Matematika»Geometria

Planoko Eraldaketak

Eraldaketak, planoko puntuen arteko korrespondentziak dira.

Distantzien aldaketak eta irudien forma aldaketak burutzera, edo burutu gabe uztera, eraman dezaketen planoko puntuen kokapen aldaketen moduan har daitezke. Antzinatean, geometrialariek, errezeloz ikusten zituzten, izan ere, geometriako problemak eta gaiak tratatzeko modu fisikoegia zela baitzirudien. Baina, mekanikako higiduretara jo gabe defini daitezke eta oso erabilgarria den geometria ikusteko modu berria eskaintzen dute. Berez, beti erabili izan dira irudien ezaugarriak aztertzeko eta ikasteko. Euklidesek, bere garairako, onartu zuen higidura baten ondorengo bat etortzea irudien arteko berdintasuna frogatzeko eta Elementuak deitu laneko 8.. xioman, zera baieztatu zuen : "8. beren artean bat datozen gauzak, beren artean ere berdinak dira." Joan zen mendeaz geroztik, eraldaketek leku garrantzitsua hartu dute geometrian. Beste zientzia batzuetan ere, hala nola fisikan, egoera solidoak edo partikula elementalak edota kristalografiak, garrantzizko laguntzailea dute geometriako eraldaketen ikasketa eta azterketa.Planoan eta espazioan buru daitezkeen eraldaketetatik, isometriak dira garrantzitsuenak. Isometrietan, eraldaketa baten imajina diren puntuen arteko distantzia jatorrizko puntuen artean dagoen distantziaren berdina da eta angelua ere, anplitude edo zabaltasun bereko beste angelu baten moduan eraldatzen da. Isometriak edo higidurak, bi motatakoak daude : zuzeneko higidurak, irudien orientazioa ere gordetzen dutenak, hala nola, traslazioa edota biraketa bezalakoak eta alderantzizko edo aurkako higidurak, hala nola simetria edota lerradura, irudien norantza aldatzen dutenak.Higiduren edo isometrien ondoren, antzekotasunen multzoa ikusiko da. Kasu honetan, irudien eitea edo forma mantendu egiten da eta angeluak edota zuzenen arteko paralelotasunak gorde egiten dira, baina ez distantziak. Bereziki homoteziak aztertuko dira, irudi bat forma edo eite bereko beste batean eraldatzen dutenak baina jatorrizkoa baino handiagoa edo txikiagoa eginez.Hemen ez dira aztertuko zabalkuntza edota murriztapen koefizienteak hartutako norabidearen arabera aldatzen diren eraldaketak.

Eraldaketa hauekin ateratzen diren irudiak, jatorrizkoen antzekoak dira, baina norabide batzuetan beste batzuetan baino luzatuagoak daude. Irudien eitea gordetzen ez duten eraldaketetatik, alderanzketa aztertuko da, zuzenak zirkunferentzia bihur ditzakeena eta orientazioa aldatzen duena, baina angeluak gordetzen dituena. Azken atala proiekzioen azterketari eskainia da, planoko puntu guztiak lerro batera daramatzan eraldaketa moduan alegia.

I. Eraldaketak.

Planoko eraldaketa, planoko puntuekin beren buruen baitan egindako aplikazio oro da. Planoa p letraz adierazita, T eraldaketa zera da :T eraldaketak alegia,(planokoa den P puntu) bakoitzari, bestepuntu bat egoki arazten dio ; honela idazten da :Eraldaketak aztertzeko, beren artean bereiztaratzen dituzten elementuak zeintzuk diren ikusiko dugu, aldatu gabe gelditzen diren puntuak edo irudiak zeintzuk diren, koordenatu sistema batean dituzten ekuazioak zeintzuk diren eta beren osaketa nolakoa den,hau da, aplikazio bat planoko puntuei behin eta berriz aplikatzearen ondorioak.Geometriako eraldaketa batean, puntu aldagabe, atzera lehengo berbera izatera eraldatzen denari deritzo, hau da planoa eraldatzean aldatzen ez denari. Adibidez, biraketa batean, biraketa zentroa ez da aldatzen. Eraldaketa motaren arabera, puntu, zuzen, zirkunferentzia edo beste irudi batzuek ere izan daitezke aldagabe. Kasu batzuetan, irudi baten aldagabetasuna, bere puntu guztiak aldagabe izatetik dator, beste batzuetan aldiz, irudiak aldatu gabe irauten du puntuek bere barnean kokaera aldaketak izan arren.Bi eraldaketa hurrenez hurren egitearen emaitza, egindako bi eraldaketen konposizio deritzon beste eraldaketa berri bat da. Mota jakin bateko eraldaketen konposizioak dituen ezaugarriak jakiteak, errepikatutako aplikazioak sinplifikatzeko, alderantzizko eraldaketarik ba al den jakiteko, edota eraldaketen ordenak lortutako emaitza aldatzen duen ala ez jakiteko aukera ematen du.Eraldaketen konposizioa adierazteko modua hau da :Baldin etaetabadira, T etaeraldaketen konposiziotzat zera hartzen da, alegia, besteeraldaketa bat, nonden.Hori, honela idazten da :bete egiten da, baldin etaetabadira eta orduan :da.Traslazioen eta zentro bera duten biraketa edo homotezien konposizioek, multzo trukakorren egitura dute. Zuzeneko higiduren multzoa, edota higidura guztien multzoa edo antzekotasun guztiena ere taldeak dira, baina ez-trukakorrak dira. Beste kasu batzuetan, simetrien kasuan adibidez, konposizioa ez da itxia, hau da, bi simetrien konposizio edo biderkadura ez da simetria. Irudi bat aldatu gabe uzten duten higiduren konposizioa, karratu bat adibidez, maiz finitua edo amaieraduna den taldea da. Karratuarentzat adibidez, zortzi eraldaketa daude aldatu gabe uzten dutenak.Eraldaketa multzo baten konposizioa aztertzean, taldea osatzen dutela esaten da ondoko baldintza hauek betetzen dituztela adierazteko :- Eragiketa itxia izatea : hau da, mota bereko bi eraldaketa egiten badira, bi traslazio adibidez, mota bereko beste eraldaketa bat lortzen da, beste traslazio bat alegia. Bestela esanda, T etaezaugarri hori duen multzo bateko bi eraldaketa badira, beren konposizioa,ere, multzo horretakoa da.Dena delako eraldaketen konposizioak, taldeen tasun edo ezaugarriak ditu :a) Elkarkortasuna :b) Unitate edo elementu neutro bat badago : I identitatea,egiten duena.c) T elementu bakoitzak, berealderantzizkoa du eta ondorengoa betetzen du :Zenbaki oso, razional erreal edo konplexuen multzo askoren baturak, talde egitura du eta beste multzo batzuetan definitutako eragiketek ere hala dute. Zenbakien baturak trukakorrak dira, batugaien ordenak ez du aldatzen batura, geometriako eraldaketetan badaude hainbat kasu konposizioa trukakorra ez dutenak, hots,eta

I I. Traslazioak.

Definizioa:

bektorearen traslazioa, planoko eraldaketa da eta edozein P punturi,puntua egoki arazten zaio,bektoreabektorearen ekipolentea dela.Traslazioak, bera definitzen dutenbektorearen arabera bereizten dira. Horregatik, bektore traslazioabidez adieraziko da.AB zuzenkiaren zuzenki lekualdatua, bestezuzenki bat da, paralelogramoaren parez pareko aldea izateagatik lehenaren luzera berdinekoa dena, izan ere, beste bi aldeak paraleloak eta a luzerakoak baitira.BAC angeluaren angelu lekualdatua, besteangelu bat da, aldeak paraleloak eta norantza berekoak dituena, beraz, angelu bat eta bere angelu lekualdatua berdinak dira.Planoko puntu guztiei, traslazio baten bitartez, beste puntu desberdinen bat dagokie, bektore lekualdatzailea den bektoreabektore hutsala ez bada behintzat. Kasu horretan, hutsala ez den bektoredun traslazioak, ez du puntu aldagaberik.Edozein traslaziok ere, irudi aldagabeak ditu. Traslazioa definitzen duen bektorearen paraleloak diren lerro guztiak aldagabeak dira. Errepikatzen diren marrazkidun frisoek, traslazio bektorea dute aldagabetasuna dutenarekiko. Saretek, lauzek, paper pintatuek edota bestelako pareta estaldura batzuek, bi traslazioekiko aldagabetasunaz jokatu ohi dute beren m arrazkian. b i kasuetan ere, irudia traslazioarekiko aldagabea bada,bektorea ere hala dabektorearekiko eta orokorki

Traslazioaren ekuazioa.

Traslazioa egiten den planoanerreferentzi sistema bat baldin badago, hasierako puntuaren eta eraldaketa ondorengo azkenekoaren arteko korrespondentzia, ekuazioen bitartez adieraz daiteke.Traslazio definiziotik ondorioztatzen da, alegia, puntu baten kokaerabektorearen eta bere eraldatuaren arteko erlazioa hau dela :Erlazio hori, emandako oinarriko koordenatuak hartuta etabektoreak dituenkoordenatuak erabiliz, honako ekuazio hauen bidez adieraz daiteke :non, P(x,y) jatorrizko puntua den etapuntu lekualdatuaBektore batuketa moduan adierazita :Oinarri batean, biraketa, simetria edo homotezien konposizioak, matrize biderkaketa bihurtzen dira. Horregatik, traslazioen konposiziorako oso erabilgarria ez den arren, aurreko berdintza, matrize moduan ere ematen da :

Traslazioen konposizioa.

P puntuabektoredun traslazio batez eraldatua baldin bada eta emaitza osterabektoredun eraldaketa berri batez berriro eraldatua, emaitza,bektoredun traslazio bidez eraldatu izan balitz bezalakoa izango da :Traslazioak korrespondentzia dute bektoreekin eta traslazioen konposizioak bektoreen baturarekin. Beraz, eraldaketa konposizio bidezko eragiketa eginez burututako planoko traslazio multzoak, bektore batuketako eragiketa bidez planoko bektore askeen multzoak dituen ezaugarri berberak ditu :Elkarkortasuna :Trukakortasuna :Elementu neutroa ere badute, bektore traslaziokobektorea,Eta traslazio bakoitzak bere aurkakoa ere badu, aurkako bektoreari dagokion traslazioa noski.bektorearen aurkakoda, izan ere :

- Ariketak

1.- Kalkula itzazu P(2,1) puntuaren eraldatua denaren koordenatuaktraslazio bektoreak eragindako traslazioaren ondoren. Adieraz itzazu traslazio horren ekuazio cartesiarrak eta matrize ekuazioak.2.- Kalkula ezazu 2x - y + 4 = 0 zuzenak aurreko eraldaketa dela bide izango duen zuzen eraldatuaren ekuazioa.3.- Kalkula ezazuzirkunferentziak aurreko eraldaketa dela bide izango duen zirkunferentzia eraldatuaren ekuazioa :a) Traslazio ekuazioak erabiliz.b) Erradioaren aldagabetasuna eta zentroaren eraldatua erabiliz.4.- Kalkula ezazu

I I I. Biraketak.

Biraketa zentro deituriko O puntu bat eta a zenbaki errealeko biraketa angelu bat emanik, O zentrodun etabiraketa angeludun biraketa esaten zaio planoko P puntu bakoitzari bestepuntu eraldatu bat egoki arazten dion eraldaketari, baina ondoko baldintza hauek betez beti ere :a)angeluakbalio du.angelua,tartean hartuta ulertzen da erradianetan ematen bada eta [0, 360°) tartean hartuta gradutan ematen bada.O zentrodun etaangeludun biraketak P puntua- era daramala adierazteko, honela idazten da :.

Biraketak, biraketa zentroaren edota biratutako angeluaren arabera bereizten dira. Horregatik idazten dira bi datu horiek azpindize moduan. Halere, kasu askotan, biraketak, ezaguntzat jotzen den puntu baten inguruan, koordenatu jatorriaren inguruan adibidez, ematen dira eta O azpindizea kendu egiten da :AB zuzenkia biratzean, luzera bereko bestezuzenki bat lortzen da. Hain zuzen ere, AOB etatriangeluak berdinak baitiraetaaldeak eta beren artekoangeluak berdinak izateagatik, ezen, hiru berdintzak ere biraketaren definiziotik ondorioztatzen baitira. Triangeluen berdintasunetik ateratzen daOAC etatriangeluekin arrazoiketa berbera erabiliz gero, OAC angelua =angelua dela ateratzen da. OAB etatriangeluen berdintasunetik berriz,ateratzen da. Bi berdintzen kenketa eginda, edozein angelurentzat ere, BAC =dela ateratzen da.

Bestalde, biraketa norantza ez da aldatzen irudi eraldatuetan. Jatorrizko irudian biraketa norantza positiboa BAC baldin bada, eraldatuan ere positiboa izango danorantza.Laburbilduz, biraketa, zuzeneko isometria da, hau da, distantziak, angeluak eta biraketa norantza gordetzen dituen higidura alegia .Biraketa zentroa da aldatzen ez den puntu bakarra zero ez den angelua duen edozein biraketarentzako. 00-ko angelua duen biraketan, puntu guztiak errepikatu egiten dira eta identitatea berbera da.

Zentroa, biraketa zentrotzat duten zirkunferentziak, aldatzen ez diren irudi dira, nahiz eta beren puntuak lekuz edo kokaeraz aldatu..  alde dituzten poligono erregularrak ere aldagabeak dira irudiaren zentroan biraketa zentroa eta 3600/n biraketa angelua duten biraketetan . Adibidez, karratua, aldagabea da 90°ko biraketan.

Biraketaren ekuazioak:

Planoanerreferentzi sistema definitu baldin bada, lehendabizi, biraketa zentroa koordenatu jatorria dela suposatzen da.a angeludun biraketa batean hasierako P(x,y) puntuaren koordenatuen etapuntu eraldatuaren koordenatuen arteko korrespondentzia aurkitzeko, era honetara jokatzen da :Hasierako puntuarentzat, ondorengoa betetzen da :Azken puntuak,angelua eratzen du abzisa ardatzarekin, izan ere, P-tik abiatuta jatorri puntuaren inguruanangelua biratuz lortzen baita. Beraz, ondorengoa betetzen du :Trigonometriaz badakigu :Ordezkatuta, hau lortzen da :Biraketaren definizioa dela bide,denez,Era berean kalkulatzen da :Beraz, koordenatuen jatorri puntua zentrotzat eta a biraketa angelutzat duen biraketa egitean, puntu eraldatuak jatorrizko puntuaren koordenatuen arabera izango dituen koordenatuak honako hauek izango dira:Berdintza hauek era honetan idazten dira matrize moduan :Hau da,; A ondorengo determinantea duen matrizea dela : det. Biraketa matrizearen determinanteak 1 balio du, zuzeneko higidura guztietan balio duen bezalaxe.da, non I, 2x2 mailako unitate-matrizea den etamatrize antisimetrikoa, diagonal bigarrenean - 1 eta 1 dituela.Zentroa jatorri puntua ez den kasuan ere, aurreko formulak baliozkoak dira, baina lehendabizi ardatz traslazioa egin behar da jatorri puntua eta biraketa zentroa bat etor daitezen. Beraz, aurreko formulekin, ardatz lekualdatuetan biratutako puntuaren koordenatuak kalkulatzen dira eta azkenik, traslazioa desegin egiten da biratutako puntuaren koordenatuak jatorrizko koordenatuetan izateko.

Ardatz traslazioa egiteko, kontuan hartu behar da,bektoredun ardatz traslazioak, koordenatuetan puntuak

Biraketa konposizioa.

Zentro beraren inguruan egindako bi biraketek, zentro bera eta biraketa angelua angeluen batura duen biraketa bihurtzen da :Zentroa desberdina baldin bada, bi biraketen konposizioakangeludun beste biraketa bat da oraindik ere,etaden kasuan salbu, kasu horretan emaitza traslazioa da eta. Orokorki, biraketen konposizioa aztertzeko, lehendabizi simetriak aztertzea komeni da.Zentroa bi biraketetan berbera baldin bada, aurreko emaitza frogatu egin daiteke zentroa koordenatuen jatorri puntua dela suposatuz eta a eta b angeluekin egindako biraketetako formulak bi aldiz aplikatuz.Hau suposatzen da :Frogatu nahi dena hau da :Hain zuzen ere,koordenatuetan jarrita :Gauza berarentzat:eta- arentzat lortutakoa- aren adierazpenean ordezkatuz :Trigonometrian gauza jakina da :Aurreko berdintzetan ordezkatuta :Era berean ateratzen da :Hauek dira beraz,biraketari dagozkion formulak.Konposizio lege honekin, zentro finko baten inguruan egindako biraketek, multzo abeldar edo trukakorraren egitura dute. Biraketa unitatea, 0 angeluaren biraketa alegia,da eta biraketa baten alderantzizkoa edo aurkakoa berriz, zentro berbera eta aurkako angelua duen biraketa da :biraketaren aurkakoa,da.Biraketa angeluen artean, honako erlazio hau ere badago :, hau da, bira oso bat norantza batean ala bestean biratzeak, ez du emaitzarik aldarazten. Aurkako biraketarako erosoagoa gertatzen daerabiltzea, baina biraketa angeluarentzat onartutako balioekiko zorrotzak izatekotan, bere balioada. Era berean, bi biraketen konposizioakbaino biraketa angelu handiagoa ematen badu,kentzen zaio.Zentro berberarekin egindako biraketen multzoa trukakorra da, hots :

- Ariketak

G.- Kalkulatubiraketak emango duen P(1,2) puntuaren eraldatua.7.- Kalkulatubiraketak emango duen x + 2y = 38.- Kalkulatubiraketak emango duenzirkunferentziaren eraldatua.9.- Egiazta ezazu, traslazioen bidezko biraketen biderkadura ez dela trukakorra,eta, P(2,0) puntuarentzat erabiltzeaneta

I V. Simetriak

Planoan bi simetria mota daude. Simetria zentrala, 180o-ko biraketaren edota -1 arrazoia duen homoteziaren berdina dena, eta ardatz simetria edo zuzen (ardatz) batekikoa, orientaziorik gordetzen ez duen alderantzizko higidura da azken hau.

Zentro batekiko simetria.

Planoko O puntua emanik, zentro batekiko simetria, planoko P puntu bakoitzari bestebat egoki arazten diona da eta ondokoak betez egoki arazi ere :- P, O etalerrokatuta egonez,-, izanez,- P etaO zentroarekiko alde banatan egonez.Eraldaketa honetan, ezaugarri den elementua zentroa da.Zentroa da aldatzen ez den puntu bakarra. Zentrotik igarotzen diren zuzenak eta zentroa simetria zentroan duten zirkunferentziak aldagabeak dira. Irudi bat mota honetako simetria batekiko aldagabea baldin bada, simetria zentroa duela esaten da. Adibidez, karratuak simetria zentroa du eta aldiz triangelu aldekideak ez du.Eraldaketa honek, gorde egiten ditu luzerak eta angeluak eta ABC triangeluari, orientazio bera duen bestetriangelu bat dagokio. Hau guztia, zentro batekiko simetria, zentro horrekiko 180o-ko biraketaren gauza berdina izatetik ondorioztatzen da.Simetria zentroa koordenatuen jatorri puntua baldin bada, ekuazio hauek ditu :

Zuzen batekiko simetria.

Planoko P puntu bakoitzari bestepuntu bat egoki arazi eta r zuzenazuzenkiaren erdibitzailea izan arazten dion eraldaketari, r zuzenarekiko (ardatzarekiko) simetria deritzo.Irudi simetrikoak beren artean bereizi arazten dituen elementua, r zuzena da, horregatik, r zuzenarekiko simetria,idatziz adieraziko dugu.Simetriak distantziak eta angeluak gorde egiten ditu, baina orientazioa alderanztu egiten du. Hain zuzen ere, AB zuzenkiaren simetrikoa denzuzenkiak, luzera bera du.Hori frogatzeko, nahikoa da A etaalde batetik eta B etabestetik elkartzea.zuzenkia, r zuzenari buruz zuta da eta Q bere erdiko puntua da, simetriaren definizioz. Arrazoi horretxengatik,zuta da r-ri buruz eta P bere erdiko puntua da. A-tik eta- etikzuzenkiari perpendikularrak marratzen bazaizkio, AMB etatriangeluak ateratzen dira, eta biak berdinak dira, izan ere,angelua =angelua da, AM aldea etaaldea berdinak baitira, paralelogramo bateko parez pareko aldeak izateagatik. MB etaaldeak berriz, bi zuzenki berdinen arteko diferentzia izateagatik dira berdinak.da simetrikoak direlako eta, bi paralelogramoetan AQ etaaldeen parez parekoak direlako.

Azkenik,da simetrikoak direlako.etaangeluak ere berdinak dira eta antzeko arrazoiketa erabiliz froga daiteke, alegia,bezalako edozein angelu eta 15. irudiko bere simetrikoa denere berdinak direla. Baina AB-tik BC-ra joateko biraketa angelua, biraketa positiboarena da etajoatekoa berriz negatiboa, hau da, orientazioa aldatu egiten dela irudi simetrikoan.

Simetria baten ekuazioak

Geometria analitikoan,simetria ardatzaren ekuazioa emanda eta alde batetikzuzenaren norabide bektorea dela eta bestetik A zuzen horretako puntu bat dela jakinda, planoko P puntu baten simetrikoa aurkitzeko, P-tik igarotzen den eta r zuzenari buruz zuta den zuzena aurkitzen da. Perpendikular horrek ardatza ebakitzen duen M puntua aurkitzen da. Azkenik, P puntuaren simetrikoa denaurkitzen da,zuzenkiaren erdiko puntua izan behar duela baliatuz.Prozedura horrek ez du balio hasierako puntuaren koordenatuak jakinik puntu simetrikoaren koordenatuak emateko formula orokorra lortzeko, nahiz eta puntu simetrikoa aurkitzeko kasu guztietan balio duen prozedura soila izan.Hasierako puntuen eta simetrikoen koordenatuen artean dagoen erlazioa aurkitzeko, simetria ardatza jatorri puntutik igarotzen zaion erreferentzi sistema ortonormal bat hartzen da, edozein a inklinazioarekin. Norabide bektoreak, ardatzaren u banako modulua duenak, balio hau du :P planoko puntu bat bada etaharen simetrikoa,bektore banakoa denez, hau dugu:izan ere,zuzenkia simetria ardatzari buruz zuta baita etaetabektoreek modulu berbera baitute.Aurreko bektoreen batura, bi berdintzetan deskonposatzen da, koordenatu bakoitzarentzat banatan hain zuzen ere :Lehenengoanaskatu eta eragiketak eginda :Baina trigonometrian gauza jakina da :dela etaOrduan, hau gelditzen da :.- aren balioan ere antzeko eraldaketa batzuek eginda, hauek ateratzen dira :Matrize bitartez adierazita :Matrizeak A-ren det = -1 baldintza betetzen du eta simetrikoa da, hau da, berematrize irauliaren berdina

Simetrien konposizioa.

Simetria inboluzioa da. Puntu baten simetrikoaren simetrikoa jatorrizko puntua bera da, hots, simetriaren alderantzizkoa, elementu berbera da.

- Ariketak

10.- Aurki ezazu :a) OX ardatzaren ardatz simetrikoarena ekuazioab) OY ardatzaren ardatz simetrikoarena ekuazioac) lehen koadranteko erdikariaren ardatz simetrikoarena?d) bigarren koadranteko erdikariaren ardatz simetrikoarena?.Aplikatu P(2,1) puntuari.11.- Kalkulatu y = 2x + 1 zuzenaren eraldatuazuzenaren ardatz simetriarekiko.12.- Kalkulatu

Bilaua hiru aldagaien arabera eta biderik laburrena.

Traslazioak eta simetriak erabiliz, lehen begiradan oso konplexuak diren arazoak edo ariketak, oso soil eta erraz bihur daitezke. Adibidez, ibilbiderik laburrenen arazo batzuek.Mota horretako ariketarik soilena, A puntutik B puntura gutxieneko luzera duen ibilbidea zein den aurkitzea da. Erantzuna, bistan denez, zera da, AB zuzenkia dela distantziarik txikiena.Halere ordea, baldintzaren bat erantsiz gero, arazoa bihurruago hasten da bihurtzen. Bedi adibidez, A herritik B herrira lursail lau eta oztoporik gabean errepidea marratzeko ariketa, baina tartean 1 zabalera duen ibaia dela. Ibaia igarotzeko zubia egin beharra dago. Kostua, korrontearekiko erresistentziarik handiena eta iraupena kontuan hartuta, zubia, paralelotzat hartzen diren ibaiertzei buruz zuta izan behar duela suposatuko da.

Zein da orain ibilbiderik laburrena?Ibaiertzei buruz zuta den zubiaren 1 luzera, ezinbestekoa da, beraz, bidearen gainerako ibilbide txikiena aurkitzea da kontua. Hori egiteko, B herriaren traslazioa egiten da planora, ibaiertzari buruz zut 1 luzeran, eta horrelapuntura igarotzen da. Ibaia kontuan hartu gabe,doana da ibilbide laburrena. Ibilbide hori ordea, ibaiertzera iritsi arte bakarrik da benetakoa. Ibaiertzera iristean, ibaia perpendikular gurutzatu behar da eta beste ibaiertzean zubia iristen den puntutik B-rainoko zuzena marratu behar da. Lurreko ibilbideada, horixe da eta lurreko ibilbide txikiena.Ibilbideak bi ibai gurutzatu behar baldin baditu, A herria ibaiari buruz zut aldatu behar da eta beste ibaiari buruz zut B herria.etapuntuak zuzen batez lotzen dira. Zuzenki hori da bi ibaien arteko ibilbiderik laburrena. Ibaietara iristean, ibaiertzei buruz zutak diren zubietan zehar igarotzen da bidea eta ibaiak gurutzatuta iristen den puntuetatik A eta B herriekin elkartzeko zuzenak marrazten dira.Ariketa honen beste aldagai bat zera da, ibilbideak zuzen bat ukitu behar duena. Bedi adibidez hegazkin bat A puntuan aireportua duena eta B puntuan sutea itzali behar du. B-ra joan aurretik ordea, ura hartu behar du r ibaian. Non hartu behar du ura ibilbiderik laburrena egiteko?Ibaiko ura ukitzea nahikoa badu, A-tik B-ra ura ukituz lortzen den biderik laburrena,aurkituz ateratzen da,hori, zuzentzat hartzen den ibaiarekiko B puntuaren simetrikoa delarik. A etaelkartuta, zuzen horrek N puntuan ebakitzen du ibaia (r zuzena). Ibilbiderik laburrena, ANB da, hain zuzen ere- ren luzera berdinekoa baita NB-k eta- ak duten simetria bidezko berdintasunarengatik. Hain zuzen ere, beste edozein puntuk, M-k adibidez,emango luke eta bere balioa beti eretriangeluaren bi aldeen batura izango litzateke, betihirugarren aldea baino handiago dena.Aurreko ariketan hegazkinak ibaian zehar 1 luzerako distantzia behar baldin badu ur-gordailuak betetzeko, B-ren simetrikoa denpuntua aurkitzen da etapuntu hori 1 luzera aldatzen da A-rantz, eta horrela B "aurkitzen. A eta B" elkartuz, ibairainoko AP ibilbidea lortzen da. Gero, ibaian zehar 1 distantzia egingo du, PQ hain zuzen ere. Azkenik, Q-tik zuzenzuzen B-ra joango da.Simetriez baliatuz ebazten den beste ariketa bat, bilar jokokoa da, alegia, ea non jo behar duen bolak mahai ertza gero beste bola bat jotzeko.

Hori, bolari gurpil bereizirik eman gabe eginda noski. Ebazpena zera da, alegia, jo nahi den bolak mahai ertzaz bestaldean izango lukeen simetrikorantz apuntatu behar dela.Bi ertzetan jo nahi baldin bada, bi simetria joko egin behar dira jo nahi diren ertzak simetria ardaztzat hartuta.Hiru ertzetan jo nahi bada berriz, hiru simetria joko hartu behar dira kontuan. Beti ere, ertzen ordena gordez noski.

V Higiduren multzoa.

Luzerak eta angeluak gordez egindako eraldaketen konposizioak, beste isometria bat ematen du. Konposizio horiek aztertzeko, bi simetria, biraketa, traslazioa, bi biraketa eta azkenik biraketa eta traslazioa dituen simetria erabiltzearen ondorioak aztertuko ditugu.

Bi simetriazko konposizioa :

a) Kasurik soilena lehen ikusia da, hain zuzen ere, bi simetriek ardatz berbera dutenekoa. Kasu horretan,da eta I-k identitatea adierazten du.b ) Konposatzen diren bi simetrien ardatzak paraleloak badira,, orduan, konposizioaren emaitza, traslazioa da :nonbektorea, r-tik- erako distantzia modulutzat duena den, norabidea berriz r-tik- erako lerroaren perpendikularra eta norantza r-tik- erakoa.Adibide baten bidez ikusita :P puntua, r ardatzaren simetriaz,bihurtzen da etaardatzaren simetriazetapuntuak lerrokatuta daude eta gainera,da eta, beraz :Traslazioaren norantza, A-tik, lehenengo simetria ardatzarekin duen ebakiduratik,- erakoa, bigarren simetria ardatzarekin duen ebakidurarakoa da. Hortik zera ondoriozta daiteke, alegia, simetrien konposizioa ez dela trukakorra, izan ere, S r S , balitz, bektorearen norantza- etik A-rakoa izango bailitzateke, hau da,Ez da oso zaila egiaztatzea, alegia, P puntuaren beste jatorrizko kokaera batzuentzat, emaitza berbera dela.Ardatz paraleloen bi simetria,bektorearen traslazioaren baliokideak dira, nonbi ardatzei buruz zuta den bektorea den, modulutzat beren arteko distantzia duena eta norantza lehenengotik bigarrenerakoa.c) r etasimetria ardatzek a angelua eratuz elkar ebakitzen badute, orduaneta. simetrien konposizioa,angeludun biraketa da, zentroa simetriak eratzen dituzten bi zuzenen ebaki puntua delarik, eta biraketa norantza r lehen ardatzetikbigarren ardatzera doana.Hain zuzen ere, P puntua, S r simetriaren bidezizatera pasatzen bada, POA etatriangeluak berdinak direla egiaztatzen da, izan ere, A angeluzuzena baita, OA alde komuna eta PA etaaldeak berdinak simetrikoak direlako. Beraz,Bigarren simetriarentzat ere antzeko arrazoiketa erabiliz,etaangeluak berdinak dira. Beraz, hau betetzen da :angelua, bi simetrien ardatzek elkarren artean eratzen dutenangelua da.Biraketa norantza, r-tik

Biraketa eta traslaziozko edota traslazio eta biraketazko konposizioa

Traslazioak eta biraketak bi simetrien biderkadura bihurtu eta deskonposatzeak, erraztu egiten du konposizio horien emaitzen lorpena.a) Lehenik biraketa eta gero traslazioa :- ren emaitza jakin nahi bada, bi mugimenduak simetrien biderkaduran deskon posatzen dira. Hau lortzen da :elkar ebakitzen duten r etasimetria ardatzek eratzen duten angelua izanik eta b- etik t-ra perpendikular daraman bektorea.Ondoko konposizioa kalkulatzeko :hartzen da, traslaziokobektoreari buruz zuta dela eta biraketa zentro den O puntutik igarotzen dela.zuzena marrazten da,- etik r-rako biraketa- koa izanez eta t zuzena,- etik t-ra perpendikular daraman bektorea- koa izanez. Orduan, hau betetzen da :Bainada, beraz,Orduan, honako hau gelditzen da :Hau da,angeludun beste biraketa bat da, t etaparaleloak direlako eta- aren eta r-ren arteko angelua, t zuzenaren arteko berbera dena alegia,delako : Biraketa zentroapuntua izango da, t eta- aren ebaki puntua hain zuzen ere.b) Lehenik traslazioa eta gero biraketa. Konposizioaren emaitza lortzeko modua antzekoa da.bektoredun traslazioa eta O zentrodun a angeluko biraketa baditugu, simetria biderkaduratan deskonposatzen dira bi eraldaketak, baina traslazioaren bigarren simetria biraketaren lehenengoarekin bat etorraraziz eta beren ondorioak hutsal bihurturik identitatea emanaraziz.Kasu honetan, aurrekoan bezalaxe :Emaitza,zentro etaangelua duen biraketa da. Baina biraketak desberdinak dira, izan ere,eta

Zentro desberdineko bi biraketazko konposizioa.

Bi biraketek zentro berbera baldin badute, konposizioa beste biraketa bat da, angelua angeluen batura duena eta eta zentroa beste biraketekin komuna duena. Bi zentroak desberdinak badira, emaitzaez da hain begibistakoa. Emaitza zein den ikusteko, aurreko kasuan bezalaxe, simetrietan deskonposatzen dira.etabiraketak baldin baditugu, bi biraketak, bi simetrietan deskonposa daitezke.biraketarentzat, bi ardatzak, O-n gurutzatu eta elkarren arteanangelua eratu behar duten bi zuzen dira.biraketarentzat, bi ardatzek- etik pasa eta bien arteanangelua eratu behar dute. Konposizioa ondorengoa bada :O-tik eta- etik igarotzen den zuzena hartzen da eta lehen biraketako bigarren simetriaren nahiz bigarren biraketako lehen simetriaren ardatz moduan jartzen. Hau da, bi biraketak definitzen dituzten simetriak hartzen dira ondoko baldintza hau betez :Simetria hori desagertu egingo da, izan ere, bere buruarekin konbinatzean, identitatea ematen baitu. Orduan, lehenengo biraketari dagokion lehen simetria eta azkeneko biraketari dagokion bigarren simetria geldituko dira. Bi zuzen horiekebakitzen dute elkar eta eratzen duten angeluakbalio du,triangelukoerpineko kanpoangelua delako eta horren ondorioz beste bi barneangeluenetabatura balio duelako.

Beraz, bi biraketa horien konposizioa, beste biraketa bat izango da,simetrien ebaki puntua zentrotzat duena etaangeluduna.

Simetriaren konposizioa traslazioz edo biraketaz.

Traslazioz edo biraketaz egindako simetriaren kasuan, azken irudiak, hasierakoaren aurkako orientazioa izan behar du. Simetria berriren bat ere izan daiteke, baina orokorki, alderantzizko higidura berria izan ohi da, lerradura. Lerradura, simetria baten eta simetria ardatzarekiko paraleloa den traslazio baten konposizioa da :Eraldaketa hau ezin daiteke simetria bat izan, izan ere, eraldaketaren irudia lekualdatuta baitago. A eta- ren erdibitzailea, B eta- aren edo C eta

Frisoak eta mosaikoak.

Frisoak

Frisoa edo zerrenda modulua d eta norabidea frisoarena bera dituen bektore baten arabera lekualdatuz doan marrazki bat da. Marrazkia printzipioz, bi norantzetan errepikatzen da mugagabe, baina izatez frisoa kokatuta dagoen lekuak berak mugatu ohi du haren luzera.Frisoak oso maiz azaltzen dira arkitekturan eta baita barne apaindura, paper pintatu, alikatatu edo oihaletan ere.Horrela egiten diren marrazkiak, sortzen dituen bektorearen luzeraren eta norabidearen araberakoak dira. Errepikatzen den oinarrizko marrazkia berriz, marrazki erraz eta soilago batean oinarrituta egin ohi da. Frisoak oinarrizko irudia lortzeko elementu sortzaileari egiten zaizkion eraldaketen arabera sailkatzen dira :- Traslazio frisoak, oinarrizko marrazkia bakarrik dauka lekualdatua.- Simetria horizontala duen frisoak, irudi soil batez eta bere simetria horizontalaren araberako irudi simetrikoaz osatua du oinarrizko marrazkia, hots, traslazio bektorearekiko paraleloan.- Traslazioak eta simetria bertikala dituen frisoak, elementu sortzaile bati simetria bertikala aplikatuta lortutako oinarrizko irudia du.- Lerraduradun traslazio frisoak, marrazki soila den oinarrizko irudia eta simetria horizontal baten eta traslazio baten emaitza ditu, hau da, bere lerradurarena hain zuzen ere.- Traslazioak eta simetria zentrala dituen frisoa berriz, oinarrizko irudia marrazki sortzailez eratua izan eta 1800 biratzean berarengandik lortzen dena da.- Biraketa eta lerradurak dituen traslazio frisoa. Irudi elementalari simetria bertikala aplikatzen zaio eta emaitzari lerradura, edota 180°-ko biraketa, kasu honetan gauza bera da eta.

- Friso osoa berriz marrazki elementaletik lortzen da simetria horizontal bat eta simetria bertikal bat edo biraketa bat eta simetria horizontal bat aplikatuz.

Mosaikoak

Irudi batean oinarritu eta plano osoa bete arte errepikatuz egiten dira.

Mosaiko batek, ongi egina izango bada, ez du hutsune librerik utzi behar ez eta irudi bat beste baten gainean jarrita eduki ere. Oinarrizko irudia, errepikatuz mosaikoa sortzen duena, poligono erregularra izan daiteke ala ez. Halaber, hutsunerik utzi gabe eta zatiak bata bestearen gainean jarri gabe perimetroa aldatu zaion poligono erregularra ere izan daiteke.Mosaiko erregularrak, oinarrizko irudi gisa poligono erregularra dutenak dira. Hiru poligono bakarrik izan daitezke mosaikoaren oinarri, trianelu aldekidea, karratua eta hexagono erre g ularra. Hain zuzen ere, erpin batean elkartzen diren poligonoen angeluek, 360°-ko batura eman behar dute inolako hutsunerik eta gainjartzerik izan ez dadin. Hori, sei triangelu aldekiderekin, 6x60° = 360°, lau karraturekin 4x90° = 360°, edo hiru hexagonorekin, 3x1200 = 360° lortzen da.Baina pentagonoa adibidez, ezin daiteke izan mosaiko baten oinarrizko irudi, izan ere barne-angelua 108° baita eta 3x108° = 324° da eta 4x108° = 432°. Hiru pentagonorekin ez da betetzen erpina eta laurekin berriz pasa egiten da edo gainjarri egiten dira.Baldosa pentagonalek ez dute betetzen planoa osorik eta zehatz.Poligono erregular horietan, mosaikoaren oinarrizko irudia lortzeko, 90° eta 180°-ko biraketak konbina daitezke, simetriekin eta ertzetako irudi aldaketekin, horrela, bi norabidetako traslazio bidez baino erakargarriagoak diren oinarrizko irudiak lortzeko. Planoa bete arte errepikatzen da oinarrizko irudia.Mosaiko erdierregularrakMosaiko erdierregularrak, ondorengo baldintzak betetzen dituzten bi poligono erregularrez eratuta daude :Erpin guztietan, poligono berberak eta ordena berean daude.

Poligono erregular guztiek alde berdina dute.Mosaiko erdierregularretan, triangelu aldekideak, karratuak,hexagonoak, oktogonoak edo dodekagonoak izan daitezke. Erpin bakoitzeko, 360° izan behar du angeluen baturak, poligono erregularretan bezala, eta horrek, 8 konbinazio baizik ez ditu uzten posible.Mosaiko erregularretan bezala, alde, irudi eta koloreekin era askotara joka daiteke, era askotako mosaiko ugari lortzeko.Mosaikoak batez ere arabiar kulturan loratu dira, izan ere, kultura horretan ez baita zilegi erlijio eraikinetan giza irudia irudikatzea. Arabiar mosaikoen artean, sonatuak dira Nazari garaiko Granadakoak eta horien artean bereziki Alhambrakoak. Alhambrako mosaikoen hiru irudi petu, petalo, hezur eta paper txori deituak dira, irudi karratu edo triangeluarretatik lortuak.

Irudi bat aldatzen ez duten eraldaketak.

Irudi lau erregularrenak aldagabeak dira, baldin eta eraldaketa geometriko batzuek egiten bazaizkie. Adibidez, zirkunferentzia bat ez da aldatzen diametro batekiko irudi simetrikoa egiten bazaio edota bere zentroaren inguruan edozein biraketa egiten bazaio. Kasu honetan, zirkunferentzia bat aldatzen ez uzten duten eraldaketen kopurua, infinitua da. Poligonoa baldin bada berriz, eraldaketak finituak eta mugatuak dira. Adibidez, triangelu aldekidea, honako hauek bihurtzen dute aldagabe :Hiru ardatz simetriek, aldeen hiru erdibitzaileek.Triangeluaren zentroa zentrotzat duten hiru biraketek : 0°, 120° eta 240°-koek alegia.Hala ere ordea, ez du simetria zentrorik.Karratua aldagabea da honako kasu hauetan :- Lau ardatzekiko simetrien kasuetan: bi diagonalen kasuan eta aldeen bi erdibitzaileenean.- Karratuaren zentroan zentro duten lau biraketetan : 0°, 90°, 180° eta 270°-ko angeludunetan.180°-ko biraketarekin simetrikoa denez, karratuaren zentroa, bere simetrien zentro da. Eta horrela jarrai daiteke beste poligono batzuekin ere.Irudi bat aldatzen ez duten bi eraldaketa konposatzen badira, aldagabe uzten duen beste eraldaketa bat lortzen da. Bestela esanda, eraldaketen konposizioa, eragiketa itxia da irudi bat aldagabe uzten duten eraldaketen multzoarentzat. Bestalde, identitateak edozein irudi uzten du aldagabe eta higidura batek aldagabe uzten badu, bere alderantzizkoak ere bai. Era horretan, eraldaketen multzo finituak edo mugatuak lortzen dira.ABCD karratua aldagabe uzten duten eraldaketen konposizioa, ondoko taulan dago laburtuta. Lehenengo eraldaketa, lerroetan doana da eta bigarrena zutabeetan, hots, i errenkadaren eta j zutabearen gurutzaduran,, dago. Taulan, r,s,t,u erabili dira diagonalen araberako aldeen erdibitzaileen simetrientzat,edoerabili ordez eta horrela emaitzak irakurterrazagoak dira.

VI. Homoteziak. Antzekotasun multzoak.

O zentrodun eta k arrazoidun (k zero ez dela) homotezia, planoko edozein P punturi bestepuntu bat egoki arazten dion eraldaketa daizanez.Homotezia bat zehazteko, haren zentroa eta arrazoia jakin behar dira. Horregatik, P puntuabilakarazten duen homotezia, era honetan adieraziko da :Homotezia bat duen AB zuzenkia,zuzenki bihurtzen da.

Homoteziaren definizioz,da. O angelua komuna denez, OAB etaantzekoak dira bi alde proportzional eta aldeen arteko angelua berdina dituztelako. Horren ondorioz,zuzenkia, AB zuzenkiaren eraldatua, honekiko paralelo a da eta BC zuzenkia berrizzuzenkiarekiko paraleloa. Beraz,angelua =Homotezian beraz, angeluek iraun egiten dute aldeak paraleloak direlako.1 arrazoidun simetria, identitatea da, izan ere, puntu baten eraldatua, puntua berbera baita. -1 arrazoidun homotezia, simetria zentrala da edota O zentrodun eta 1800-ko angeludun biraketa.Arrazoi negatibodun homoteziarekin, irudi eraldatua, homotezia zentroaz beste (aurkako) aldera igarotzen da.

Ekuazioak:

Homoteziaren O zentroa, koordenatu ardatzen jatorri puntua baldin bada, ekuazioa honako hau da :edota matrize bidez azalduta :Homoteziaren zentroa koordenatu ardatzenjatorri puntua ez bada, aurreko ekuazioak, matrize honetara bihurtzen dira :

Konposizioa :

Zentroa berbera baldin bada,homoteziek multzoa osatzen dute. Unitatea,da eta- ren alderantzizkoada. Alderantzizkoa beti dago, izan ere, k ezin baitaiteke 0 izan.

Orokorki,da,denean salbu, izan ere, kasu horretan, traslazioa baita.zentroak lerrokatuta egon behar du O eta

- Ariketak

15.- Kalkula ezazu 0(1,1) zentrodun eta k=2 arrazoidun homoteziak eragindako P(3,2) puntuaren eraldatua.16.- Kalkula ezazu aurreko ariketako homoteziak eragindako x+3y=5 zuzenaren eraldatua.17.- Kalkula ezazu aurreko ariketako homoteziak eragindakozuzenaren eraldatua.18.- Froga ezazu matrize bidez

VII. Alderanzketak

Planoko O puntua emanda etaden zenbaki bat, alderanzketa izena ematen zaio planoko A puntu bakoitzari, A puntu horrekin lerrokatuta dagoen etaegiten duen bestepuntu bat egoki arazten dion eraldaketari.betetzen duten P puntuak, puntu aldagabeak dira, hots, puntu eraldatua jatorrizko puntu berbera da. Ardatz simetrian simetria ardatzaren zuzena bazen aldagabe irauten zuena, hemen zirkunferentzia bat da eta horregatik deitu ohi zaio alderanzketari simetria zirkularra edo zirkulu simetria.Alderanzketa bat ongi finkatuta dago, zentroa etaezagutzen badira, edota zentroa eta puntu aldagaben zirkunferentzia ezagutzen badira. Zirkunferentziaren barneko A puntuak, zirkunferentziaz kanpokopuntua du iruditzat eta alderantziz, zirkunferentziaz kanpoko puntu batek barruan du bere irudia. O jatorri puntuak, berez ez du irudirik, izan ere,da etaekuazioak ez du emaitzarik. Baina A puntua jatorri punturantz hurbiltzen bada, OA distantzia txikiago bihurtzen da etageroz eta handiago bihurtu behar du biderkadura konstante iraunarazteko.

Horregatik da erosoa jatorri puntuaren irudia infinituko puntua dela esatea.Alderanzketa inboluzio bat da : Baldin etaalderanzketa batek sortutako P-ren eraldatua bada, P, P'-arena da. Eraldatuaren eraldatua, jatorrizkoa da.Alderanzketa, ez distantziak ez eta irudiak edo formak ere gordetzen ez dituen eraldaketa da, baina angeluak bai gordetzen ditu, beren orientazioa aldatu arren. Alderanzketaren cartesiar ekuazioak ez dira errazak ; horregatik haien ezaugarriak aipatuko dira, baina ez dira erabiliko.Alderanzketa batean zuzenek eta zirkunferentziek izandako eraldaketak, kokaeraren araberakoak dira :- Alderanzketaren zentrotik igarotzen diren zuzenak, beren buru bihurtzen dira. A etapuntuek, O jatorri puntuarekin lerrokatuta egon behar dutenez, A etazuzen berberean daude, beraz, eraldatzen diren puntuak zuzen batean badaude, haien eraldatuak zuzen berberean egongo dira. Zuzena aldagabea da, nahiz eta puntu bikoitzak edo aldagabeakbetetzen duten bi puntuak bakarrik izan.- Zentrotik igarotzen ez diren zuzenak, zentrotik igarotzen diren zirkunferentzia bihurtzen dira.Bedi O alderanzketaren zentroa. P puntua, jatorri puntutik igarotzen ez den r zuzenean dagoena,bihurtzen da. O-tik, r-ri buruz zuta den zuzena marrazten da,. Zuzen horrek, r, M puntuan ebakitzen du. M-ren alderantzizko puntua bilatzen da eta demagundela. Alderanzketaren definizioz, hau betetzen da :Eta hortik lortzen da. Bestalde,etaberdinak dira bat datozelako, beraz, OPM triangelua etaantzekoak dira. Horren ondorioz,angelua,angeluaren berdina da.angeluak ordea, 900 balio du eraikuntzaz, beraz,angeluak ere 90° balio du, alderanztutako r zuzenaren P puntua edozein delarik ere.angeluak 90° balio izateko puntuek ordea,angeluaren arku kapaza eratzen dute 90°-ko angeluarekin,diametrodun zirkunferentzia hain zuzen ere. Beraz, alderanzketa batean, jatorri puntutik igarotzen ez den zuzen batek, jatorri puntutik igarotzen den zirkunferentzia du iruditzat.

- Jatorri puntutik igarotzen diren zirkunferentziek, jatorri puntutik igarotzen ez diren zuzenak dituzte iruditzat. Esandakoaren ondorio zuzena da eta baita alderanzketa inboluzio erako eraldaketa izatea ere. Beraz, irudi eraldatuak, kasu honetan jatorri puntutik igarotzen den zirkunferentziak, berriro eraldatzen bada, hasierako irudia ematen du, jatorri puntutik igarotzen ez den zuzena alegia.- Jatorri puntutik igarotzen ez diren zirkunferentziak jatorri puntutik igarotzen diren zirkunferentzia bihurtzen dira.Demagun c zirkunferentzia dugula eta alderanzketa zentroak zirkunferentzia horrekiko duen potentzia,dela. c zirkunferentziako A eta B puntuak hartzen dira (bi edozein), baina O-rekin lerrokatuta daudenak. Beren eraldatuaketadira eta hau betetzen da :Bestalde, zirkunferentziaren potentziadelako, hau betetzen da :Lehenengo berdintzak bigarren honekin zatituta, hau dugu :Beraz,Hori, begiratzen ari garen A eta B puntuekiko zerikusirik gabe.

Hori ordea, arrazoiaeta zentrotzat alderanzketa zentroa duen homoteziaren ekuazioa da.Orduan, alderanzketa zentrotik igarotzen ez den zirkunferentziaren alderantzizko irudia berarekiko homotetikoa den zirkunferentzia da, zentrotzat alderanzketakoa eta arrazoiadituen homotezian,alderanzketa arrazoia dela etazentroak lehen zirkunferentziarekiko duen potentzia.Kasu partikular moduan zera aipatu behar da, alegia, berekiko potentziadela betetzen duten zirkunferentzia guztiak, zirkunferentzia bikoitzak direla, izan ere, 1 arrazoia duten homotezia baitagokie.Azken zirkunferentzia eraldaketa honetan, alderanzketaren beste bi ezaugarri ikusten dira. Jatorrizko zirkunferentziaren puntuak A- tik B-ra badoaz, alderantzizkoarenakdoaz. Hau da, alderanzketak aldatu egiten du irudien orientazioa, ez da beraz zuzeneko higidura. Bestalde, zirkunferentziaren A puntuko ukitzaileak koordenatuen jatorri puntutik igarotzen den zuzenarekiko eratzen duen angelua, zuzen horrek- eko ukitzailearekin eratzen duenaren berdina da, zeren, homotezia batean bere irudia baita. Angelu hori aldi berean,- ean eratzen denaren berdina da, korda beraren muturrak dira eta. Beraz, A-n eratutako angelua eta- ean eratutakoa berdinak dira, orientazioa aldatua badute ere.Emaitza hori, bi kurbak, edozeintzuk, eratutako angeluaren eta beren eraldatuek eratzen dutenaren arlora pasa eta orokortu daiteke : Alderanzketa, angeluak gordetzen dituen eraldaketa da. Angeluak gordetzen dituzten eraldaketa hauei, forma edo eitea gordetzen duten eraldaketak deitzen zaie.

- Ariketak

19. Zentrotzat jatorri puntua etaekuaziodun puntu bikoiztun zirkunferentziaren alderanzketa batean, kalkulatu :a) P(0,1) puntuaren alderantzizkoa.b) y = 6 zuzenaren alderantzizkoa.20. Zentrotzat jatorri puntua duen alderanzketa batean, A(1,2) etapuntuak homologoak dira. Kalkula itzazu alderanzketaren potentzia eta autoalderanzketaren zirkunferentzia.2 1. Erradioa 2 duen zirkulu batean inskribatutako triangelu aldekidea emanda, zentroa triangelu aldekidearena eta arrazoia 4 duen alderanzketa egiten bada, kalkula itzazu aldeen (zuzen) eraldatuak.22. Peaucellier-en alderanzketa tresnak, OB eta OC zuzenki giltzatu berdinak ditu, eta horiei elkartuta beste lau zuzenkierronboa eratuz eta hori ere giltzaturik B,C,A etapuntuetan. Zuzenkiak zurrunak badira eta O puntua plano batean finkatzen bada, froga ezazu, alegia,-ak irudi bat deskribatzen badu, A'-ak haren alderantzizkoa deskribatzen duela.(Kasu partikular moduan, Peaucellier-en alderanzketak, higidura zuzenak higidura zirkular bihurtzeko edota alderantzizkoa lortzeko balio du).

VIII. Proiekzioa

P puntuak r zuzenean duen proiekzio ortogonala deitzen zaio (orokorki d norabide jakin batekiko paraleloa den proiekzioa) P-tik igaro eta eta r zuzenari buruz zuta den zuzenak (d norabideko zuzenak orokorki) r zuzenarekin duenebaki puntuari.Proiekzioa ez da higidura, ez eta planoko puntuak beren buru bihurtzeko egindako eraldaketa ere. Proiekzioa planoko puntuetatik zuzenera egindako aplikazioa da.Proiekzioa ezaugarritu eta mota desberdinen artean desberdintzen duten elementuak honako hauek dira : r zuzena eta d proiekzio norabidea.Ekuazioak ardatz cartesiarretan.Proiekzioa egin nahi den zuzena, jatorri puntutik igarotzen dela suposatu da : y = mxZuzenaren norabideko bektore unitarioa,da, m=tga malda duela.eta matrize moduan jarrita :

Traslazioak, biraketak, simetriak, hormoteziak, alderanzketak eta proiekzioak

Emaitzak :

zentroa (-1,4) izatera igarotzen da eta erradioak r=3 jarraitzen du, edota ordezkatuta ,22.zuzena, COB angeluaren erdibitzailea da.eta CB marrazten dira eta M puntuan elkar ebakitzen dute perpendikular,erronboa delako.OMB triangelua, angeluzuzena da M-n, beraz,da.triangeluan,Goian MB ordezkatuz eta sinplifikatuta, ondorengoa gelditzen da :konstantea, beraz, A eta A' alderantzizkoak dira.