Matematika»Analisiak

Funtzio transzendenteak

I. Funtzio esponentziala

Ondoko funtzioarioinarriko funtzio esponentzial esaten zaio :non a > 0 eta.

.eran ere adieraz daiteke.Adibideaketafuntzioen grafikoak osatzen dira.funtzioarentzat balio taula hau eratzen dugu :Etafuntzioarentzat, berriz, beste balio taula hau :Ondoren batari zein besteari dagozkien grafikoak egiten dira.

Deskribapen orokorra

Eremua = R(0,1) puntutik igarotzen diraAsintota horizontal bat dute; y = 0, ekuazioa dagokionardatza dute, eta ibilbideada.Bien arteko desberdintasuna dafuntzioan berrekizuna a > 1dela etafuntzioan berriz, 0 eta 1 artean dagoela, alegia0 < a < 1 dela.a > 1 deneanFuntzioa hertsiki gorakorra dao < a < 1 deneanFuntzioa hertsiki beherakorra da

- Ariketak

1. Egineta

Berreketa arteko eragiketen ezaugarriak hauek dira :

Ekuazio esponentzialak

Ekuazio esponentzial esponente edo berretzailean x ezezaguna duten ekuazioei esaten zaie. Ekuazio horiek ebazteko zein arau erabili jakiteko, ondoko sailkapenaren arabera sailkatzen dira ekuazio hauek :1) Ekuazioan agertzen diren zenbaki eta berreketa guztiek berrekizun bera dutenak (edo berrekizun beraren bidez adieraz daitezkeenak), eta biderkadura edo zatidura eragiketak bakarrik agertzen direnak (alegia ez batuketarik eta ez kenketarik dutenak).

- Adibideak,adibide horiek ebazteko :Biderkagai edo zatitzaile guztiak berrekizun bereko berreketa gisa erazten dira.Berreketa arteko eragiketak egiten dira, ekuazioaren atal bakoitza berreketa bakarrera murrizteko.Baldin eta berrekizun bera duten bi berreketa berdinak badira, esponenteek ere berdinak behar dute izan.Ebazpenaka) Hemen bi atalek berrekizun bera dute, 2 berrekizuna alegia :. Bi berreketa berdinak izan daitezen esponenteek ere berdinak behar dute izan.2) Ekuazioaren x berrerzaileko berreketak ere berrekizun beraren bidez adieraz daitezkeenak, haina ekuazioaren barruan batuketa edo kenketa eragiketak agertzen diranak.• AdibideakEra honetako ekuazioak ebaztekoaldagai aldaketa egin behar da lehenik. Horretarako batugai guztietanbiderkagaia ordezkatu behar da. Azal dezagun goiko adibideak erabiliz.Ebazpena3) Oraingoz ezin ebatz daitezkeen ekuazioakmotako ekuazio esponentzialak ebazteko, b emaitza a-ren esponente osoko berreketa bat ez den kasuetan, logaritmoak erabili behar dira. Hala ere, kalkulagailua erabiliz soluzioaren nahiko hurbileko emaitzak lor dairezke. Adibidez, eman dezagunekuazioa ebatzi behar dela.EbazpenaErraz froga daiteke 7 < x < 8 dela, etadela. Ebatzi behar den ekuazioaren emaitza 1 28tik hurbilago dagoenen 256tik baino, 7,2 eta 7,1 berretzaileekin egingo dugu kalkulua :etadenez bi emaitza horietan 143tik hurbilenekoa, 7,16 erabiliko dugu hurrena, etalortuko dugu horrela : emaitza hori ontzat eman daiteke, eta x = 7,16 dela esan dezakegu.Era honetako ekuazioak hurbilketa kalkulurik egin gabe ebatzi ahal izateko

- Ariketak

2. Ebatzi ondoko ekuazio hauek:

- Ariketak

3. Ebatzi ondoko ekuazioak hurbilketa kalkuluak eginez:

Funtzio esponentzialen aplikazioak

Hazkuntza esponentziala askotan gertatu ohi da gure eguneroko bizitzan ; biztanleriaren hazkundea, animaliena edo landareena, desintegratzen den gai erradiaktibo batena, edo ekonomian, interes elkartuan jarritako kapital baten hazkundean etab. Era horretako kasuak aztertuko dira, orain, zehatz-mehatz.• Adibideaka) 8 milioi pezetako kapital bat urteko %7ko interes elkartuan jarriz gero (alegia, urtean behar ematen dituen interesak urte bakoitzaren amaieran kapitalari eransten bazaizkio, interes gehiago eman dezaten), zenbat diru izango da 10 urteren buruan?EbazpenaUrte bakoitzaren hasieran zegoen kapitala bider 1,07 egingo da urteko, beraz, t urteren ondoren lorturiko kapitalaizango da, eta t = 10 bada, C = 15737211 puntuko emaitza lortuko dugu.b) Gai erradiaktiboak desintegratu eta beste gai batzutan bestelakotzen dira; gai bakoitzak desintegrazio epe bat izaten du, bere ezaugarrien arabera. Eman dezagun gai erradiaktibo bat bost urtez behin erdira murrizten dela desintegrazioaren bidez (alegia, bost urteko desintegrazio epea duela). Kalkulatu t urteren buruan geratuko den kopurua lortzeko bidea ematen duen adierazpena.Ebazpenahasierako kopurua dela kontuan harturik, baldin etabada, orduan, lehenengo urtearen buruan geldituko den kopuruaizango da, eta t urteren buruan geldituko dena, berriz,c) Bakteria hazitegi batean bakteriak 3 orduz behin ugaltzen dira, zatiketa bidez. Hasieran 500 bakteria bazeuden, orduko zenbat bider ugaltzen da bakteria kopurua? Eta ordu laurdeneko? Zenbat bakteria egongo da 24 orduren buruan?EbazpenaHiru orduz behin bakteria kopurua bikoiztu egiten bada, ordukobider ugalduko da eta ordu laurdenekobider ; horrela, 24 orduren buruan geldituko den bakteria kopurua N=

- Ariketak

4. Diruaren balio galerari inflazio esaten zaio ; hau da, baldin eta salgai batek 100 pezeta balio bazuen hasieran eta 104ko balioa izango badu urtebeteren buruan, inflazioa %4koa izan dela esaten da. Urteko %4ko inflazio konstantea aurrikusten bada,a) zein formulak emango du aukera salgai jakin baten p prezioa t urteren buruan zenbatekoa izango den kalkulatzeko, gaur egungo

I I. Logaritmoak. Logaritmo funtzioak

Sarrera

XVI. mendearen amaieran salerosketaren eta bankaren bilakaerak kalkuluarekin zerikusia zuten problemak sortu zituen, eta kalkulu konplexuak eskatzen zituzten, halaber, itsasketa edo astronomiako problemek; problema horiei soluzioa ematen ahalegindu ziren garai hartako matematiko ospetsuak, eta kalkulu horiek errazago egin ahal izateko kalkulu teknikak sortu zituzten.Teknika horien oinarrian ideia bat dago : errazagoa dela batuketa egitea biderkaketa egitea baino, eta berrekizun bera duten berreketak biderkatzeko berretzaileak batu behar direla. Ideia hori babiloniarren garaian zabaldu zen, izan ere antzinako babiloniar oholtxoetan badira batzuk zenbaki jakin baten ondoz ondoko berreketak agertzen dituztenak, gaur egun antilogaritmo deitzen zaien taulen antzera. Arkimedesek ere aipatzen du, zenbaki erraldoiei buruzko lan batean, handik zenbait mendera logaritmoak asmatzeko bidea eman zuen hatsapena (berreketen biderkaduraren eta berretzaileen batuketaren arteko erlazioa).Geroago, Ibn-Yunus arabiar matematikariak (1008) 2 cos x cos y = cos (x+y) + cos (x-y) formula azaldu zuen. Formula hori da biderkaketak batuketa bihurtzeko erabiltzen diren lau formula trigonometrikoetako bat, Europan prostofeiresis (grekeraz batuketak eta kenketak izendatzeko terminoa) izeneko metodoa erabiliz logaritmoak aurkitu aurretik biderkaketak batuketa bihurtzeko erabili izan zena.Logaritmo terminoa John Napierrek asmatu zuen, logos (arrazoia) eta artihmos (zenbakia) grekerazko terminoak elkartuz ; 1614an logaritmoei buruzko lehen tratatua idatzi zuen : Mirifici logarithmorum canonis descriptio ("Logaritmoen lege zoragarriaren deskribapena").Napier ez zen matematikaria bizibidez ; baroi eskoziar aberats bat zen, baina bere ondasunak administratzeaz gainera idatziak eta gogoetak argitaratu zituen hainbat gairi buruz (matematika, teologia...).Matematiketan zenbakizko kalkulua eta trigonometria izan zituen aztergai. Berak asmatu zituen biderkadurak egiteko erabili ohi ziren hagatxoak, Napierren hagatxo deituak, eta parte zirkularrei buruzko erregela bat eman zuen, Napierren erregela, esferen trigonometriako formulak ikasteko erregela mnemoteknikoa.Logaritmoak aztertzen 20 urte igaro zituela zioen ; beraz, 1594 inguruan hasi zen gutxi gorabehera. Zenbaki jakin baten ondoz ondoko berreketen azterketa egin zuen, eta Tycho Brahe daniar astronomoak biderkaketak batuketa bihurtzeko erabiltzen zituen prostafeiresi metodoen berri izan zuen Joan Craigen bidez. Metodo horrek eman zion Napierri lanean jarraitzeko kemena, eta azkenik, 1614an eman zuen argitara bere lana ; lan horretan agertzen den logaritmoaren definizioa gaur egun erabiltzen denaren oso bestelakoa da, eta ez du logaritmoen oinarriaren ideia agertzen, baina haren definizioak 1/e oinarriko logaritmoetara garamatza ; bestalde, Napierren logaritmoetan biderkadura baten logaritmoa ez da biderkagaien logaritmoen baturaren berdina gaur egun bezala, izan ere, haren ustez L(N,)=L, eta L(N z )=L z bazen, orduan

Logaritmoa

Definizioa

x-en a oinarriko logaritmoa, x lortzeko a zein m zenbakira berretu behar den adierazten duen logaritmoa da.Oinarria 10 denean logaritmo hamartar esaten zaio eta "log" laburduraz izendatzen da, eta oinarria e zenbakia denean berriz, logaritmo nepertar deritzo eta "In" izendatzen da.• AdibideakLogaritmoaren a oinarria beti positiboa, a > 0, dela kontuan harturik, zera atera daiteke ondorio :• Zenbaki negatiboek ez dute logaritmorik,, baldin etaHorrez gainera,dela egiaztatzen da ; izan ere, baldin eta• Adibideak Kalkulatu :Ebazpena

- Ariketak

6. Kalkulatu :7. Sinplifikatu :8. Kalkulatu x-en balioak ondoko berdintzak bete daitezen :

Logaritmoen ezaugarriak

Ezaugarrien frogaBitez1. froga2. froga3. froga4. froga• Adibideaa) Idatzi logadierazpena logaritmo batuketa, diferentzia edo anizkoitz eran.Ebazpenab) Kalkulatu A, bigarren ataleko logaritmoak logaritmo bakar batean bilduz.

- Ariketak

9. Kalkulatu logaritmo batuketa, diferentzia eta anizkoitz eran.10. Bildu logaritmo bakar batean 2. atala eta eman A-ren adierazpena.

Logaritmoen oinarri aldaketa

Zenbaki positibo baten edozein oinarriko logaritmoen kalkulua egin daiteke, baldin eta oinarri positiboak badira, adibidezHorrez gainera posible da zenbaki baten logaritmoan b oinarra a oinarrira aldatzea formula honen bidez :Froga Bedi2. berdintzaren bi ataletan b oinarriko logaritmoak harturiklortzen dugu ; m askatuz m =gelditzen da, eta m-ren ordez bere balioa jarriaz :frogatu nahi zen bezala.• Kontuan izanik kalkulagailuaz logaritmo hamartarrak ( 10 oinarrikoak) eta nepertarrak (e oinarrikoak) soilik kalkula daitezkeela, formula honen abantaila nagusia a oinarriko logaritmoa logaritmo hamartarraren edo nepertarraren bidez adierazi ahal izatea da. Kasu horietarako, aldaketa hauek egin behar zaizkio formulari :• Logaritmo nepertarren eta logaritmo hamartarren arteko erlazioa honela adierazten da :•etaarteko erlazioa formula beretik ateratzen da :Beraz,Eta formula horren bidez aurki daitekeetaarteko erlazioa ere:

Logaritmo funtzioa

funtzioa funtzio esponentzialaren alderantzizko funtzioa da, izan ere bigarren berdintzan x eta y ordezkatuz geroateratzen da.

y = log ax funtzioaren grafikoaren ezaugarriak dira :

a) Eremuada.b) P(1,0) puntutik igarotzen da, izan erec)x = 0 denean asintota bertikal bat dago, izan erebada.Alderantzizko funtzioak aztertzean ikusi den bezala, era horretako funtzioen grafikoak simetrikoak dira 1. eta 3. koadranteetako erdikariari buruz.Aztertu ondoko funtzioak (eremua, ardatzekiko ebakitze puntuak, asintota) eta egin bakoitzari dagokion grafikoa.Ebazpenax ardatzarekiko ebakitze puntuaberaz ebakitze puntua P(5, 0) da.Ez du ardatza ebakitzen, izan ere x > 3Asintota bertikalax = 3, izan ereOinarri aldaketa aztertu denean ikusitakoaren arabera, funtzio hauda.Ardatzekiko ebakitze puntuak :y ardatzarekiko, x = 0 deneanx ardatzarekiko,hau da, puntu bera, P(O, 0)Asintota bertikala x=1 zuzena da, izan ere

Logaritmo ekuazioak eta ekuazio sistemak

x ezezaguna logaritmo baten barnean agertzen dutenak dira.Era honetako ekuazioak ebazteko logaritmoak kendu behar dira, alegia logaritmoak ekuazio polinomiko bihurtu behar dira, ondoren ekuazioa aljebrari buruzko atalean ikasitako metodoen bidez ebazteko. Horretarako ekuazioaren atal bakoitzeko logaritmoak logaritmo bakarrean biltzen dira, logaritmoen ezaugarriez baliaturik, eta tankera honetako berdintza bat lortzen da :log A = log B, eta hortik A = B ; ekuazio polinomikoa edo (kasuren batean) esponentziala izan ohi da oro har.• Adibideak1. Bedi log (2x-7) = 2-logx ekuazioa.Ekuazio horretan agertzen direnak 10 oinarriko logaritmoak direnez, 2 = log100 egiten da, eta balio hori ekuazioan ordezkatuz log (2x-7) = log 100 - log x gelditzen da.Ondoren logaritmo bakarrean biltzen dira ekuazioaren bigarren ataleko logaritmoak :Logaritmo funtzioa funtzio injektiboa denez, 2x-7 = 100/x lortzen da, eta bi osagaiak bidereginez,gelditzen da, beraz soluzioakdira.Baina -4 soluzioa ez da onargarria, R barnean ez baitago zenbaki negatiboko logaritmorik. Beraz soluzio bakarra dago : x = 25/2Horren antzeko beste bide bat bada ekuazio hau ebazteko :2-ren ordez log 100 jarri beharrean, logaritmo guztiak atal batean biltzen dira, eta bestean, berriz, logaritmorik gabeko zenbakiak jar tzen dira :Lehen ataleko logaritmoak logaritmo bakar batean biltzen dira gero :Eta logaritmoaren definizioari jarraituz :, hau da,, aurreko bidea erabiliz lortu dugun ekuazio berbera.2. Bedi ondoko ekuazio sistema :Adibide honetan bigarren ekuazioan bakarrik agertzen dira logaritmoak . Aurreko adibidean bezala, lehenengo ataleko logaritmoak logaritmo bakar batean biltzen dira :eta logaritmoaren definizioa aplikatuz, 2. mailako ekuazio sistema bat lortzen da :Sistema horren soluzioak x = 125, y = 8 dira.3. Logaritmoen bidez ebazten diren ekuazio esponentzialak :Zenbait ekuazio esponentzial ebazterakoanmotako berdintza bat lortzen da, eta berdintza hori ebazteko bi ataletan logaritmoak jartzen dira, logaritmo hamartarrak (10 oinarrikoak) zein logaritmo nepertarrak (e oinarrikoak).Berreketa baten logaritmoaren ezaugarria aplikatuz :4. Bediekuazio esponentziala.Ekuazio esponentzialei buruzko atalean ikusi denez, ekuazio hori ebaztekoaldagai aldaketa egiten da, eta horrela 2. mailako ekuazio bat lortzen da z-rentzat:Ekuazio horren soluzioak dira :Aldagai aldaketa deseginez gero, -2 = 3x gelditzen da bigarren emaitzarako, eta berdintza hori ezinezkoa denez, ez da soluzio bat.5 = 3x emaitza 3. adibidearen arabera ebazten da : bi ataletan logaritmoak hartzen dira, log5 = log3x, eta berreketa logaritmoaren propietatea aplikatuz, log5 = x log3 lortzen da. Soluzioa :

- Ariketak

11. Ebatzi ondoko ekuazio hauek :

I I I. Funtzio trigonometrikoak

x aldagaia trigonometria arrazoi baten baitan ageri dutenak dira.

Era honetako funtzioak ikertzeko ezinbestekoa da trigonometriari buruzko atala aurretik aztertu izana.Has gaitezen y = sin x, y = cos x eta y = tg x funtzioekin.Zirkunferentzia goniometriko bat hartuko dugu oinarri, hau da, erradiotzat banakoa duena eta zentrotzat koordenatu jatorria.x radianeko angelua aurkeztean, angeluaren lehen aldea x-aren ardatz positiboan jartzen da, eta bigarrena zirkunferentzia P puntuan ebakitzen duela. Trigonometriari buruzko atalean ikusi zen bezala, puntu horren koordenatuak P(cos x, sin x) izango dira. Irudian,

Sinu funtzioa

Baldin x edozein zenbaki erreal bada, eta x radianeko neurria duen angeluaren sinua sin x bada, sinu funtzio deritzoEremuaEdozein-rentzat bada P puntu bat ordenatutzat x-en sinua duena. Sinu funtzioa R guztirako dago definitua.Ibilbideasin x-en balioak-1 eta 1 artean daude, biak barne.PeriodikotasunaBigarren aldeak zirkunferentzia goniometrikoa p puntuan ebaki tzen dutela dituzten angelu guztiekradianeko diferentzia dute, eta sinu bera dagokie guztiei, beraz, zera egiaztatzen da :, eta horren arabera sinu funtzioa periodikoa daperiodoan. Zehazki aztertuko ditugu y = sin u(x), y = cos u(x) eta y = tg u(x). Azterketa hau, ordea, u(x) lehen mailako funtzioa-den kasuetara mugatua izango da.tarteari dagokion balio taula eta grafikoa :

Kosinu funtzioa

Baldin x edozein zenbaki erreal bada, eta x radianeko neurria duen angeluaren kosinua cos x bada, kosinu funtzio deritzoEremuaEdozein-rentzat bada P puntu bat ordenatutzat x-en kosinua duena. Kosinu funtzioa R guztirako dago definitua.Ibilbideacos x-en balioak -1 eta 1 artean, biak barne, daude.PeriodikotasunaBigarren aldea zirkunferentzia goniometrikoa p puntuan ebaki tzen dutela duten angelu guztiekradianeko diferentzia dute, eta kosinu bera dagokie guztiei, beraz, zera egiaztatzen da :, eta horren arabera kosinu funtzioa periodikoa daperiodoan. Hona hementarteari dagozkion balio taula eta grafikoa :

Tangente funtzioa

Baldin x edozein zenbaki erreal bada, eta x radianeko neurria duen angeluaren tangentea tg x bada, tangente funtzio deritzoAzalpen honetan sinua, kosinua eta tangentea elkarri lotzen dizkion erlazioa hartzen da oinarri :Eremuax-en tangentea ez dago definitua kosinua ezerezten duten x-en balioentzat, alegia,denean. Beraz,IbilbideaTangenteak R barneko edozein balio har dezake.PeriodikotasunaZirkunferentzia goniometrikoan adierazitako x angelu baten tangentea BT segmentuak emana da, ikusi dugunez. Segmentu hori T- n zirkunferentziaren ukitzaile den zuzenaren gainean dago, eta B puntua, berriz, angeluaren muturrak edo angeluaren luzapenak zuzen ukitzaile hori ebakitzen duen puntua da. Beraz,angeluek x angeluak ematen duen B puntu bera emango dute eta tangente bera izango dute, alegia,. Hortik atera daiteke tangente funtzioakperiodikotasuna duela.AsintotakTangenteak asintota bertikalak ditu bere eremuaz kanpoko puntu guztietan ; izan ere, puntu horietan kosinua ezerezten denez, eta sinua 0 ez beste zenbaki bat denez, tangenteakjotzen du.Hona hementarteari dagozkion balio taula eta grafikoa :Asintota bertikalakFuntzio trigonometrikoen azterketa ondoko funtzioetara zabalduko dugu orain : y = sin u(x), y = cos u(x), y = ig u(x), u(x) lehen mailako funtzioa delarik.Eremua• y= sin u(x), y = cos u(x) funtzioek, oro har, zenbaki errealen R multzoa dute eremutzat.• y = tg x funtzioaren eremua da :Ikus dezagun nola kalkulatzen den y = tg u(x) motako beste fun tzio batzuen eremua.• Adibideaizanik, funtzioa ez dago definituabetetzen den puntuetan, eta berazgiaztatzen duten x-en balioak kalkulatzen dira, hau da,k, eta zati 2 eginez,k ateratzen dugu. Beraz, D=Periodikotasunay = f(x) funtzioak T periodikotasuna duela esaten da baldin eta soilik baldin f(x+T) = f(x) betetzen bada.• y = sin x funtzioakperiodoa du.• y = cos x funtzioak ereperiodoa du.• y = tg x funtzioakperiodoa du.Hau da :y = sin u(x), y = cos u(x) tankerako funtzioen periodoa kalkulatzekoekuazioa ebatzi behar da.• Adibideafuntzioaren periodoa kalkulatzen dugu, kontuan harturik; eta hortik ateratzen daOro har, sinu edo kosinu funtzioetan u(x) 1. mailako u(x) = ax+b funtzioa denean, funtzio horren periodoada, y = sin (ax+b) y = cos (ax+b) denean.Horrela, y = 2 sin (x/2) fmitzioaren periodoada.• f(x) = tg u(x) motako funtzio baten periodoa kalkulatzeko u(x+T) = u(x)+n ekuazioa ebazten da.• AdibideaBedifuntzioa, nonBeraz, T = 2.Oro har, tangente funtzio batean, u(x) lehen mailako u(x) = ax+b denean, periodoa

- Ariketak

12. Aurkitu

- Ariketak

13. Aurkitu ondoko funtzioen periodoak :

Asintotak

y = sin u(x) eta y = cos u (x) funtzioak, u(x) lehen mailakoa denean, ez dute asintotarik.y = tg x funtzioaren asintotakzuzenak direla ikusi dugu.Beraz, y = tg u(x) funtzioaren asintotak aurkitzeko ondoko ekuazio hau ebatzi beharra dago :• AdibideaAurkitufuntzioaren asintotak.Ebazpenaekuazioa ebazten da :tartea soilik hartzen badugu, asintota bakarra x =da.• Adibideaka) y = sin 2x funtzioa emanik, kalkulatu periodoa, egin funtzio horritartean dagokion grafikoa, eta aurkitu y = 1 /2 zuzenarekin dituen ebakitze puntuen koordenatuak.Ebazpenab)funtzioa emanik, kalkulatu periodoa eta eremua, aurkitu asintotei ekuazioa, ebatzekuazioa, eta egintarteari dagokion grafikoa.Ebazpena

- Ariketak

14. Kalkulatu ondoko funtzio hauen eremua :15. Kalkulatu ondoko asintota hauek :16. f(x) = 2sin x funtzioa harturik,tartean :a) Aurkitu periodoa eta egin funtzioaren grafikoa.b) Adierazi ardatz berberetan g(x) = 1 funtzioa.c) Ebatzi grafikoki f(x) = g(x) ekuazioa, eta frogatu ondoko ekuazioaren ebazpenaren bidez:2 sin x = 1d) Ebatzi grafikoki 2 sinx < 1 inekuazioa.17. f(x) = cos 2x funtzioa harturik,tartean :a) Aurkitu periodoa eta egin funtzioaren grafikoa.b) Adierazi ardatz berberetan g(x) = -1/2 funtzioa.c) Ebatzi grafikoki f(x) = g(x) ekuazioa, eta frogatu ondoko ekuazio honen ebazpenaren bidez :d) Ebatzi grafikoki cos 2x < - 1 /2 inekuazioa.e) Aurreko grafikoa oinarri harturik, adierazi

Alderantzizko funtzio trigonometrikoak

a) arc sin x funtzioay = sin x funtzioaren alderantzizko funtzioa da sinuaren balio bakoitzari sinuaren balio hori bera duen angelua egokitzen diona ; kontuan harturik sinu bereko infinitu angelu daudela, alderantzizko funtziorik izan dadin sinu funtzioaren eremua funtzio hori bijektiboa den eremura murriztu behar da. Hau da,tartera.b) arc cos x funtzioay = cos x funtzioaren alderantzizko funtzioa da kosinuaren balio bakoitzari kosinuaren balio hori bera duen angelua egokitzen diona; kontuan harturik kosinu bereko infinitu angelu daudela, alderantzizko funtziorik izan dadin kosinu funtzioaren eremua funtzio hori bijektiboa den eremura murriztu behar da. Hau da,tartera.arc tg x funtzioa y = tg x funtzioa injektiboa datartean, beraz, bere eremua tarte horretara mugatuz geldituko da definiturik bere tangentefuntzioa eta alderantzizko tangente funtzioa : arc tg x

Emaitzak