Matematika»Aljebra

Aljebra

"jainkoaren laguntza preziatuarekin diot: aljebra artea eta al-mugabalarena zientziazko arte bat da ; zenbaki osoak eta handitasun neurgarriak ditu xede, ezezagun diren heinean, baina hoiek mugatzeko balio dezakeen gauza ezagun batek elkarrekin erlazionatzen dituela" : Omar Khayyam (XII. m.)

Sarrera

Aljebrako lengoaia edo letrazko lengoaia, problema edo buruketaren planteamendua orokorragoa izan dadin, zenbakiz eta letrez baliatuz adierazten dena da.• Adibidea:Adierazi, letrak erabiliz, matematika-esaldi hauen azalpenak :• Zenbaki baten karratua 25 da. Emaitza :• Zenbaki baten kuboa 64 da. Emaitza:• Zenbaki baten karratua gehi beste baten kuboa 17 da. Emaitza :• Bi zenbakien karratuen baturaren erro karratua kalkulatzean, bosteko emaitza lortu da. Emaitza :

Sarrera

Ondoren datorren gaian, ez da aljebraren ikasketa edo azterketa xeherik egin nahi. Horren ordez, bidaia txiki bat egin nahi da, eta ahal bada atsegina, letrak eta zenbakiak nahasten dituen matematikaren adar honetan zehar.Aljebraren aita, askorentzat, DIOFANTO da, gure kristau aroko III.. endeko greziarra. Hartaz bere lanaren berri baino ez dugu eta hori ere, arabiarrei esker, izan ere, harenak gorde eta gero latinera itzuli baitzituzten XVI. mendean. Une hartan, hastear zen aljebraren aurrerakadarentzat argibide izan zen.Harenak dira "Diofantoren ekuazioak" edota "ekuazio diofantiarrak', ziur aski ezezagunak Musulmandar Inperioaren garairik handienean, hau da, VIII. mendearen bigarren erdian eta eta IX.aren lehen erdian, bizi izan zen AL-KHWARIZMI arabiar matematikariarentzat, hain zuzen ere, Bagdad bere "Jakinduriaren Etxea" zela bide matematikako garapenaren munduko ikasgurik garrantzitsuen bilakatu zenean. Garai hartan, Siria, Iran eta Mesopotamiako jakintsuek, kulturaren babesle handi ziren AL-- MANSUR, HAROUM AL RACHID eta AL-MAMUN hiru kalifen kalifa aldietan, Euklides, Aristoteles, Ptolomeo eta beste askoren lanak itzuli zituzten arabierara.AL-MAMUN izan zen IZMI arabiar matematikariarentzat, hain zuzen ere, Bagdad bere "Jakinduriaren Etxea" sortu zuena eta han AL- -KHWARIZMIk, inolako zalantzarik gabe, arabiarrek Sinhind izenez ezagutu zuten astronomia eta matematika lana ezagutu zuen, hain zuzen ere, indiarren (hinduen) Brahmasphuta Siddhanta edota Surya Siddhanta izan zitekeena.AL-KHWARIZMIk bi liburu idatzi zituen. Haietako batean, latinezko itzulpena baizik gordetzen ez denean, indiarren (hinduen) zenbaketa-sistemaren azalpen hain osoa egin zuen, ezen, agian hori izan baitaiteke gure zenbaketa sistema arabiar jatorrikoa delako uste zabal bezain faltsuaren jatorria.Beste liburuak, Ilm-al jabr-wa'l-muga-balak izenekoak, aljabr terminoa du izenburuan, hain zuzen ere, Diofantok hasitako matematika adarrari izena eman ziona eta une honetan guk esku artean duguna : Aljebra.

Liburu horren edukia, geroago europarrek aljebra ikasteko erabilitakoa, hurbilago dago egungo aljebra hastapen modernotik, Diofantoren edota Brahmaguptaren lanetatik baino, izan ere, ekuazioen, bereziki bigarren mailakoen, zuzeneko eta oinarrizko mailako ebazpenaz baitihardu.Hirugarren mailako ekuazioen ebazpenerako, jauzi handia egin behar dugu denboran zehar, Errenazimendua arte, XVI. mendea arte, hain zuzen ere, orduan ikasi eta aztertu baitziren berriro greziar, arabiar eta indiar matematikari handien lan sakonak Toledon, Itzultzaileen Eskolaren bitartez egindako itzulpenez baliatuz. Ekuazio kubikoen edota hirugarren mailakoen ebazpen prozedura orokorra asmatzen lehendabizikoa, TARTAGLIA (Niccolo Fontana) izan zen. Ziur aski, bere aurkikuntza Girolamo CARDANOri aipatu bide zion, eta honek, berea balitz bezala argitaratu zuen, aldez aurretik isilpean gordeko zuela agindua zion arren. Gertaera horrek argi eta garbi frogatzen du Zientzia bera ere ez dagoela libre besteren lanak berenak balira bezala aurkezten dituzten maltzur eta iruzurgileetatik.Tartaglia eta Cardano beren ekuazioak eta kontuak ebazten ari ziren garai berean, Franciscus VIETA frantziarrak, lan handia egin zuen aljebraz eta lehenengo aldiz letrak erabili zituen aljebrako ekuazioetan ezezagunak eta konstanteak izendatzeko. Aurrekoaren aberkide zen Rene DESCARTESek berriz, ekuazioen irudikapen eta ebazpen grafikoa koordenatu kartesiarrez egiteko modua aurkitu zuen eta geroak, haren ohoretan, bere izena eman die koordenatu horiei. Era horretan, Aljebra, Geometriarako ere erabiltzen hasi zen.Aurrez esandakoei, Aljebraren garapenean eskuhartu zuten hainbat eta hainbat izenez osatutako zerrenda amaiezina erants dakieke. Horien artean aipatzekoa da Lucca PACIOLI, 1494an inprimatutako lehenengo aljebra liburuaren egilea ; Carl Friedrich GAUSS, XIX. mendeko matematikarien printze deitua eta Aljebrako funtsezko teoremaren frogapena zor zaiona ; teorema horren arabera, enegarren mailako ekuazio orok, "n" erro edo ebazpen ditu ; Evariste GALOIS...Ez daude diren guztiak, baina aipamen labur honetan azaltzen direnak goi mailako matematikari bikainak izan ziren : Horiei zor dizkiegu determinante eta matrizeen bitartez aljebrako ekuazio sistemak dotore aurkeztu eta ebazteko moduan bat egin duten bide desberdin eta luzeak ibiltzeko emandako urratsak.

I.1 Aljebrako adierazpenak.

Aljebrako adierazpena zera da, beren artean aljebrako eragiketa bidez elkarlotutako letra eta zenbakien multzoa. Eragiketak, honako hauetakoak izan daitezke : batuketa, kenketa, biderkaketa, zatiketa, berreketa eta erroketa.• Adibideak :

I 1.1. Aljebrako adierazpen motak :

Aljebrako adierazpen batek errokizunean letrarik ez duenean eta ezein letrak ere zatikia den berretzailerik ez duenean, nazionala dela esaten da.• Adibideak :Aljebrako adierazpen razional bat osoa da baldin eta izendatzailean, zenbakitzailean eragina izango duen letrarik edota berretzaile negatiborik ez badu.• Adibideak:Aljebrako adierazpen razional bat zatikia da baldin eta izendatzailean letrak baditu edota zenbakitzailean berretzaile negatiboa baldin badu.• Adibideak :Aljebrako adierazpen bat, letrak erro zeinupean dituenean edota letraren batek berretzaile zatikia duenean, irrazionala da.• Adibideak:

- Ariketak

1. Sailkatu aljebrako adierazpen hauek :

I.1.2. Aljebrako adierazpenaren zenbakizko balioa.

Bere letrek izan dezaketen balio multzo batentzako, aljebrako adierazpenaren zenbakizko balioa, letra bakoitza bere balioz ordezkatu eta aljebrako adierazpenean adierazita dauden eragiketak egin ondoren ateratzen den zenbakia da. Hau da, aljebrako adierazpen baten zenbakizko balioa, ezezagun edo letrei ematen zaien balioaren baitakoa izango da.Ebatzitako Ariketak.1. Kalkulatu adierazpen hauen zenbakizko balioak : a)denean; Emaitza:b); x = -1 eta y = 5 direnean ;Emaitza:Dituzten letrei edozein balio multzo baina bi adierazpenentzat ere berbera emanik, zenbakizko balio berbera duten adierazpenei adierazpen baliokide deitzen zaie.• Adibideak :denean ;Emaitza: 21 = 21.

0 Proposatutako ariketak.

2. Kalkulatu adierazpen hauen zenbakizko balioak : a)direnean ; b)

1.2. Monomioak.

Monomioa aljebra adierazpen bat da, letrak eta zenbakiak aljebra eragiketen mende dituena, batuketaren eta kenketaren mende izan ezik.• Adibideak :

1.2.1. Monomioaren koefizientea

Letrekin batera doan zenbakia da. Aurreko adibideetan hauek dira koefizienteak :Koefizientea idatzi gabe ere egon daiteke ; hala,

1.2.2. Monomioaren letrazko zatia.

Monomio horretako letra multzoa da. Aurreko adibideetan hauek dira letrazko zatiak :

1.2.3. Monomioaren maila

Letrazko zatia osatzen duten letren berretzaileen batura da.Aurreko adibideetan hauek dira graduak :Letrazko zatirik ez badago eta koefizientea zero ez bada, monomio horren maila zero da, eta monomio horri monomio jarraitua esaten zaio.• Adibideak :

1.2.4. Monomio batek letra bati buruz duen maila

ELetra horrek monomio horretan duen berretzailea da.

1.2.5. Antzeko monomioak

Letrazko zati berbera dutenak dira• Adibideak :

I I Monomioekin egiten diren eragiketak.

II.1. Antzeko monomioen aljebra batuketa.

Monomioen batuketa edo kenketa egiteko, monomio horiek antzekoak izan behar dute.

Monomioen batuketa egiteko, monomio horien koefizientearen batuketa egin behar da eta letrazko zati berbera uzten da.

Monomioen kenketa egiteko, koefizientearen kenketa egiten da eta letrazko zati berbera uzten da.Ebatzitako ariketak.

2. Egin batuketa hauek : a)b)

- Proposatutako ariketak

3. Egitzazu batuketa hauek : a)b)

I I.2 Monomio biderkaketak.

Hainbat monomioren biderkaketa, beste monomio bat da :Emaitza monomio horren koefizientea, biderkatutako monomioen koefizienteen biderkaketa da.Letrazko zatia, monomioetan dauden letren multzoak osatuta dago eta beren berretzaileak, biderkakizun bakoitzean letrek dituzten berretzaileen batura dira.Biderkaketaren maila, biderkakizunen mailen batura da.Ebatzitako ariketa.3. Egitzazu biderkaketa hauek.

0 Proposatutako ariketak

4. Egitzazu biderkaketa hauek :

I I.3. Bi monomioren arteko zatiketa.

Bi monomio emanik, zatikizuna bata eta zatitzailea bestea, bien arteko zatiketa egiteko, monomio zatitzailea ezin daiteke zero izan eta bere maila, zatikizunarena baino txikiagoa izan behar du edota gehienera ere zatikizunaren berdina.Bi monomioen arteko zatiketak beste monomio bat ematen du :Emaitza monomioaren koefizientea, zatikizunaren eta zatitzailearen koefizienteen arteko zatiketa da.• Letrazko zatia, zatikizun eta zatitzaile diren monomioetako letren multzoaz osatuta dago. Letra bakoitzak, berretzailea du eta berretzaile horren balioa, zatikizunean eta zatitzailean letra horrek dituen berretzaileen arteko diferentzia da.• Zatiketaren maila, zatikizunaren eta zatitzailearen mailen arteko diferentzia da.Ebatzitako ariketa.4. Egitzazu zatiketa hauek:

- Proposatutako ariketak

5. Egitzazu zatiketa hauek :

I I.4. Monomio baten berredura.

Monomio baten berredura beste monomio bat da :Berredura monomioaren koefizientea, monomioaren koefizientearen berredura eginez lortzen da.Letrazko zatia, letra bakoitzaren berretzaileak berreketako berretzailearekin biderkatuz lortzen dira.Orokorki,Ebatzitako ariketak : 5. Egitzazu berreketa hauek :

- Proposatutako ariketak

6. Egitzazu berreketa hauek :

I I I. Polinomioak.

I I I.1. Polinomio funtzioa.

Hainbat monomio funtzioen batuketa den funtzio orori, polinomio-funtzio deritzo.• Adibidea:Orokorki, polinomio funtzio deitzen zaio R multzoan definituta dagoenfuntzio orori, beti ere ondoko hau idatz daitekeela :; bertan, zenbaki errealak direlarik eta n zenbaki arrunta.Bedi polinomio funtzio hau :

I I I.2. Polinomioa.

Polinomioa, hainbat monomioren aljebrako batuketa da.

Monomio bakoitza, polinomioaren gai bat da.• Adibideak:

I I I.3. Polinomioaren laburketa.

Bedi polinomio hau :Lehendabizi, elkarren antzeko gaiak taldeka biltzen dira eta talde bakoitzari dagokion monomio baliokideaz ordezkatzen dira.

Orduan, hau ateratzen da :

I I I.4. Polinomioaren maila.

Polinomio laburtuak letra batekiko (edota hainbat letrarekiko) duen maila, letra horren arloan (edo horien arloan) duen mailarik handieneko gaiak (gaiek) adierazten duena (dutena) da.• Adibideak :laugarren mailakoa da x-ekiko.

I I I.5. Polinomio berdinak.

Bi polinomio, hutsalak ez direnak, berdinak dira eta orduan bakarrik dira berdinak, baldin eta maila berbera badute eta maila bereko gaien koefizienteak ere berdinak badituzte.

I I I.6. Polinomio homogenoak.

Polinomio homogenoak, gai guztiak maila berekoak dituztenak dira.• Adibidez:

I I I.7. Polinomio ordenatuak.

Polinomio ordenatuak letren berretzaileak gorako edota beherako ordenan dituztenak dira.• Adibideak :; Polinomio honetan ordena beherakoa da.

I I I.8. Polinomio osoa.

Polinomio osoa zera da, mailarik handienekotik zero mailako gai askera bitartean, maila bakoitzarentzako gai bat duena.

I I I.9. Polinomio ezosoa.

Mailaren batean edo gehiagotan gaia falta duena da.• Adibideak :; hirugarren mailako polinomio osoa da.; laugarren mailako polinomio ezosoa da eta beste modu honetan ere idatz daiteke :Aldagai bat baino gehiago dituen polinomioa, aldagai horietako batekiko ordena daiteke. Horrela bada :; x-en berredurak beherako ordenan ordenatuta ditu.

I I I. 10. Polinomioko koefizienteen zerrenda ordenatua.

Polinomioaren idazkeraera orokorrean eginda etaduela, bakarra da. Idazkera hori, polinomioarenitxura garatu, laburtu eta ordenatua da, x-en berredurak beherako ordenan dituela.Bitez polinomio hauek :

I I I.11. Polinomioen adierazpen edo idazkera laburtua.

Erabilitako ezezaguna x dela emanda, polinomioa zehaztuta gelditzen da bere koefizienteen zerrenda ordenatua ezagututa.• Adibidea :(15,10,0,-5,8) laugarren mailako polinomio bati dagokio.

Gainera, zeroak, bigarren mailako gairik ez dagoela adierazten du.

I V. Eragiketak polinomioekin.

IV 1. Polinomioen batuketa.

Polinomioak batzeko, komenigarria da hala behar bada ordenatu eta osatzea. Gero, zutabe moduan idatzi behar dira, kidekoak diren maila bereko gaiak bertikalki bat etorraraziz.Ebatzitako ariketak.6. Bitez polinomio hauek :Egin eragiketa hauek :

IV 2. Aurkako polinomioak edo simetrikoak.

Bi polinomioren batura zero polinomioa denean, polinomio horiek aro -kakoak dira.Bedipolinomioa eta bedi halaber bere aurkakoaere. Beren batuketa egitean,

IV.3. Bi polinomioen arteko diferentzia.

P(x) - E(x) polinomioen diferentzia kalkulatzeko, lehenengoari bigarrenaren aurkakoa edo simetrikoa batzen zaio.Ebatzitako ariketa.7. Bitez polinomio hauek :Egitzazu eragiketa hauek :

IV 4. Polinomioen aljebrako batuketa.

Hainbat polinomioren batuketa batera egiteko, eragiketa hauek egin behar dira :1. Polinomioak ordenatu, gorako ordenan edo beherakoan.2. Kideko gaiak batzuek besteen parean ipini bertikalki zutabea osatuz.3. Kideko gaien batuketa eragiketak egin.Ebatzitako ariketa.8. Bitez polinomio hauek :Egitzazu eragiketa hauek:

- Proposatutako ariketak

7. Bitez polinomio hauek :Kalkulatu :

I V. 5. Polinomio baten eta monomio baten arteko biderkaketa.

Polinomio bat monomio batez biderkatzeko, monomioa, polinomioko gai bakoitzez biderkatzen da.Ebatzitako ariketa.9. Egitzazu adierazitako eragiketak :

IV 6. Polinomioen arteko biderkaketak.

n mailako P(x) polinomioak p mailako beste E(x) polinomioarekin egindako biderkaketaren emaitza edo biderkadura, beste polinomio bat da eta honen maila, biderkatzaileek dituzten mailen batura da, hots, n+p.Bedibiderkaketa,izanda.Eragiketa hori egiteko, polinomioak, zenbaki osoen biderkaketak egiteko bezalaxe ipiniko dira idatzita, falta zaizkien gaien artean haiek idazteko moduko lekuak edo hutsuneak utziz. Gero, polinomio bakoitzeko lehenengo gaia beste polinomioko gai guztiez biderkatzen da banaka-banaka eta emaitza horiek guztiak batuketarako bezala idazten dira mailen arabera zutabeetan. Ondoren azaltzen da ebatzitako ariketa bat :

- Proposatutako ariketak

8. Polinomio hauek emanda :Egitzazu biderkaketa hauek :

I V. 7. Polinomioen biderkaketa era laburtuan.

Bi polinomioen arteko biderkaketa egiteko modu lasterragoa zera da, alegia, koefizienteak bakarrik erabiltzea. Horretarako :• Koadro bat egiten da P(x) eta E(x) polinomioen koefizienteekin.Koadroko laukiak betetzen dira P(x) polinomioko koefiziente bakoitza E(x) polinomioaren koefizienteez biderkatuz.Geziek adierazten duten moduan, diagonaleko baturak egiten dira.Bitez polinomio hauek:etaBiderkaketaren emaitza, biderkadura, honako hau da :Polinomioetakoren bat osoa ez dena denean, lehen adierazi den moduan jokatzen da, baina beti ere, falta diren gaien koefizienteak zeroz osatuta.Ebatzitako ariketa.10. Biderkatuetaera laburtuan.Biderkaketaren emaitza, biderkadura, honako hau da :

- Proposatutako ariketak

9. Egin biderkaketa hau :eta

IV.8. Polinomio baten eta monomio baten arteko zatiketa.

Polinomio bat eta haren maila berdineko edo txikiagoko monomioa emanik, polinomioa monomioaz zatitzeko, polinomioko gai bakoitza monomioaz zatitzen da eta ateratzen diren zatidura partzialak batu egiten dira harik eta hondarra zero edota monomioa baino maila txikiagoko hondar izatera iritsi arte.Ebatzitako ariketa.11. Zatitumonomioaz.4 Zatidura, honako hau daHondarra berriz,da.Zatiketa orotan bezala, ondoko hau bete behar da :

- Proposatutako ariketak

10. Egitzazu zatiketa hauek :

IV 9. Bi polinomioen arteko zatiketa.

Bi polinomioen arteko zatidura, orokorki bederen ez da beste polinomio bat izaten, aurrerago ikusiko dugun moduan, zatiki razionala baizikBitez:etaE(x) izeneko zatidura polinomioa aurkitu nahi da hau bete dadin :, non :P(x) zatikizuna denZ(x) zatitzaileaE(x) zatidura edo emaitza etaH(x) hondarra. Hondarra, zero edota Z(x) polinomioa baino maila txikiagoko beste polinomio bat izango da.H(x) zero baldin bada, zatiketa zehatza da etada eta aljebrako batuketa baten bidez biderkaketa lortzen da.Baldin eta,baldin bada, zatidura osoa edota zehazgabea da etada edota gauza bera dena :Ekuazio horretako bigarren aldea, bi polinomioen arteko zatiketaren zatidura osoa da.Zatiketa egiteko, P(x) eta Z(x) zenbaki osoak ipintzen diren bezalaxe jartzen dira. Ondoren, ondoren urratsak jarraitzen dira :1. Zatikizuna eta zatitzailea, x-en berredura beherakorren arabera ordenatu behar dira.2. Zatikizuna jartzean, lekuak edo hutsuneak utzi behar dira falta diren gaientzat.3. Zatikizuneko mailarik handieneko gaia, zatitzaileko mailarik handieneko gaiaz zatitzen da.Kasu honetan,denez,da zatidurako lehenengo gaia.

4.gaia,gaiez biderkatzen da eta biderkaketa horren emaitza, zeinuz aldatuta, zatikizunaren azpian kokatu eta hari batzen zaio.5. Lehenengo hondarra honako hau da :6. 3. eta 4. atalak errepikatu egiten dira, harik eta zero edo zatitzailea baino maila txikiagokoa den polinomioa hondartzat lortu arte.

0 Proposatutako ariketak

11. Kalkulatu zatiketa hauetako zatidurak eta hondarrak :

V. Laburbidezko formulak.

Aljebrako bi adierazpenen berdintzari identitate deitzen zaio. Identitate bat, bere letrei edozein balio emanda ere, egiaztatu egiten da. Gainera, letra horiek zeinezkorik gabe, aljebrako zenbakiak edo adierazpenak adieraz ditzakete. Laburbidezko formulak, maiz aurkitzen diren berdintzak dira eta buruz jakitea komeni da.

V. 1. Binomioaren baturaren karratua.

Bitez a eta b edozein zenbaki erreal edota aljebrako adierazpen.

Definizioz :Bi binomioen biderkaketa egiten baldin bada, hau lortzen da :Binomioaren baturaren karratuak, lehen gaiaren karratuagehi lehenengo gaia bider bigarrenaren bikoitza, gehibigarren gaiaren karratua balio du.Ebatzitako ariketak.12. Emaitzazu binomio hauen karratuak.

- Proposatutako ariketak

13. Emaitzazu binomio hauen karratuak :

V.2. Binomioaren diferentziaren karratua.

Bitez a eta b edozein zenbaki erreal edota aljebrako adierazpen.

Definizioz :Bi binomioen biderkaketa eginez gero, hau ateratzen da :Binomioaren kenduraren edo diferentziaren karratuak, lehen gaiaren karratua ken lehenengo gaia bider bigarrenaren bikoitza, gehi bigarren gaiaren karratua balio du.Emaitza horretara halaber, binomioaren baturaren karratuaren formula erabiliz ere irits daiteke formulan b, (-b)-z ordezkatuta.Horrela, hau aterako litzateke :Ebatzitako ariketak.13. Emaitzazu binomio hauen karratuak:

- Proposatutako ariketak

14. Emaitzazu binomio hauen karratuak :

V 3 Bi zenbakien batura bider beren diferentzia.

Karratuen diferentzia.

Bitez a eta b edozein bi zenbaki erreal edota aljebrako adierazpen . Bi adierazpenen biderkaketa (a+b) • (a-b) egitean, hau lortzen da :Bi zenbakien batuketak beren diferentziaz biderkatuta ematen duen biderkadura, lehenengoaren karratua ken bigarrenaren karratua da.Ebatzitako ariketak.

14. Egitzazu biderkaketa hauek.

- Proposatutako ariketak

15. Egitzazu biderkaketa hauek.

V.4. Binomioaren baturaren kubua.

adierazpenak,balio du, hau da,Polinomioa binomioaz biderkatzen bada, hau lortzen da :Binomioaren batuketaren kuboak, balio hau du : lehenengo gaiaren kuboa, gehi lehenengo gaiaren karratuaren hirukoitza bider bigarren gaia, gehi lehenengo gaiaren hirukoitza bider bigarren gaiaren karratua, gehi bigarren gaiaren kuboa.Ebatzitako ariketak.15. Emaitzazu binomio hauen kuboak:

- Proposatutako ariketak

16. Emaitzazu binomio hauen kuboak.

V.5. Binomioaren diferentziaren kuboa.

adierazpenak,balio du, hau da,Polinomioa binomioaz biderkatzen bada, hau lortzen da :Binomioaren diferentziaren kuboak, balio hau du : lehenengo gaiaren kuboa, ken lehenengo gaiaren karratuaren hirukoitza bider bigarren gaia, gehi lehenengo gaiaren hirukoitza bider bigarren gaiaren karratua, ken bigarren gaiaren kuboa.Emaitza horretara, binomioaren batuketaren kuboaren formula erabiliz ere irits daiteke b, (-b)-z ordezkatuta.Hori eginda honako hau lortuko litzateke :Ebatzitako ariketak.16. Emaitzazu binomio hauen kuboak.

- Proposatutako ariketak

17. Emaitzazu binomio hauen kuboak.

V. 6. Polinomioaren karratua.

Bitez a eta b hiru zenbaki erreal edota aljebrako adierazpen, edoein . Polinomioaren karratua, definizioz, hau da :Bi aljebrako adierazpen horien biderkaketa egitean, hau lortzen da :Polinomioaren karratuak balio hau du : gai bakoitzaren karratuen batura gehi gai bakoitzaren bikoitza bider beste gaietako bakoitzarekin lortutako biderkaketen batura.Polinomioaren karratuaren gaietako bat edota bi, zeinu negaboa aurretik dutela egonez gero,adierazpenean, ziak beren aurkakoaz edo aurkakoez ordezkatuko ditugu.

Hau da, honako hau izanez gero :Bestalde,Ebatzitako ariketak.17. Kalkula itzazu karratu hauek.

- Proposatutako ariketak

18. Kalkulatu karratu hauek.

V.7 Bi kuboen diferentzia.

Bitez a eta b edozein bi zenbaki erreal edota aljebrako adierazpen . Bi kuboen arteko diferentziak baliokidetza hau du :Egiaztatzeko biderkatu (a - b) binomioa,trinomioaz.

V.8. Bi kuboen batuketa.

Bitez a eta b edozein bi zenbaki erreal edota aljebrako adierazpen . Bi kuboen arteko batuketak baliokidetza hau du :Egiaztatzeko biderkatu (a - b) binomioa,trinomioazKontuz! Ez nahaspolinomioabinomioaren baturaren karratuarekin, izan ere, azken honek,baitu baliokide. Era berean, ez dira gauza berapolinomioa etabinomioaren diferentziaren karratua, izan ere, azken honek,

VI.1. Newtonen binomioa

V puntuan binomioaren karratuaren eta kuboaren formulak eman dira eta kuboarena, karratuarenetik ondorioztatu da.Binomio baten laugarren berreketa lortzeko, binomioaren kuboarentzat ateratako emaitza binomioaz biderka daiteke berriro eta goragoko mailetakoak lortzeko berriz, ostera berriz biderkatuko genuke eta horrela amaierarik gabe jarraitu. Sistema horrek ordea, denbora asko eramango liguke eragiketa horiek guztiak egiten.

Gainera, bada formula bat Isaak Newtonek asmatutzat ematen dena, modu laster eta soil batez edozein binomioren edozein mailatako berreketa kalkulatzeko balio dena : binomioaren edo Newtonen binomioaren m-garren berredura ematen digun formula da.Baina formula hori erabiltzen hasi aurretik, gauza bat gogorarazi behar da, alegia, m elementuren n mailako konbinazioakeran izendatzen direla eta baita( m gain n irakurtzen da) ere.

Konbinazio zenbaki deitzen zaie eta baita binomio koefiziente ere..  zenbakiari konbinazio zenbakiaren izendatzaile deritzo eta n-ri berriz konbinazio zenbakiaren maila.m! (m faktorial irakurtzen da) idazteak, m zenbakiaren eta 1 zenbakiaren artean kokatutako zenbaki oso guztien arteko biderkaketa egin behar dela adierazten du.Bedi adibidezizango bagenu honako hau izango litzateke :.konbinazio zenbakia izanik, honakoa balioa du :• Adibidez :Konbinazio zenbakien gartza bitxi bat zera da,dela. Hala bada,badugu,Honaino ezagutzen ditugun binomioen formulak idazten baditugu, hauek izango ditugu :Berdintza hauetan, ondoren adierazten dena ikusten da: 1.Garapena, polinomio ordenatu da, homogenoa eta osoa x eta a-rekiko eta bere maila binomioaren berretzailearena da.2. Garapenaren gai desberdinen koefizienteak edota binomio-koefizienteak, konbinazio zenbakiak dira. Beren izendatzailea binomioaren m berretzailearen berdina da eta beren mailak, zerotik m-rarte handitzen dira.3. Garapenak dituen gai kopurua, m+1 da.m maila duen binomio batentzat formula hori orokortuz gero, hau izango dugu :. .binomioaren garapena baldin badugu berriz, (x + a)"' binomioaren berdina dela esan behar baina zeinuen aldea duela, alegia, zeinuak txandaka aldatuz doazela (gehi eta ken), izan ere, a-ren berredura bakoitiek zeinu negatiboa baitute.Aurreko formula horiek, binomioaren m-garren mailako berredura ematen digute eta Newtonen binomio izenez ezagutzen dira. Izan ere, Newton izan haitzen berretzaile ezosoentzat orokortu zimena, baina dirudienez, Tartaglia-k ondorioztatu edo asmatu zituen XVI. mendean.Newtonen binomioaren garapenean, n+1-garren lekua duenari gai orokor deritzo eta batuketa baten berreketaren kasuan, balio hau du :Diferentziaren berreketa baldin bada, gai orokorra, formula honek emana dator:

V I.2. Binomio koefizienteen arteko erlazioak.

l. Koefiziente bakoitza, bere aurreko koefizientea gai horretan x-ek duen berretzaileaz biderkatu eta kalkulatzen ari den gaian a-k duen berretzaileaz zatituta ateratzen da.

- Adibideak:.2. Muturretatik hasita distantziakide diren bi gai, berdinak dira.

Hortik ateratzen da noski, nahikoa dela koefizienteen erdiak kalkulatzea, izan ere, beste erdiak haien berdinak baina alderantzizko ordenan izango baitira.baldin badaukagu, 4 gai izango ditugu eta beren koefizienteak : 1 3 3 1 eta nahikoa izango da 1 eta 3 kalkulatzea.baldin badaukagu, 5 gai izango ditugu eta beren koefizienteak : 1 4 6 4 1 eta nahikoa izango da 1 4 eta 6 kalkulatzea.baldin badaukagu, 8 gai izango ditugu eta beren koefizienteak : 1 7 21 35 35 21 7 1 eta nahikoa izango da 1 7 21 eta 35 kalkulatzea.Aurretik adierazi dena, Blaise Pascalek erabilia zuenpolinomioaren koefizienteak lortzeko, eta era honetara idatz daiteke hark prestatu zuen koefiziente taula :

VI.3. Taralaren g triangelua

m berretzailea duen binomio baten berreketaren garapenaren koefizienteen multzoa, era honetan ere idatz daiteke:Itxuragatik triangelu aritmetiko deitzen zaio. Dirudienez, bere oso antzinakoa da izatez, eta Tartagliak asmatu zuela uste da.Bistan da noski, koefiziente bakoitza, bere gainean kokatutako bi koefizienteen batuketa eginez lor daitekeela.Ebatzitako ariketak.18. Garatu binomio hauek :

- Proposatutako ariketak

19. Garatu binomio hauek :20. Kalkulatubinomio garapeneko 4. gaia.21. Kalkulatubinomio garapeneko 10. gaia.22. Idatzi

VII. x = ao Balioarentzako polinomioak duen balioa.

P(x) polinomioakbalioarentzat polinomioak hartzen duen zenbakizko balioa,balioaz ordezkatu eta adierazitako eragiketak eginda ateratzen dena da. Zenbaki horiadierazpenaren bidez azaltzen da.• Adibidea:Kalkulatupolinomioaren zenbakizko balioa

VIII. Ordenatutako polinomioa x - a binomioaz zatitzea.

Edozein mailatako polinomioa,binomioaz zatitu nahi da,zenbaki ezaguna delarik.Bedi P(x) polinomioa Z(x) binomioaz zatitzeko ariketa,izanik.Zatiketa egiteko, IV.9. puntuan ikusitako urratsak egin behar dira.1. Zatikizuna eta zatitzailea, x-en berredura beherakorren arabera ordenatu behar dira.2. Zatikizuna jartzean, hutsuneak utzi behar dira falta diren gaientzat.3. Zatikizuneko mailarik handieneko gaia, zatitzaileko mailarik handieneko gaiaz zatitzen da.Kasu honetan,. Beraz,da zatidurako lehenengo gaia.4.binomioaz biderkatzen da eta emaitza, zeinuz aldatuta, zatikizunaren azpian idatzi eta hari batzen zaio.5. Lehenengo hondarra,da.6. 3. eta 4. ataletan adierazia errepikatzen da, zero mailako hondarra lortu arte.Zatiketa eginda,zatidura etalortu dira.Bedi orain,polinomioaren etabinomioaren arteko zatiketa.Kasu honetan berriz,zatidura eta

IX. Ruffiniren araua.

Polinomioa,binomioaz zatitzea bizkarrago egiten da askoz ere, RUFFINIren Arazia erabiliz. Arau hori, puntu hauetan laburbil daiteke:1. Zatiduraren lehen gaiaren koefizientea, zatikizunaren lehen gaiaren koefizientearen berdina da.Aurreko ariketan ikusten denez, zatidurako lehenengo gaiaren koefizientea, 2 da. Ruffiniren araua aplikatzeko, zatikizunaren koefizienteak idazten dira eta alboan a ondoren ikus dezakezunez :Zatiduraren bigarren gaiaren koefizientea, zatiduraren lehen gaiaren koefizientea bider a gehi zatikizunaren bigarren koefizientea da.3. Zatiduraren hirugarren gaiaren koefizientea, zatiduraren bigarren gaiaren koefizientea bider a gehi zatikizunaren hirugarren koefizientea da.4. Orokorki, zatiduraren edozein gairen koefizientea, zatiduraren aurreko gaiaren koefizientea bider a gehi zatikizunaren ordena bereko koefizientea da.5. Zatiduraren maila, zatikizunarena baino maila bat txikiagoa da.6. Hondarra, zero mailakoa da.Ebatzitako adibideak.19. Egitzazu zatiketak zatiketa normala eginez eta Ruffiniren arauaz baliatuz.

- Proposatutako adibideak

20. Egitzazu zatiketak:

X. Polinomio ordenatua x - a binomioaz zatitzearen ondorioak.

Polinomioak koefiziente osoak baldin baditu,binomioaz zatigarri izan dadin, beharrezkoa da gai askea-ren multiploa izatea.•bada, orduanpolinomioaren emaitza edo erroetako bat da.• Adibidea: Bediizanda ;-en emaitza da.Bedi..-en emaitza da..-en emaitza da.1 eta -2, P(x)-en emaitza edo erroak dira.•bada, b edozein zenbaki izanda, hondarra b-ren berdina da. Ondorio hori, HONDARRAREN TEOREMA da eta honela adieraz daiteke :polinomioabinomioaz zatitzean gelditzen den zatiketako hondarra,ordezkatuta

HONDARRAREN TEOREMAREN FROGANTZA.

Lehen ikusi denaren arabera,izanik, beraz, honela idatz daiteke :Baldin etaordezkatzen bada, hau lortzen da :hau da,beraz,Emaitza hori oso garrantzitsua da, izan ere :•kalkulatzeko Ruffiniren araua erabiltzeko aukera ematen baitu,zatitzean emandako hondarra delako.• polinomioazatitzeko zatigarritasun-baldintza ematen baitu, ezen,polinomioazatigarria izateko baldintza,ordezkatzean hutsal edo zero baliokoa izatea baita.Ebatzitako adibideak.

20. Kalkulatu zatiketa hauen hondarra, teorema erabiliz.Hondarra = 19, izan ere,baita.Hondarra = - 41Hondarra = 383

- Proposatutako adibideak.

21. Kalkulatu zatiketa hauen hondarra, hondarraren teorema erabiliz.22. Kalkulatu m-ren balioa,zatigarria izan dadin.23. Kalkulatu m-ren balioa,zatigarria izan dadin.24. Esan zatiketa egin gabe, zatiketa hauek emaitza zehatza izango duten ala ez: