Matematika»Geometria

Planoa Geometria Analitikoan

Bektore espazioaren egitura, geometrian erabiltzen da, baina baita ekuazioen ebazpenean, funtzioen teorian eta matematikako beste eremu batzuetan ere. Metodoak antzekoak diren arren, erabilitzen diren bektore espazioaren dimentsioak desberdinak dira erabilpen mota batetik bestera. Geometrian, dimentsio bakarreko bektore espazioarekin erlazionatzen da zuzena, planoa berriz bi dimentsiokoarekin eta espazioa hirukoarekin. Lau dimentsio edo gehiagoko espazioaren senezko geometria ikuspegidun interpretazioak, bistakoa ez dirudien arren, egitura horrek aukera ematen du plano edo espazio arruntean aurkitutako edozein dimentsio kopuruko geometria espazioak orokortzeko. Kapitulu honetan, bi dimentsioko bektore espazioaren laguntzaz, planoko ariketak eta arazoak nola ebazten diren aztertuko dugu.

I. Erreferentzia sistema. Kokapen bektorea eta puntuaren koordenatuak.

Jatorri puntu deritzon O puntuaz eta bektore espazioko oinarri direnetabektore bikote batek eratutako multzoari, planoaren erreferentzia sistema deritzo.erreferentzia sistema hori emanik, planoko P puntu bakoitzari bektore bat dagokio, puntuaren kokapen bektor e deitua, eta bektore hori jatorri puntua P puntuarekin lotzen duenbektorea da. Emandako oinarrian, orokorki ondoko hau betetzen da :Era horretan, erreferentzia bat izanda, planoko puntu bakoitzari, alde batetik bektore aske bat egoki arazten zaio, ordezkariduena, eta bestalde, zenbaki bikote bat, emandako oinarrian bere koordenatu direnalegia.Geometria analitikoan, erreferentzia sistema ona edukitzeak, izugarri laguntzen du problemak eta ariketak ebazten, izan ere, geroagoko aljebrako kalkuluak asko sinplifika baititzake. Bektoreek bateko modulua duten oinarriari, ortogonala deitzen zaio eta elkarri buruz zutak baldin badira berriz, normala. Oinarririk erabiliena, ortonormala da, hau da, bektoreek bateko oinarria dutena eta elkarri buruz zutak direna,joateko biraketa norantza positiboa edota erloju orratzen aurkakoa duena.Jatorri puntutik igaroz oinarriko bektoreetako baten norabidea duen zuzenari koordenatu ardatz deitzen zaio.Edozein erreferentzia sistemak ere, planoko puntu bakoitza, bere koordenatuak diren bi zenbaki errealekin erlazionatzen du. Puntuaren koordenatuak edota puntuari dagokion OA kokapen bektorea emanda, A puntua erabat zehaztuta dago.Oinarriko bektoreen koordenatuak, (1,0) eta (0,1) dira eta oinarria ortonormala baldin bada, bi bektorerenetabiderkadura eskalarraren adierazpena honako hau da :Adibidez,oinarri ortonormala badugu eta OA(1,2) eta OB(3,4) bektoreak, biderkadura eskalarra, ondorengoa izango litzateke :Koordenatu horiek beste oinarri bati balegozkio,oinarriari adibidez, eta oinarri berri honetako bektoreak 2 modul udunak balira eta elkarren artean 60°-ko angelua eratuko balute,etabektoreen biderkadura ondoko hau izango litzateke :

I I. Bi puntu elkartzen dituen bektorea.

Zuzenki baten zatiketa hainbat zatitan.

etapuntuak emanik,bektorea lor daiteke ondorengoa kontuan hartuta :Hau da :Beraz, bere koordenatuak, hauek izango dira :Adibidez,oinarrian, A(2,1) eta B(3,0) koordenatuak dituzten puntuak lotzen dituen bektorea, (1, -1) bektorea da.

Zuzenki baten erdiko puntua.

etapuntuak emanik, biak elkartzen dituen zuzenkiaren erdik puntua jakitea, berekoordenatuak edota berekokapen bektorea jakitea da. Bi bektoreren batura definitzeko geroago ikusiko den paralelogramoaren araua kontuan hartuta, AB zuzenkiaren erdiko puntua,etabatzeko eratutako paralelogramoaren erdi erdian aurkitzen da, beraz :Koordenatuetan jarrita :Adibidez, A(1,2) eta B(3,4) puntuen erdiko puntua :Zuzenki bat hiru zatitan, lautan edo gehiagotan zatitzen duten puntuak aurkitu nahi badira, aurreko metodoa ezin daiteke erabili.zuzenkia hiru zati berdinetan zatitu nahi baldin bada,bektorea aurkitu eta hiru zatitan zatitzen da ondoko bektore hauek kalkulatuz :etaZuzenkia hiru zati berdinetan zatitzen duten kokapen bektoreak edotaetapuntuen koordenatuak jakiteko, honela egiten da :Koordenatutan jarrita :Adibidez, zatitu hiru zatitan A(3,1) eta B(6,3) muturrak dituen zuzenkia :Beraz,AB zuzenkia k zati berdinetan zatitu nahi baldin bada, erraz orokortzen da aurreko formula. AB zuzenkia k zatitan zatitzen duten k- 1 puntuak, ondoko adierazpenean m-ri balioak emanez lortzen dira :k = m denean, adierazpen horrek

Hiru puntu lerrokatu.

Hiru puntu, edozein, ordenatuta baldin badaude, lehenengoa eta bigarrena elkartzen dituen bektoreak, eskalar batez (zenbaki batez) biderkatuta, lehenengoa hirugarrenarekin elkartzen duen bektorea eman behar du.Baina,etadirenez,koordenatuetan, ondorengoa ateratzen da :eta hortik, zera ateratzen da, alegia, A,B eta C lerrokatuta daudela ondorengoa betez gero :Adibidez, A(1,3), B(5,1) eta C(-1,-1) puntuak lerrokatuta dauden ala ez jakin nahi baldin badugu, honako hau egiten da :Beraz, ez daude lerrokatuta.A(4,1), B(1,3) eta C(-2,5) puntuak lerrokatuta dauden ala ez jakin nahi baldin badugu :Beraz, lerrokatuta daude.

0 Ariketak

1. Aurki itzazu A(3,-1) eta B(-2,2) puntuak elkartzen dituenbektorearen koordenatuak.2. Kalkula itzazu A(1,3) eta B(5,5) puntuak muturtzat dituen zuzenkia lau zati berdinetan zatitzen dituzten puntuen koordenatuak.3. Esazu ea ondorengo puntuak lerrokatuta dauden :

I I I. Zuzenaren ekuazioa.

Emandako A eta B puntuekin lerrokatuta dagoen C puntuak, ondorengoa betetzen du :Eta alderantziz, berdintza hori betetzen duten X puntuak, A eta B puntuekin lerrokatuta daude eta ondorengo ekuazioa betetzen dute :Ekuazio honek, hain zuzen ere, zuzenaren ekuazioan ematen den moduetako lehenengoa ematera garamatza :

Bektore ekuazioa.

Zuzen baten A puntu bat eta norabidea baldin badakizkigu, zuzena zeharo zehaztuta dago. Geometria analitikoan, norabidea emateko modurik errazena, norabide hori duen bektorea ematea da. D bektore horri zuzenaren norabide bektore deritzo.Demagun puntuadela eta norabideabektoreak etmaten duela. P(x,y) puntua zuzenekoa bada,.dizan beharko du, hots,norabide bektorearen norabidean egon behar du.Ekuazio hori, edozein oinarritan hartuta, hau da :Forma edo eite horri, zuzenaren bektore ekuazio deitzen zaio.Adibidez, A(1,2) puntutik igaro eta d(-1,3) norabide bektoretzat duen zuzenaren ekuazioa hau da :B(-3, l) puntutik igaro eta e z oinarri bektorearekiko paraleloa den zuzenak bektore ekuazio hau du :Hau da :

Parametro ekuazioa.

Aurreko bektore ekuazioa, oinarriaren bi bektoreen arabera bi ekuazio eskalar desberdinetan deskonposatzen bada, hau ateratzen da:Ekuazio horiei parametro ekuazio deritze, izan ere, bistan uzten baitute puntu baten koordenatuen balioak t parametroak dituen balioen baitan daudela. Balio horri parametro deitzen zaio eta hautazko balioak eman diezazkiokeen finkatu gabeko kopurua izan ohi da. Parametroa ez da ezezagun bat, zuzenaren ekuazioa betetzen duten puntu infinituak multzoan adierazteko modua baizik.Adibidez, lehen bektore ekuazio bidez ikusitako A(1,2) puntutik igarotzen den etanorabide bektorea duen zuzenaren ekuazioak, hau du bektore ekuazioa :B(1,-1) puntutik igaro eta e2 oinarriaren bektorearekiko paraleloa den zuzenak parametro ekuazio hau du :

Ekuazio jarraia.

Puntu desberdinak parametro bati balioak emanez lortu nahi ez badira eta nahiago baldin bada zuzenaren puntuek bete behar duten baldintzaren bat edukitzea, parametroa deuseztatu eta x eta y ezezagunak dituen ekuazio bakarra ateratzen da :Bi ekuazioetan t-ren balioak berdinduz, ondokoa ateratzen da :Eta horri zuzenaren ekuazio deritzo.Adibidez, A(2,1) puntutik igaro etanorabide-bektoreduen zuzenaren ekuazio jarraia hau da :B(3,-2) puntutik igaro etanorabide-bektoretzat duen zuzenarena berriz :

Ekuazio inplizitua.

Ekuazio jarraia sinplifikatuz gero, x eta y gaiak gai askearen ondoan eta alde berean jarrita, dena zerori berdinduta, ekuazio inplizitua ateratzen da. Hori noski, zuzenaren ekuazioa lehen mailako bi ezezaguneko ekuazioek duten itxuraren arabera idaztea bezala da.

Hauek dira horretarako eman beharreko urratsak :Zuzen baten ekuazioaren itxura orokorra hau da:Aljebrako ekuazioen itxura orokor berbera izatea, horixe da ekuazio itxura horren abantaila. Eragozpena berriz, hor norabide bektorea lortzea ez dela hain erraza. Eragiketarik egin gabe norabide bektorea lortu nahi baldin bada, aurreko kalkuluetatik eta x eta y ren koefizienteak nola atera diren ikusita, norabide bektorea honako hau da : d(-B,A).Adibidez, D(3,1) puntutik igaro etanorabide bektoretzat duen zuzenaren ekuazio inplizitua hau izango da :Eragiketak eginda :Norabide bektorearen osagaietatik eta koefizienteen arteko erlaziotik nahiz 5x -2y + C = 0 ekuazio inplizitutik abia daiteke.x = 3 eta y = 1 balioak ekuazioaren emaitza dira, beraz,Orduan,C=-13eta emaitza berberera iritsi gara.

Ekuazio esplizitua.

Ekuazio bat funtzio baten adierazpen analitiko moduan uler daiteke . y aldagaia alde batean aske baldin badago, funtzioa esplizituki edo askatuta emanda dagoela esaten da. Aurreko kasuan ekuazioa era inplizituan zegoen, izan ere, ekuazio berean x eta y ezezagunak baitzeuden askatu gabe. y askatuta, zuzenaren ekuazio esplizitua edo askea ateratzen da :m konstanteari zuzenaren malda deritzo, izan ere, m-k, x unitate bat handitzen edo txikitzen denean y handitzen edo txikitzen dena adierazten baitu. Zuzenaren definizioaren arabera, kopuru hori konstantea da, izan ere, zuzenek ez baitute norabidez aldatzen.

Malda horrek erlazioa du zuzenaren zeihartasunak edo inklinazioak lehenengo ardatzarekiko edo ardatz horizontal edo x ardatzarekiko eratzen duen angeluarekin, eta ardatzak ortonormalak badira, m = tga da, beti ere, a zuzenak x ardatzaren edo abzisa ardatzaren norantza positiboarekin eratzen duen angelua izanik ; angelu horri, zuzenaren zeihartasun angelu edo inklinazio angelu deitzen zaio.y = x - 3 ekuazioan adibidez,malda 1 baliokoa duen zuzena da, hau da, x ardatzarekiko zuzenak duen zeihartasuna 45 °-koa da.y = -2x -2 ekuaziodun zuzenean, a = 116º 33´-koa da.Ekuazio esplizitua edo askea da lortzen errazena zuzenaren maldaren balioa jakinez gero. h balioa, x zero egiten duenean y-k duen balioa da eta zuzenak jatorrian duen ordenatua deritzo.

Ekuazio jarraia, ezin daiteke erabili norabide bektorea ardatzetako batekiko paraleloa denean. Hain zuzen ere, norabide bektorean osagaietakoren bat hutsala baldin bada, ez da bere balioaz zatitzerik izango.

Adibidez, demagundela. Orduan:Eta hori aljebra arloan ez da zuzena, izan ere zeroaz ezin baita zatitu. Halere, adierazita uzten da n orabide bektoreak ezagunak izan daitezen, edota, idazten da. d-bigarren osagaia zero bihurtzen bada berriz,gelditzen da.. = a edota y = b adierazpenak izango lirateke ekuazio esplizituak edo askeak kasu arazotsu eta berezi hauetan. Halere,, ez da funtzio baten ekuazioa, beraz, kasu honetan ere, zorrotz hitz eginda, ez litzateke ekuazio eite espliziturik edo askerik izango.

- Ariketak

4. Kalkula ezazu A(2, 1) puntutik igaro eta d(-1,2) norabide bektorea duen zuzenaren ekuazioa, baina ondoko modu desberdin hauetan : a) bektore ekuazioa b) parametro ekuazioa c) ekuazio jarraia d) ekuazio inplizitua e) ekuazio esplizitua edo askea.5. Kalkulatu B(1,-1) puntutik igaro etanorabide bektorearekiko paraleloa den zuzenaren ekuazioa ondorengo modu hauetan :a) bektore ekuazioa b) parametro ekuazioac) ekuazio jarraia d) ekuazio inplizituae) ekuazio esplizitua edo askea.6. Kalkula ezazu jatorri puntutik igaroz

IV. Zuzenaren eta puntuaren arteko erlazioa.

Puntu bat beti ere zuzen batekoa da bere ekuazioak betetzen baditu . Hori egiaztatzeko modua ordea, zuzenaren ekuazioa emanda datorren eraren baitakoa da.Zuzenaren ekuazioa bektore ekuazio moduan edota parametro ekuazio gisa emanda baldin badago, puntua zuzenekoa izango da baldin eta t parametroaren balioren batek zuzenaren ekuazioa betetzen badu edo ekuazioak betetzen baditu. Gainerako moduentzat, puntua zuzenekoa izango da baldin eta ekuazioko x eta y puntuaren koordenatu balioez ordezkatzean ekuazioa identitate bihurtzen bada. Berdintza faltsua edo hobeto esanda, desberdintza ematen badu, puntua ez da zuzenekoa izango.Adibidez, jakizu P(0,1) puntua honako ekuazio hauek dituen zuzenekoa den :t = -1 balioak x = 0 ematen duela ikusten da. Bigarren ekuazioan t = -1 balioaz ordezkatuz, y = 1 ematen du, beraz, P, r zuzenekoa da.

Hala ere ordea, Q(1,2) puntua ez da zuzen horretakoa, izan ere, x = 1 balioa, t = -1 /2 ematen baitu parametroarentzat eta balio horrekin y = 5/2 da eta ez 2, beraz, Q ez dago r zuzenean.R(3,-2) puntua 2x + y - 4 = 0 ekuaziodun s zuzenekoa den ala ez jakiteko, x, 3 balioaz ordezkatzen da, eta y, -2 balioaz. Orduan : 2.3+(-2)-4 = 0. Eragiketak eginez, 0 = 0 gelditzen da, beraz, egia da, eta R puntua s zuzenekoa da. S(2,1) puntua hala den jakiteko, x, 2 balioaz ordezkatuko dugu, eta y, 1 balioaz. Orduan, 2.2+1 -4 = 0 gelditzen da eta 1 = 0 ematen du. Hori ez da egia, beraz, S puntua ez da s zuzenekoa.Zuzenaren ekuazioa emanda, zuzen horretako puntu bat jakin nahi baldin bada, nahikoa da parametroari balio bat ematea, bai bektore ekuazioa dugunean eta baita parametro ekuazioa duguneanere. Ekuazio jarraia, inplizitua edo esplizitua baldin badugu, osagaietako bati balio bat ematen zaio eta bestearen balioa kalkulatzen da. Esplizituarentzat beti ere hobe da x-en balioa finkatzea.Adibidez, ondoko ekuazio hau duen zuzeneko puntu bat jakiteko:

Bi puntutatik igarotzen den zuzena.

Bi puntuk zuzena zehazten dute, beraz, zuzenaren ekuazioa emateko beste modu bat zuzen horretakoak diren bi puntu ematea da.

Bitez, puntu horiek.Bektore ekuazioa, parametro ekuazioa edota ekuazio jarraia lortzeko,bektorea kalkulatzetik hastea da onena. Bektore hori zuzenaren norabide bektorea da :eta orduan horietako edozein zuzena igarotzen den puntutzat hartzen da. Adibidez, honako bektore ekuazio hau lortuko da :Kalkulatu A(3,1) eta B(2,2) puntuetatik igarotzen den zuzenaren bektore ekuazioa:Beraz, parametro ekuazioa :Itxura esplizitu edo askeko ekuazioa lortzeko, zuzenean kalkula daiteke puntuaren koordenatuak eta maldaren balioa erabiliz.

Zuzena-tik eta-tik igarotzen bada, bere malda honako hau izango du :Malda kalkulatu ondoren, ekuazioa zuzenean idatz daiteke era esplizituaren antzekoa den batean :Adibidez, C(1,2) eta D(0,5) puntuetatik igarotzen den zuzenaren ekuazio esplizitua, honako hau da :ekuazio, edota sinplifikatuta :ekuazioa.Puntuak koordenatu ardatzean baldin badaude, edota zuzen paraleloetan, malda ezin daiteke kalkulatu. Adibidez, (2,3) eta (2,-1) puntuetatik igarotzen den zuzenaren ekuazioa kalkulatuko balitz, balio hau izango luke maldak :

- Ariketak

7. Esazu ea P(-2,4) puntua ondoko zuzen hauetakoa den :8. Emaitzazu zuzen hauetako hiruna puntu :

V. Bi zuzenen arteko ekuazioa.

Bi zuzen bat etor daitezke, izan daitezke elkarren ebakitzaileak edota elkarrekiko paraleloak izan daitezke. Emandako bi zuzenen arteko kokapen erlatiboak zeintzuk diren aztertzeko erarik egokiena, beti ere, beren ekuazioak emanda dauden moduaren arabera aukeratu beharko da.a) Bi ekuazioak bektore eran, parametro eran edo era jarraian emanda baldin badaude, oso erraz jakiten da norabide bektoreak zeintzuk diren eta zein puntutatik igarotzen diren :Bedi, zuzena,norabide bektorea duena etapuntutik igarotzen dena eta halaber r2 zuzena, d2 norabide bektorea duena etapuntutik igarotzen dena. Hauetakoren bat gerta daiteke :, bada, zuzenak paraleloak edo bat datozenak dira ;puntu ezagunetako bat, edozein, hartzen da, adibidez,bada, orduan zuzenak bat datoz.A, e r,. ez bada, orduan zuzenak paraleloak izango dira.- d, 1Cd, bada, orduan zuzenak elkar ebakitzaileak dira.Adibidez, honako zuzenak emanda :Norabide bektoreak, t(3,-1) biderkatzen duena eta ekuazio Jarraiko (- 1, 1) izendatzailea dira. Bektore horiek ez dira proportzionalak, beraz, bi zuzenak elkar ebakitzaileak dira.Honako zuzen hauek izanda :(1,1) eta (2,2) norabide bektoreak proportzionalak dira hurrenez hurren, beraz, norabide berbera dute. r zuzenekoa den puntu bat, t = 0 balioarentzat (1,2) da. s zuzenaren ekuazioan ordezkatuta :, beraz, bi zuzenak paraleloak dira.b) Ekuazioak era esplizitu edo inplizituan emanda baldin badaude, bi ekuazio eta bi ezezagun dituen sistema moduan ezar daiteke.- Sistema bateragarria eta zehatza baldin bada, emaitza bakarra du, ebaki puntua hain zuzen. Bi zuzenak elkar ebakitzaileak dira.- Ekuazioak bateragarriak eta zehazgabeak baldin badira, emaitza kopuru infinitua du sistemak, eta bi zuzenak bat datoz.- Sistema bateragarria ez bada, emaitzarik ez dago eta bi zuzenak paraleloak dira.Eztabaida oso erraza eta argia da bi zuzenak ekuazio esplizitu edo askeen bitartez eman badira.baldin bada etazuzenak bat datoz.baldin bada etazuzenak paraleloak dira.baldin bada bi zuzenek elkar ebakitzen dute.

Adibidez,etaemanda,da, beraz, elkar ebakitzen dute.etaemanda,da eta, beraz, paraleloak dira.Ekuazioak era inplizituan emanda. Bitez ondorengo ekuazioak :bada, norabide bektoreak desberdinak dira eta bi zuzenek elkar ebakitzen dute.bada, norabide bektoreak proportzionalak dira.bada, bi ekuazioek ez dute emaitza komunik eta zuzenak paraleloak dira.

Adibidez, bitez:eta, orduan,da eta elkar ebakitzen dute.etaizandada, beraz, paraleloak dira.

Aurkitu ebaki puntua.

Geometria analitikoan, elkar ebakitzen duten bi zuzen emanda, ebaki puntua aurkitzea, ekuazio sistema bat ebaztea da.Ekuazioa era esplizituan, inplizituan edo jarraian emanak baldin badaude, bi ekuazio eta bi ezezagun dituen sistema da. Adibidez, kalkulatu ondorengo bi zuzen hauen ebaki puntua :zuzenena alegia.Hiru metodoetako edozeinen bitartez egin daiteke kalkulua.

Laburketa metodoz honela egin daiteke :Emaitzak : x = 1 eta y = 1.Ekuazioak era esplizituan emanda baldin badaude, adibidez, y = 3x + 2 eta y = 2x - 1, berdinketa bidezkoa da ebazteko modurik errazena :Ebazpena konplexuagoa da, baldin eta parametro edo bektoremoduan emanak baldin badaude. Bitez adibidez: r : (x,y) = (2, 1) +t(1,-1) etaLau ekuazioko sistema da lau ezezagunekin ; izan ere, bi parametroak, bi ezezagun desberdin dira. Parametroak kendu eta x eta y-ren arteko ekuazioak ebaztea da metodo bat.Eragiketak eginez eta sinplifikatuz, ondorengo sistema lortzen da :EmaitzaParametroekin jarraitu nahi baldin bada, ez da ahaztu behar, bi zuzenentzat puntu komuna dena, orokorki, t parametroak bakoitzean balio desberdinak izanda lortuko dela. Beraz, hobe da hasierahasieratik batari t eta bestearideitzea.

Bitez adibidez :x eta y berdinak izan behar dute ebaki puntuan bi zuzenentzat, baina parametroak ez du zertan bi ekuazio bikoteetan berdina izanik.. zuzenaren parametroarideituta eta x eta y ordezkatuta, honela gelditzen da :Sistema ebatzita, t=1 etaateratzen da. Hots, bi zuzenen ebaki puntua, x = 0 eta y = 1 da.

Puntu batetik igarotzen den zuzen batekiko paraleloa.

Puntu jakin batetik igarotzen den zuzen batekiko paraleloa den zuzenaren ekuazioa kalkulatzeko, zuzenaren norabidea kalkulatu behar da ; ekuazio hori emandako zuzenaren berbera du, izan ere, zuzen paralelo guztien sortak, norabide berbera baitu. Lerro paraleloaren ekuazioa zein motatakoa den, aurkitu behar den zuzenaren ekuazioa kalkulatzeko eman beharreko urratsak ere desberdinak izango dira.Zuzena bektore, parametro edo ekuazio jarrai moduan emana baldin badago, nahikoa da zuzena igarotzen den puntua aldatzea, eta ekuazioaren gainerakoa berdin utzi. Adibidez :a) (x,y) = (3, -4) + t(2,-5) zuzenarekiko paraleloa den eta (5,1) puntutik igarotzen den zuzenaren ekuazioa.Nahikoa da (3,-4) puntuaren koordenatuak (5,1) gatik aldatzea, hau da, emaitza zera da :Zuzenaren ekuazioa era inplizituan emanda baldin badago, ezezagunen koefizienteek norabide bektorearen koordenatuak ematen dituzte. Beraz, Ax + By + C = 0 erako ekuazioa duen zuzen baten paraleloa den eta P(a,b) puntutik igarotzen den zuzenaren ekuazioa lortu nahi baldin bada, lerro paralelo horrekitxura izango du.ren balioa, zuzena P puntutik igaro beharraren baldintza erabiliz kalkulatzen da. Honako hau bete behar du :eta hortikAdibidez,zuzenaren paraleloa izanik P(1,1) puntutik igaro behar duen zuzena,da eta P-ren koordenatuak sartuta,. Hortik,ateratzen da.

Beraz, emaitza honako hau da:Zuzena era esplizituan emanda baldin badator, lerro paraleloak ere malda berbera izan behar du, eta puntu jakin batetik igarotzeko baldintzak gai askearen balioa kalkulatzeko aukera ematen du.Zuzenaizanik, P(a,b) puntutik igarotzen den lerro paraleloaren ekuazioaizango da. Hortik,Adibidez, kalkulatu,ekuaziodun zuzenaren paraleloa izanik jatorri puntutik igarotzen den zuzenaren ekuazioa. Jatorri puntutik igaro behar duelako, x=0 denean y=O izan behar du, beraz,eta jatorri puntutik igarotzen den zuzen paraleloa

- Ariketak

13. Esazu ea paraleloak, ebakitzaileak edo bat datozenak diren ondoko zuzen bikoteak :14. Kalkulatu ondoko zuzen hauen ebaki puntuak :

VI. Neurri ariketak : angeluak eta distantziak.

etapuntuen arteko destantzia,bektorearen modulu edo normaren balioa da, hau da :Bektorearen normaren eitea, oinarri bektoreen araberakoa da.

Oinarria ortonormala baldin bada, distantziaren formula, Pitagorasen teorematik itxaro daitekeenera mugatzen da.Kasu bereizi moduan, bi puntuak bat baldin badatoz, distantziak 0 ematen du eta ardatzen baten paraleloa den zuzenen batean baldin badaude, honela gelditzen da :Adibidez : kalkulatuA(1,1) eta B(5,4) puntuen arteko distantzia, sistema orto nor malean emanda direla.Kalkulatu A(2,2) eta B(6,2) puntuen arteko distantzia.

Bi zuzenen arteko angelua.

Bi zuzenen arteko angelua kalkulatzeko erarik erosoena, ekuazioak emandako moduaren arabera aurkitu behar da. Bi zuzenen norabide bektoreak erraz jakiteko modua baldin badago, biderkadura eskalarren bidez angeluaren kosinua kalkula daiteke.

Bedizuzenanorabide bektorea duena eta bedizuzenanorabide bektorea duena.Hau betetzen da :oinarri ortonormala duela suposatuta.Hortik erraz atera daiteke biek eratzen duten angeluaren kosinua.

Bi zuzenek lau angelu eratzen dituzte gurutzatzean eta angelu horiek bizbitara hartuta berdinak dira. Kosinuarekin zuzenean lortzen den angeluaren balioa, hartu diren norabide bektoreen arabera, izan daiteke angelu zorrotzarena ala kamutsarena.

Adibidez,etazuzenen arteko angelua kalkulatzeko, errazki ikusten da, norabide bektoreaketadirela eta beren arteko angeluaren k osinua on dorengoa da :eta hortikateratzen da.Bi bektoreek norabide berbera baldin badute,da eta, beraz angeluakbalio du.Bi bektore horiek elkartzutak baldin badira, cosa = 0 izan behar du, hau da, elkartzutasun baldintza honako hau da :eta hauxe esan nahi du, alegia, bi zuzen elkartzutak baldin badira, horien norabide bektoreek ondorengoa betetzen dutela :Adibidez,zuzenak, elkartzutak dira, izan ere,betetzen baitute.Orokorki, emandako bektore bati buruz zuta den beste bat nahi baldin bada, emandako bektorea (a,b) izanda, bektore perpendikularra, (-b,a) da.Ekuazioa era inplizituan emanda baldin badago : Ax + By + C = 0, norabide bektore bat (-B,A) da, beraz, zuzenari buruz zuta den bektorea (A,B) da. Era inplizituan emandako bi zuzenen artean eratutako angelua kalkulatzeko, lehendabizi beren norabide bektoreak kalkulatzen dira.Bitezetaekuazioak. Beren arteko angelua kalkulatzeko beren norabide bektoreak kalkulaten dira :eta. Eratzen duten angeluaren kosinuaren balioa ondorengoa da:Beraz,da.norabide bektorea hartu izan bagenu, bi zuzenek elkarren artean eratzen duten beste angeluaren balioa aterako zatekeen, hots, betegarriarena :Ekuazioa era esplizituan emanda baldin badator : y = mx + h, zera idatz daiteke, mx - y + h = 0 eta norabide bektore bat (l,m) da.

Zuzenean ere egin daiteke ordea, m = tga erabiliz, bertan a zuzenaten zeihartasuna edo inklinazioa dela, edota bestela esanda, abzisa ardatzaren norantza positiboarekin eratzen duen angelua alegia. Era esplizituan emandako bi zuzenen arteko angelua kalkulatzeko, zera hartuko dugu kontuan, alegia, eratzen duten a angelua, bi zuzenek dituztenetazeihartasun angeluen arteko diferentzia dela :Bi angeluen arteko diferentzia den angeluaren tangenteak hau betetzen du :hau da :Adibidez,zuzenek eratzen duten angelua kalkulatzeko, honela egin daiteke : maldaketadira, beraz:Hortik ateratzen daBi zuzen paraleloak edota bat datozenak dira baldin eta beren arteko angelua zero baldin bada, eta beraz, angelu horren tangentea ere bai. Orduan zenbakitzaileak zero izan beharko du, hau da,, lehen ateratako baldintza hain zuzen ere.Bi zuzen elkartzutak baldin badira, beren arteko angelua 90°-koa da eta 90°-ko angeluaren tangentea infinitu da. Beraz, izendatzaileakzero izan beharko du:edotaEmandako zuzen jakin bati buruz zuta den eta puntu jakin batetik igarotzen den zuzenaren ekuazioa jakin nahi baldin badugu, ezaugarri hauek erabiltzen dira.Adibidea: 1. Kalkulatu (x-1)/2 = y/3 zuzenari buruz zuta den eta (3,-1) puntutik igarotzen den zuzenaren ekuazioa.norabide bektoreari buruz zuta den bektore bat,bektorea da, beraz, zuzen elkartzutaren ekuazioa,izango da.2. Kalkulatu y = 3x + 1 zuzenari buruz zuta den eta (1,0) puntutik igarotzen den zuzenaren ekuazioa. Malda m = 3 da, beraz, elkartzutaren malda, m = (-1)/3 izango da eta orduan y = (-1/3)x + h izango da bere ekuazioa. Gainera, x = 1 baldin bada, y = 0 izan behar du eta ekuazioak honako hau bete behar du : 0 = (-1/3) + h. Hortik, h = 1/3. Beraz, elkartzuta den eta puntu horretatik igarotzen den zuzenaren ekuazioa, hau izango da :

- Ariketak

19. Kalkula ezazu ondoko zuzen hauek elkarren artean eratzen dituzten angeluak :20. Kalkula ezazu r zuzenari buruz zuta den eta P puntutik igarotzen den zuzenaren ekuazioa

Puntu batek zuzenean duen proiekzioa :

puntua izanik, zuzen batean puntu horrek duen proiekzioa zein den jakin nahi da. Bedi zuzena ondoko ekuazioa hauek dituena:Horretarako, zuzen horrekpuntutik marraztutako elkartzutarekin duen ebaki puntua aurkitzen da.Zuzenaren ekuazioa era inplizituan emanda baldin elkartzuta honako hau izango da :Era esplizituan edo askean badago berriz :Adibidez, P(6,3) puntuak 2x-y+1=0 zuzenean duen proiekzioa jakin nahi baldin bada, P puntutik igarotzen den elkartzuta kalkulatzen da lehendabizi ; kasu honetan honako eite hau izango du :P-tik pasa behar duenez,bete behar du, beraz,izango da. Beraz, elkartzutaren ekuazioada.zuzenaren etaelkartzutaren arteko ebaki puntua ekuazioen ebazpenetik etorriko da. Adibidez, bigarren ekuazioanordezkatuta :gelditzen da eta hortik:. Beraz,eta

Puntu batek zuzen batekiko duen simetria puntua.

P puntuak r zuzenarekiko duen simetria puntua, zuzenetik distantzia berberera baina zuzenak beste aldeko planoerdian eta puntu horretatik zuzenarekiko marraztutako elkartzutean dagoena du., puntuaren r zuzenarekiko simetria puntua denpuntua aurkitzeko, aurreko prozeduraren bitartez proiekzioa aurkitzen da eta ondoren simetria puntuaren koordenatuak ateratzen dira,proiekzioa, emandako puntuaren eta bere simetrikoaren arteko erdibideko puntua dela kontuan hartuta beti ere. Horrela bada :non (X,Y) aurkitu nahi dugun puntua den.Adibidez, kalkulatu P(3,1) puntuaren r: x+y=O zuzenarekikosimetria puntua.P-tik igaro eta r lerroari buruz zuta den zuzena, (x-3)-(y-1)=O da.Bi zuzenen ebaki puntua, M(1,-1) da :(3+X)/2 = 1 da eta hortik X = -1(1+Y)/2 = -1 da eta hortik Y = -3Beraz, simetria puntuada.

- Ariketak

21. kalkula ezazu P(1,1) puntuaren x = 1 + t eta y = 2 zuzenarekiko simetria puntua.

VII. Puntu batetik zuzen batera bitarteko distantzia.

Orokorki, puntu batetik zuzen batera bitarteko distantzia aurkitzeko, lehendabizi puntu horrek zuzen horretan duen proiekziopuntua kalkula daiteke eta ondoren puntutik proiekzio punturainoko distantzia kalkulatu. Zuzen bat eta puntu bat emanda, emandako zuzenari buruz perpendikular puntu horretatik igarotzen den zuzenaren ekuazioa kalkulatu behar da eta ondoren bien ebaki puntua aurkitu. Bi puntuen emandakoaren eta ebaki puntuaren) arteko distantzia da aurkitu nahi zen distantzia.Kalkulu hau sinplifika daiteke ekuazioa era inplizituan emanda baldin badago. Bedi Ax + By + C = 0 zuzenaren ekuazioa eta, zuzeneraino distantzia kalkulatu nahi den puntua. P-tik r-rainoko distantzia, jatorri puntutik r zuzenarekiko paraleloa den lerrorainoko distantzia ken jatorritik r zuzenerainokoa izango da.P-tik igarotzen den r zuzenaren paraleloaren ekuazioa, honako hau da :Jatorri puntutik lerro paralelo horretarako distantzia, jatorri puntua zuzeneko puntu batekin lotzen duen edozein bektorek zuzen elkartzutean duen proiekzioaren berdina izango da. Har dezagun. Zuzen horri buruz zuta den bektore unitarioa (edo unitate bektorea), honako hau da :, izan ere, zuzenaren norabide bektorea (-B, A) baita eta horren bektore elkartzuta (A, B) izango da. Baldin eta bektore horren moduluaz biderkatua gerta ez dadin, bektorea unitarioa izatea nahi badugu,balioaz zatitu beharko genuke. Beraz, distantzia, zeinu eta guzti honako hau izango da :Zuzeneko edozein puntu P(x,y) izango da. Jatorri punturako distantzia, zeinu berarekin hartuta, hau izango da :Diferentzia :(x,y) zuzenean egoteagatik, hau bete behar du :beraz, Ax + By = -Ceta aurkitu nahi dugun distantzia honela gelditzen da :Puntu batetik zuzenerako distantzia.Ikus ezazu, alegia, zuzenari buruz zuta edo normala den bektorearen norantzaren arabera,biderkadura eskalarrak zeinu bat ala aurkakoa har lezakeela, izan ere, angelua, a izatetikizatera igarotzen baita eta orduan kosinua zeinuz aldatzen da. Horren ondorioz, formula horrek, distantzia zeinu eta guzti ematen du, hau da, zuzenak planoa zatitzen duen bi planoerdietako batean, zeinua negatiboa ateratzen da eta bestean positiboa, beraz, formulari balio absolutua bakarrik jartzen zaio, distantziak beti positiboak direlako.Adibidea:1. Kalkulatu P(2,1) puntutik x-y+4=0 zuzenerako distantzia.Formula erabiliz :2. P(3,-2) puntutik x + y -1 = 0 zuzenerako distantzia.Formula erabiliz :

Bi zuzen paraleloen arteko distantzia.

Bi zuzen paraleloen arteko distantzia kalkulatzeko, bietako batean, edozeinetan, puntu bat hautatu eta hortik beste zuzenera dagoen distantzia kalkulatzen da.Adibidez, kalkulatuzuzenetikzuzenerako distantzia.r zuzeneko puntu bat Q (1,2) da adibidez.

- Ariketak

22. Kalkulatu P(3,5) puntutik 5x-12Y+20=0 zuzenerako distantzia.23. Kalkulatu r : (x-1)/2 = (y-2)/3 zuzenetik s : (x,y) = (1,2) + t(2,3) zuzenerako distantzia.

VIII. Zuzenak diren leku geometrikoak.

Geometria analitikoak leku geometrikoen problema batzuek erraz ebazteko aukera ematen du, edota bestela esanda, baldintza jakin bat betetzen duten planoko puntuen multzoa aurkitzea alegia.

Kasu horiek ebazteko, zuzen eta puntuen arteko gorabeheretan nahiz paralelotasun, elkartzutasun eta distantzia kontuetan aurkitutakoak erabiliko dira.

Zuzenki baten erdibitzailea.

Erdibitzailea, zuzenki baten bi muturretatik distantziakide diren puntuen leku geometrikoa da.Beraz,erdibitzaileko puntu bat bada eta zuzenkiaren muturraketabadira, erdibitzaileko puntuek honako hau bete behar dute :izan ere, muturretatik distantziakide baitira. Karratua eginez :x eta y karratuak dituzten gaiak sinplifikatuta eta gai baliokideak bilduta, hau gelditzen da :Maldaduen zuzena da, nonetaekuazio inplizituko x eta y gaien koefizienteak diren. Bestela esanda :Malda hori bi puntuak elkartzen dituen zuzenaren elkartzutari dagokio. Bi puntuak elkartzen dituen lerroari berriz, beste malda hau dagokio :Beste era batera ere egiazta daiteke, alegia, erdibitzailearen ekuazioan (x,y) koordenatuakbalioaz ordezkatuz, izan ere, erdibitzailea zuzenkiaren erdi-erdiko puntutik igarotzen baita itxaro zitekeenaren arabera.Adibidea :Kalkula ezazu A(1,2), B(4,3) puntuak muturtzat dituen zuzenkiaren erdibitzailearen ekuazioa.Erdibitzailea izateagatik, hau bete behar du :Karratua kalkulatu eta sinplifikatuta :Gai guztiak alde batera pasata :Sinplifikatuta :

Erdikaria.

Erdikaria angelu bat bi angelu berdinetan zatitzen duen zuzenerdia da. Angeluaren aldeetatik distantziakide diren puntuen leku geometrikoa ere bada ; ezaugarri horrek errazago eman dezake aurkitu nahi den zuzenaren ekuazioa.ekuaziodun bi zuzen emanda, puntu batetik zuzen baterako distantzia, lehen kalkulatu den formularen bitartez ateratzen da.

Idazpen hori bi zuzenekin berdinduta, erdikariko puntu orokor batentzat, ondorengoa lortzen dugu :Sinplifikatzeko lehenengo urratsa balio absolutua kentzea da.

Distantziak zeinu positiboduntzat hartzen dira, baina balio absolutu hori kentzean, bi zeinuak gertatzen dira baliodunak. Horrek bi lerro erdikari ematen ditu. Horietako bat, interesatzen zaizkigun zuzenerdiena edota beren luzapenena da ; bestea berriz, zuzenerdi horietako batek eta beste zuzenerdiaren luzapenak eratzen duten angelu betegarriarena. Ateratzen diren erdikarien bi ekuazioak elkartzutak dira. Bietatik bat bakarrik interesatzen den kasuan baliozkoa zein den jakiteko, malda azter daiteke. Erdikariaren malda, bera erdikari duten bi zuzenerdiek dituzten malden tarteko balioduna da.Adibidea : Kalkula ezazu 3x - 4y + 2 = 0 eta 12x + 5y - 3 = 0 zuzenen erdibitzailea, bi zuzenetarako distantziak berdinak izanaraziz :Balio absolutua kendu eta erroak kalkulatuta :Bi emaitza ateratzen dira :etaHau da :Bereizi beharrik izanez gero, lehenengoak malda txikia eta negatiboa du eta bigarrenak handia eta positiboa.

- Ariketak

24. Kalkula ezazu A(-1,2) eta B(3,-2) muturtzat dituen zuzenkiaren erdibitzaileak duen ekuazioa.25. Kalkula itzazu x+y-2=0 eta x-y-1=0 zuzenen erdibitzaileak .

IX. Triangelua.

Aurreko atalean ikusiak triangeluetan erdibitzaile, erdikari eta alturei dagozkien ariketak ebazteko aukera ematen du.Adibidea : Bedi A(O,O), B(0,4) eta C(2,2) erpinak dituen triangelua . Kalkulatu zirkunzentroa eta zirkunskribatutako zirkunferentziaren erradioa, inzentroa eta triangeluan inskribatutako zirkunferentziaren erradioa.a) Erdibitzaileen ekuazioak honako hauek dira :Sinplifikatuta : y = 2Sinplifikatuta : x+y-2=0Sinplifikatuta : x - y + 2 = 0Zirkunzentroa horien ebaki puntua da ; puntu hori D(0,2) da.

Zirkunferentzia zirkunskribatuaren erradioa, zirkunzentrotik erpinetako edozeinetara dagoen distantzia da, hots,Inzentroa kalkulatzeko, erdikarien ekuazioak kalkulatzen dira ; bi aldeen ekuazioak jakin behar dira horretarako :malda infinitua duen x=0 ekuaziodun zuzena da.Erdibitzaileak honako hauek dira: AB eta AC - rena:Maldari begiratuta, barneko erdikaria lehenengoa da.AC eta BC-rena :Sinplifikatuta, x = 2 eta y = 2 gelditzen dira. Bigarrena barneko erdikaria da.AB eta BC-rena :Sinplifikatuta,Malda negatibodun erdikaria, hots, bigarrena da barneko erdikaria.I inzentroa, erdikarien ebaki puntua da, hots,Zirkunferentzia inskribatuaren erradioa, inzentrotik aldeetako edozeinetara dagoen distantzia da. AB aldera duen distantzia da aurkitzen errazena, ekuazioa x=0 duen alderako distantzia alegia.

Distantzia horida. Beraz, inskribatutako zirkunferentziaren erradioakbalio du.

Erdibidekoa.

Edozein ABC triangelu emanik, erdibidekoen G ebaki puntuak hau betetzen du :Bestalde ordea, paralelogramoaren araua kontuan hartuta :Beraz, triangeluaren barizentroa berdintza hau betetzen duen puntua da :Beraz, hiru erpinetara bideratutako bektoreen batura zero da.Barizentroa hiru erpinei garrantzi berbera ematen ez zaien kasurako eta hiru puntu baino gehiagoz ari garenerako orokortzen da.Barizentroa, orokorki, honela definitzen da :erako n puntu emanik eta masa deritzen beste n zenbaki erreal m ; (!akoitza puntu horietako bakoitzean kokatua), denen arteanbaldintza betetzen dutenak,