.11) ekuazioa erabiliko da aurrerantzean.

6.7 irudian u(x, t) funtzioa irudikatu da x ardatzaren arabera eta tdenboraren zenbait baliori buruz. t = ta = 0 betetzen denean,emaitza hau da:

denean, da eta

denean, da eta

Azkenik, denean, da eta

Uhin horietako baten gailurrari, P puntu gisa adierazi den puntuari adibidez, erreparatzen bazaio, ikusten da denboraren balioa zenbat eta handiagoa izan, orduan eta ezkerrerago dagoela gailurra, P kasu honetan.

Adibidea.

denboran ondoko forma hau du uhin armoniko sinpleak:

Adierazpen horretan u eta x aldagaien balioa zentimetrotan adierazten dira eta t aldagaiarena segundotan. Uhinaren lastertasuna 50 cm da eta x ardatzaren norabide positiboan hedatzen da. Zehaztu t = 3 segundori dagokion uhinaren ekuazioa.

Ebazpena.

Uhin armonikoen ekuazioa (6.11) ekuazioak ematen duenez, orduan:

Baina, kontuan harturik

dela, orduan:

t = 3 segundorentzat,

2. Zehaztu ekuazioak definitzen duen uhinari edozein unetan dagokion forma.

Ebazpena. t = T egiten bada, adibidez, orduan, une horretan izango da.

6.8 irudian ekuazio horri dagokion grafikoa agertzen da eta harturiko unean ondoz ondoko zatikien leku aldatzea adierazten du.

Obarra. Zatiki bati edozein unetan dagokion oszilazioa kalkulatzeko x = 0 egiten da, adibidez. Horrela ateratzen da. Beraz, uhin bat irudikatzeko bi kurba lau behar dira.