Matematika»Aritmetika

Aritmetika

1. Atala

Zenbaki naturalak, osoak eta arrazionalak

Iritzi oso zabaldu baten arabera, zenbakiez asko dakien pertsona da matematikaria. Zientzia honen lehen ardura zenbakiak direla ez da gauza guztiz zehatza, baina oso urruti ere ez dago egiatik. Izan ere, aritmetika da, zenbakiak aztertzen dituen zientzia alegia, matematiken parte nagusietako bat. Normalean, aritmetika izaten da matematikak zabal lantzen dituen liburu ororen hasiera.Jatorritik bertatik, bi adar izan zituen matematikak, aritmetika eta geometria ; bestalde, matematikaren osagarri ziren musika, matematika aplikatua zena, eta astronomia, geometriaren moldapena.

Alabaina, gaur egungo teorien arabera, askotan ez dira errazbereizten aritmetika eta geometria. Aritmetikak zenbakien teoria ekarri du -zenbakien arazo klasikoak aztertzen dituena, zatigarritasuna eta zenbaki lehenak adibidez-, orobat aljebra, topologia -inguru eta hurbiltasun ideiak ikertzen dituena-, eta baita beste adar batzuk ere. Baina bada halaber aljebra geometria bat, eta topologia aplika dakioke geometriari. Liburuaren parte honetan aritmetikaren objektu klasikoa aztertuko da, hau da, zenbakiak. Baina, hasi aurretik, zenbakiaz egun zer ulertzen den zehaztu behar da.Matematikan, hainbat kategoriatan sailkatzen dira zenbakiak, eta, aztertzerakoan, ikertzen ari garen zenbaki mota mugatzen duen adjektibo bat izaten dute beti ondoan : zenbaki lehenak, pareak, osoak, konplexuak, irrazionalak, etab. Irtenbidea ematen dieten problemen arabera sailkatzen dira, edo, beren tasunen arabera, mota desberdin askotan. Horien artean badira bost zenbaki multzo garrantzitsu :- Naturalak, edo zenbaki oso eta positiboak.- Osoak.- Arrazionalak.- Errealak.- Konplexuak.Gero, zenbaki naturaletan, bakoitiak eta bikoitiak bereizten dira ; osoetan, positiboak eta negatiboak ; errealetan, transzendenteak edo irrazionalak; konplexuetan, irudizkoak. Horiek guztiak bereizten dituzten ezaugarriak dira, lehenbizi, multzoa osatzen duten elementuak eta nola lortzen diren, delako zenbakietan definitzen diren eragiketak, ordena, eta zenbait tasun, jarraitasuna adibidez. Ezaugarri horiek guztiak direla-eta, zenbaki batzuek kontatzeko edo ordenatzeko besterik ez dute balio, naturalek adibidez, eta beste batzuek luzerak neurtzeko, errealek esate baterako.Zenbaki mota bakoitza definitzeko, aurreko mota zabaldu egiten da problema berriak ebatz ditzan, nahiz eta zabaltze horrek ezaugarriren bat galtzea ere ekar dezaken.Zenbaki oso positiboak, N, kontatzeko balio dutenak dira : 1, 2, 3, 4, etab. Osoak, Z, naturalei negatiboak erantsiz lortzen dira.

Arrazionalak, Q, beste zabalpen bat dira, zatikiak ere bere baitan hartzen dituena. Errealak, R, arrazionaletatik lortzen dira, multzoa osoa izan dadin beharrezko zenbakiak erantsiz. Zenbaki errealetatik eta irudizkoetatik abiatuta lortzen dira zenbaki konplexuak, C ; zenbaki bakoitza hurrengoaren parte edo azpimultzotzat har daitekeelako legea betetzen da horietan :

Zenbakien historia

Zenbaki naturala da ezagutzen den aurreneko zenbaki mota. Objektu kopuru bera duten multzoak konparatzetik sortzen den abstrakzio batetik datorrela dirudi. Haurrak gai dira, 12-18 hilabeterekin, objektu bat, bi eta asko bereizteko. Era berean, mikak, karnabak eta beleak ere bereizten dituzte bat, bi, hiru eta lau objektu. Zenbaki konkretuaren ideia, bi zuhaitz edo bi harri, oso zaharra da. Aldiz, zenbaki abstraktuarena, biarena, eta kontatzeko ahalmena, askoz ere geroagokoak dira.Erabili izan diren lehen zenbakiak txikiak dira, bat, bi, hiru, lau, baina badirudi, aurkitu diren arkeologia aztarnak aztertuta, duela milaka urte ere bazekiela gizakiak zenbatzen, makiletan edo hezurretan arrastoak eginez, aztarna horien interpretazioa inoiz segurua ez den arren.Geroago hasi ziren erabiltzen zenbaki osoak eta handiak ; izan ere, zibilizazio primitiboetan ez ziren hain erabilgarriak.Zenbaki negatiboak ere, falta den kopuruaren adierazgarri, edo zor baten adierazpen moduan, ideia primitiboa direla dirudi. Baina zerbaiten zor edo faltari zegozkien zenbaki positiboak zirelakoan ulertzen ziren, ez berezko zenbaki gisa; era berean, kenketa egiteko zenbaki moduan ere uler zitezkeen . Antzin Aroan, Txinan eta Indian erabiltzen ziren kalkuluak egiteko.

Txinatarrek makilatxo gorriak baliatzen zituzten zenbaki positiboentzat eta beltzak negatiboentzat, baina azken emaitza zenbaki negatiboa izan zitekeenik ez zuten onartzen. Antzeko gauza ageri da Brahmagupta VII. mendeko indiar matematikariaren idatzietan. Ez antzinako grekoek, ez arabiarrek, ez zituzten zenbaki negatiboak erabiltzen, bai ordea kenketak. Berpizkundean, Chuquetek, Triparty de la science des nombres liburuaren egileak, zenbaki negatiboak erabiltzen ditu 1484an. Stieffelek ere erabiltzen zituen Arithmetica integra obran, baina "numeri absurdi" deitzen zituen. XVI.. endearen bukaeran, Vietek ez zuen zenbaki negatiborik erabili nahi.Girardek, 1629an, aurrera egitearekin konparatzen zituen zenbaki positiboak, eta atzera egitearekin negatiboak, eta hasi zen negatiboak zenbaki klase gisa onartzen. Geroxeago, Descartesek onartu zituen zenbaki negatiboak, ez bakarrik eragiketatan erabiltzeko, baita soluzio gisa ere, baina positiboak "egiazkoak" zirelakoan, eta negatiboak "faltsuak". Era horretan, pixkana-pixkana, hasi ziren zientzialariak negatiboak zenbaki gisa onartzen, eta positiboekin batera erabili ahal izateko moduan interpretatzen.Zeroa dago zenbaki oso positiboen eta negatiboen artean. Ezer ez edukitzearen ideia, edo hutsik egotearena, oso zaharra da. Baina ezer ez edukitze hori kopuru gisa onartzea, hori aski gauza berria da. Zero zifra zenbaki modura, dirudienez VIII. edo IX. mendean erabili zen aurrenekoz, Indian.Zatiki positiboak ere oso zaharrak dira. Badira dokumentuak egiptoarrek erabiltzen zituztela adierazten dutenak. Baina zatiki haiek ez ziren gaur egun erabiltzen diren berak, 112, 1/3, 2/3 zatikiak eta zenbaki osoen alderantzizkoak bakarrik onartzen baitzituzten. Zenbaki baten (1/n) alderantzizkoa ez ziren zatikiak mota horretako zatikien batura bihurtu behar ziren, ez zitezen denak berdinak izan. Ahmesen papiroan (K.a. 1650), 2/n eta n/10-en deskonposatzea ageri da, 1 zenbakitzaileko zatikien baturan.

Zatikien batuketa ezagutzen zuten, baina biderkadurak eta zatiketak egiteko bikoizteaz eta erdiak hartzeaz baliatzen ziren.

Babilonian aurreratuagoak zeuden ; zatiki izendatzailedunak eta 60ko berredurak erabiltzen zituzten, eta horien bidezbezalako zenbakietara hurbiltzen ziren. Pitagorasen garaian, grekoek ezagutzen zituzten zatikiak.

Elementuak obrako VII, VIII eta IX. liburuek neurri komuneko problemak eta zenbakien arteko arrazoiak lantzen dituzte, guretzat zatiki problemak direnak. Baina zenbaki irrazionalen aurkikuntzaren ondorioz, matematikari greko zorrotz haiek nahiago izan zuten problema horiek segmentu neurgarrien arrazoi gisa planteatu. Horrekin batera, kalkulu egile erromatar edo grekoek, praktikan zenbakiak erabiltzen zituzten arren, eragiketak egiteko berriz abakoaren antzeko tresnez baliatzen ziren, eta astronomialariek, balioen hurbilpenak lortzeko, Mesopotamiako zatiki hirurogeitarrak erabiltzen zituzten.Berpizkundean eta Ilustrazioaren garaian aurrerakuntza handiak izan baziren ere, zenbaki irrazionalak oraindik ere zuzenki banako batek mugaturiko zuzenki baten arrazoi gisa hartzen ziren. XIX. mendean eman zitzaien forma zehatza zenbaki irrazionalei, garrantzia eman baizitzaion jarraitasunaren hastapenari. Zenbaki errealen trataera zorrotza Bolzanoren eta Cauchyren lanekin hasi, eta Dedekind eta Weierstrassen teoriekin osatu zen, XIX. mendearen bigarren erdian.Zenbaki konplexuak aski berriak dira. Chuquetek eta Bombellik, Berpizkundean, bazuten haien berri, eta eragiketak egiten zituzten zenbaki negatiboen erroekin, baina definitu gabe. Gauza bera egiten zuen Girardek XVII. mendean. XVIII.ean Moivrek, eta Eulerrek batez ere, erabiltzen zituzten, eta batere arazorik gabe lantzen. Baina zenbakitzat ezagutu, ez dira XVIII. mendearen bukaera arte ezagutzen, Wesselek planoaren puntu gisa identifikatzen dituenean, eta, batez ere, Gaussek interpretazio hori erabilgarri bihurtzen duenean.XIX. mendean ahaleginak egin ziren zenbaki multzoak areago zabaltzeko : zenbaki osoak kentzailea kenkizuna baino handiagoa den kenketa baten emaitza gisa har daitezke, eta zatikiak zehatza ez den zatiketa baten emaitza gisa. Era berean, zenbaki konplexuak, oro har, zenbaki parea dira, parte errealarena bata eta bestea irudizkoarena. Zenbakiak areago zabaltzeko ohiko bidea izaten zen zer gerta zitekeen bi zenbaki konplexu hartzen baziren galdetzea. Horiek izan ziren Hamiltonen kuaternioiak. Zoritxarrez, zenbaki konplexuetan ordena zenbaki errealetan baino eskasagoa bazen, kuaternioiekin, gainera, biderkaketa ez zen trukakorra, eta, hori zela-eta, ez ziren hain interesgarriak. Beste batzuek kopuru gehiago hartuz eta kopuru horiek zenbaki matrizetan ordenatuz gehitu zituzten zenbakiak . Gaussek, bere aldetik, zatiketen hondarretara mugatu zituen zenbakinaturalak, zenbaki kongruenteak definituz. Zenbaki multzoak orokortzeko edo gutxiagotzeko modu hori asko erabili da aljebra modernoan, erabilgarritasun handiagoz nahiz txikiagoz.Baina ez da hori zenbaki motak zabaltzeko modu bakarra. Zenbait geometriatan XIX. mendean infinituaren puntua lantzen hasi zen bezalaxe, beste matematikari batzuek infinitua aritmetikan erabiltzeko erabakia hartu zuten. Hori arrakastaz egin zuen lehena Cantor izan zen seguraski ; horrek ordea matematikari askoren etsaitasuna ekarri zion, Alemaniako matematikari nagusietako batena batez ere, Kroneckerrena. Izan ere, haien iritziz hobe zen infinitua matematikatik kanpo utzi. Dudarik ez da infinitua ez dela zenbaki arrunta. Galileak erakutsi zuen ezen zenbaki bakoitzak bere koadroa duenez gero, koadro bezainbat zenbaki behar dutela izan. Baina 2 edo 3 ez dira ezeren koadro, eta, hortaz, koadro baino zenbaki gehiago dago. Horren ondorioz, zenbaki naturalak beren koadroak adina dira, eta, aldi berean, beren koadroak baino gehiago ; kontraesan bat dago hor beraz. Hilbertek, Cantorren ondorengo baina haren teorien aldeko zenak, modu errazagozagertu zuen kontraesan hori, esanez gela infinitu dituen hotel bat ez dela inoiz beteko. Gela guztiak beteak baleude eta beste bezero bat etorriko balitz, aski litzateke bezero hori lehen gelan sartzea. Lehenengo gelako bezeroa bigarrenera eramaten da, bigarrena hirugarrenera, eta horrela hurrenez hurren.

Denek izango lukete berriz ere gela, nahiz eta hotela betea egon.

Cantorren ustez, hori ez zen kontraesana, elementu kopuru infinitua duen multzoa definitzen duen ezaugarria baizik. Multzo bat infinitua da baldin eta bere azpimultzoko aplikazio bat definitzerik badago halakoa non elementu bakoitzari elementu desberdina dagokion. Berrogeita hamar gelako hotel batean bezeroak, banaka, 49 geletan sartu izatea ezinezkoa da, gela berean bi bezero sartu beharra baitago. Gela infinituko hotelean ez dago horrelako arazorik. Definizio horrekin infinituak bereizi behar dira. Aleph zeroada inifinitu oinarrizkoena, diren zenbaki natural adina elementu dituena.zenbaki errealen infinitua edo jarraituaren infinitua da.

Zenbaki kontzeptu modernoago horiek ez dira hemen landuko.

I. Zenbaki naturalak

Zenbaki naturalen multzoa, N, ondorengo elementu hauek osatzen dute :

Peanoren aritmetikaren hastapenen lehen orria

Peanok 1889an argitaraturiko aritmetika hastapenen lehen orri hau ulertzeko, latinez jakiteaz gainera, latinez idazten baitzuen Peanok, ohar hauek hartu behar dira kontuan :parentesiak edo perpausak bereiztea adierazten duten ikurrak- = ezberdin esan nahi du. Orain nahiago da.C alderantzizkoak inplikatzen du esan nahi du; latinezko "consequd'tik dator. Gaur egunerabiltzen da.ikurrak, berdintasunaren eta multzo baten parte izatearen ikur dira, eta oraindik ere erabiltzen dira.9. axioma indukzioaren hastapena da.Lehen orrialde honen beheko partean, 2 zenbaki naturala delako frogabidea ageri da; eskuineko zutabean frogak daude, eta ezkerrekoan emaitzak-Liburuaoso formalista da, eta ulertzen zaila.

Zenbaki naturalekin egiten diren eragiketak

Zenbaki arteko eragiketa aplikazio bat da, zeinean zenbaki pare ordenatu bakoitzari hirugarren bat egokitzen zaion, eragiketaren emaitza deritzana. Era horretan, bi gehi hiru batuketak bost ematen du, eta lau bider zerok, zero. Eragiketa bat ongi definitua egon dadin, eragiketaren emaitza zenbaki multzo horren beraren parte behar du izan. Eragiketa ez badago delako multzoan definitua, esan ohi da delako eragiketa hori ez dagoela multzo horretan itxia. Hala, adibidez, zatiketa ez dago ondo definitua zenbaki osoen artean, ezen hiru zati sei zatiketak ez baitu emaitza osorik ematen. Zenbaki naturalen bidez definitzen diren bi eragiketak batuketa eta biderkadura dira.a) Bi zenbakiren batuketa + zeinuaz adierazten da, eta "gehi" irakurtzen da: 2 + 3 = 5, bi gehi hiru berdin bost. 2 eta 3 batugai deritzate, eta 5 emaitza da.Zenbaki naturalen batuketa elkarkorra da, hau da, batuketa egiten bada eta horren emaitza beste zenbaki batekin batutzen bada, aurrenekoari bigarrenaren gehi hirugarrenaren emaitza batutzean lortzen den emaitza bera ateratzen da. Hala adibidez :Parentesiek eragiketak zein ordenatan egin behar diren adierazten dute. Hau da, barruan eragiketa sail bat duen parentesiak zenbaki bakarra balitz bezala (parentesiaren barruaren dauden eragiketen emaitza) jokatzen du parentesitik kanpora dauden eragiketei buruz.

Hortaz, parentesiaren barruan dauden eragiketak egin behar dira aurrena, eta gainerakoekin jarraitu gero.Tasun bat betetzen dela adierazteko, letrak erabiltzen dira gehienetan, zenbaki jakinak baino areago :a+(b+c) = (a+b)+c , a, b eta c zenbaki natural guztientzat.Adierazpen horrekin esan nahi da ezen a, b eta c dauden lekuan edozein zenbaki natural ipiniz gero, beti betetzen dela berdintza.

"Denentzat" esapidea " ikurraz adierazten da. a, b, c zenbaki naturalen multzoko barnekoak direla idazteko, laburtu egiten da, honela: a,b,cNBatuketak 0 du bere baitan, hau da, multzo hutsaren kardinala, edozein zenbakiri batuta, emaitza gisa delako zenbaki hori bera ematen duena. Oro har, eragiketa orotan, beste zenbaki batekin eragitean lehena bera ematen duen elementua, elementu neutro deitzen da :Batuketa elkarkorra da, hots, batugaien ordenak ez du emaitza aldatzen :b) Bi zenbakiren biderkadura adierazteko,. ikurra erabiltzen da, edo x. Argi dagoenean eragiketa biderkadura dela, utz daiteke adierazi gabe. Bider irakurtzen da, edo "aldiz" esaten. 2. 3 = 6, bi bider hiru, edo bi hiru aldiz sei da irakurtzen da. Bi zenbaki naturalen (a b) emaitza b aldiz a zenbakia batutzearen emaitza da :Biderkadurak batuketak dituen tasun berberak ditu. Biderkaduraren elementu neutroa 1 da :Biderkadurak batuketari buruz duen banatze legearen bidez loturik daude eragiketok:Banatze legea aplikatzearen kontrakoa, biderkadura batuketa baldin badaukagu, izendatzaile komuna ateratzea deitzen da.Biderkagai komuna ateratzeko, beharrezko da zenbaki bat izatea, biderkagai komuna, errepikatzen dena :Baina :(2. 3) + (5. 7) horrek ez du izendatzaile komunik zenbaki naturalen artean.Eragiketa nola dagoen adierazia, interesgarriagoa izango da batzuetan biderkagai komuna ateratzea eta besteetan elkartze legea aplikatzea.c) Kenketa eta zatiketa.Zenbaki naturalen batuketaren eta biderkaduraren emaitza beste zenbaki natural bat izaten da. Baina alderantzizko eragiketak egiten badira, emaitza ez da beti hori izaten.Hala adibidez, 4 + 2 = 6 eragiketan, jakin nahi baldin bada zein zenbaki erantsi behar zaion 4ri 6 lortzeko, erantzuna 2 da. Sei ken lau kenketaren emaitza 2 dela esaten da, 6 - 4 = 2. Baina jakin nahi bada zein zenbaki erantsi behar zaion 6ri 4 lortzeko, ez dago soluziorik . Eragiketa hori ezin da zenbaki naturalak erabiliz egin, ezin baita 4 lortu 6ri zenbaki positibo bat erantsiz.Baldin a + b = c bada, orduan a = c - b ; eragiketa horri kenketaderitza, eta marratxo batez adierazten da (-). c zenbakiari, kentzenzaionari, kenkizun deritza, eta b zenbakiari, kenkizunari kentzenzaionari, kentzaile.Zatiketa biderkaduraren kontrako eragiketa da. Baldin a = b • c, orduan esaten da a zati b berdin c. a zenbakia zatikizuna da, b zatitzailea, eta c zatidura. Zatiketa : ikurraren bidez adierazten da, / bidez edo + bidez.2 • 4 = 8, baldin badugu, esaten da zortzi zati bi lau dela, hau da,Kenketan gertatzen den bezalaxe, eragiketa hori ere ezin da kasu guztietan egin, 4 ezin baita, adibidez, 8z zatikatu. Zatiketa horren emaitza banako erdia izango litzateke, eta hori ez da zenbaki osoa.Oro har, esaten da a zati b c dela, baldin b bider c berdin a bada.Kenketa eta zatiketa ez daude N-n ondo definituak, eta bi eragiketa horiek ez dira trukakor, ez elkarkor.Ezin egin daitezkeen kenketen arazoari irtenbidea emateko, zenbaki naturalei zenbaki oso negatiboak eransten zaizkie, eta era horretan zenbaki osoen multzoa lortzen da. Zatiketari dagokionez, zatikiak ere erabiltzen dira, eta, horiei dagozkien negatiboekin batera, zenbaki arrazionalak osatzen dituzte.d) Zatiketa osoaZenbaki naturalen eta osoen artean, beste zatiketa bat ere definitzen da da, zatiketa osoa deitzen dena. 7 :3 zatiketak ez du emaitzarik, zeren bi bider hiru 6 baita, eta hiru bider hiru 9. Zazpi zati hiru adierazpenaren zatiketa osoa egitea, emaitza 2 dela, eta hondarra 1, esatea da. Zenbaki osoen arteko edozein zatiketa egin daiteke definizio hori erabiliz. Bereziki, 6 : 3 = 2 baldin bada, esaten da 6 zati 3 eragiketaren emaitza 2 dela, eta hondarra 0.Zatiketa osoan a zenbaki bat izaten da, zatikizun deritzana, eta beste bat, b, zatitzaileizenekoa ; a zati b zatiketa osoa baldin bada, bi zenbaki, zatidura izenekoa bata eta hondar izenekoa bestea, lortuko dira, baldintza hauek betetzen dituztenak : zatikizuna da zatitzailea bider zatidura gehi hondarra, hondarrak zatizailea baino txikiagoa izan behar duela :Zatiketa osoa zenbaki naturalen artean egin daiteke, eta orobat zenbaki osoen artean, aldaketaren batekin. Hala ere, ez du zentzurik zenbaki arrazional eta errealetan.Ordena Bi zenbaki natural hartuta, a eta b, a b-ren berdina edo handiagoa dela esaten da,baldinbat badago halakoa non b + c = a.

N-ren barruan zero zenbakia ere badagoposible izan dadin.Hala adibidezedoEsaten da, zehaztasunez, a b baino handiagoa delahalakoa non a = b + c. Kasu horretan ez da gertatzen a = b.Zenbaki naturalen ordenamenduak ordenazko erlazio baten tasunak betetzen ditu :Baldinetaorduanetaizan behar du.Baldinetaorduanizango da.Ordena zorrotzean, ez dira lehen bi tasunak betetzen.Ordena eragiketa hauetan gordetzen da :Baldinetahau beteko da :Baldinbada, orobat izango daBaldinbada, orobat bateko daBiderkaduranetabertetzen da, beti ere a eta b ez badira ez 1 ez 0. Baldinbalio badu, orduanBaldinorduanAlderantziz, zenbaki naturalen biderkaduraren definizioak hau inplikatzen du :baldin bada,edoizan beharko du.Zenbakien multzoa lerro zuzen baten gainean irudikatzen da, jatorrizko 0 puntu batekin, eta ondoz ondoko zenbaki oso positiboei dagozkien puntuak aurkitzeko balio duen banako batekin.

Usadioz, zeroaren eskuinera ipinita irudikatzen da :Hor ageri denez, N multzoa ez dago bornatua ;bat eman da, beti izaten da

Numerologia

Bada jendea zenbakiak magikoak direla sinesten duena, eta zenbakien bidez etorkizuna asmatzen saiatzen dena. Antze horri numerologia deitzen zaio. Horretan interesik duenak, irakurri dezala idatzi hau, Pitagorasek idatzitzat ematen dena, eta Pitmenea edo zenbaki pertsonala zein den jakiteko, eta, hori jakinda, lehiaketa bat nork irabaziko duen asmatzeko bidea ematen duena.Parisko Nazio Liburutegiko grekozko bilduman dago eskuizkribua."Pitagorasek Telaugesi : Agur!"Ikasketa luzeak eta saio ugari egin ondoren, taula baliotsu askoa duen idatzi labur hau bidaltzen dizut ; izan ere, oraina, iragana eta etorkizuna ezagutu ahal izango baititu, aurretik dituen azalpenei esker, taula hau eskura duenak.Hona nola egin behar duzun, esan dizudanez, ondoren datorkizun bederatzigarren taularen froga. Har itzazu prozesuren batean, borrokaldi batean, edo, oro har, garaipen, sari edo koroa lortzeko lehian, dabiltzan bi arerioren jaiotza izenak, ez goitizenak. Hona nola egiten da letren kalkulua :eta horrela, hurrenez hurren, ondorengo letrentzat.Batuketak egin ondoren, bi eskuez, zein bere aldetik, ken 9 ahal duzunaldi guztietan, eta idatz itzazu emaitzak ; bila itzazu gero zenbaki horiek taulan, eta jakingo duzu nork irabazi behar duen eta nork galdu, halaxebaitaude zenbaki garaileak adieraziak.Hala, adibidez :[Hektor] : 5 + 2 + 3 + 8+ 1 = 19, eta bi bider 9 kenduta, 1 geratzen da.[Patroklos] : 8 + 1 + 3 +1 + 7 + 2 +3 + 7+ 2 = 34, eta 9 hiru bider kenduta, 7 geratzen da.Hektorrentzat 1 geratzen zen. Taulan bilatu, eta ikusiko duzu lek 7garaitzen duela, eta gauza bera egin behar da kasu orotan.Bi lehiakideek zenbaki bera ematen baldin badute, hona nola ezagutuko duzun garailea : 1 eta 1 geratzen baldin bada, akusatzen duena edoerronka egiten duena da irabazle ; 2 eta 2 geratzen bada, bere burua defenditzenduena, 3 eta 3 denean, eraso egiten duena, eta, oro har, zenbaki bakoitietan erasotzaileak irabazten du, eta bikoitietan berriz akusatuak eta erronka egin zaionak.Lapurra nor den jakin ahal izateko, susmagarrien izenak hartzen dirabinaka eta berriz ere egiten da epaiketa, lehen irabazle bikoteekin bezala.

Irabazle ateratzen dena da lapurra.Erregela hori bera senar-emaztegai bikote baten izenei aplikatzen bazaie, irabazleak izango du ezkontzan bentaja ; bi pertsonaren izenei aplikatzen bazaie, edozeini, irabazleak bizitza luzeagoa izango du, eta hondarrakberdinak badira, gazteena hilko da aurrena ; bidaiari baten izenari eta abiatu den hiriaren izenari aplikatzen bazaie, bidaiaria bada garaile, bidaia zoriontsua izango du ; gaixo baten izenari eta gaixotu zen egunaren izenari aplikatuta, egunak irabazten badu, hilgarria izango da gaixotasuna, etaberdinketa baldin bada gaixoa sendatu egingo da, azkar sendatu ere hondarraPitmenea, hau da, zenbaki pertsonala, 1-9 artekoa zen, ez 0-8 artekoa, egun hondarrekin egiten den bezala. Pitagorasek letra grekoak erabiltzen bazituen ere, latin letrak ere baliagarritzat jo daitezke, a, b, c etab. ipiniz,

II. Zenbakitze sistemak

Zenbaki bat badago ahoz transmitzerik, idatziz, edo kontatzeko eta kalkulatzeko erabili diren tresnen bidez. Kasu guztietan, zenbaki kopuru jakin batera iritsita, zenbakiak ordenatu eta taldekatu beharra izaten da. Banakoak biltzeko modua, eta taldeak kontatzekoa, aldatu egiten da erabiltzen den prozeduraren arabera, baina, nolanahi ere, zenbakitze sistema bat behar da sistema orotan, eta oinarri bat, hau da, goragoko mailako banako bat lortzeko abiapuntu izango den zenbaki kopurua, hortik berriz kontatzen hasteko . Zenbakitze sistemaren oinarri hori 10 izaten da, baina ez beti.

Ondoren, zenbakitze sistema desberdinak aztertuko dira.

Kontatzeko tresnak

Giza gorputza bera da, antzina-antzinatik, kontatzeko gehien erabili den tresna. Normalena hatzekin kontatzea izaten da, eta, hamarretik gora, hamarra gainditu diren aldiak aparte kontatzea. Horregatik, 10 da zenbakitze sistemetan oinarririk erabiliena. 20 ere hartzen da oinarritzat, hatzekin eta behatzekin eginez kontaketa, edo 12, hatzak eta eskumuturrak baliatuz. Bada Papuan tribu bat, izan, gorputz osoarekin kontatzen duena. Eskuineko eskuko hatz txikiarekin hasten dira kontatzen ; hori da 1, eta gero gorputzarekin, buruarekin, ezkerreko eskuarekin eta abar, 41 arte jarraitzen dute beheraka, ezkerreko oineko behatz txikira iritsi arte. Ernalkinei 27 zenbakia dagokie.

Kontatzearen arrasto zaharrenak hezur, egur edo harrietako kosketan aurkitu dira. Ez dago ziur esaterik koska horiek bestetarako ere erabiltzen ote ziren, eskua ez irristatzeko adibidez, orain kontatzeko modua gogorarazten diguten arren.Badakigu erromatarrek harriak, "calculi", erabiltzen zituztela.

Zenbaki handietarako ez dute balio, oso zaila baita bildu diren harri guztiak kontatzea. Bi eratako irtenbideak erabiltzen dira, edo erabiltzen ziren : edo harriak bereizi, balio desberdinak emanez, edo lerroka edo piloka ordenatu.Buztinezko pieza batzuk aurkitu dira, sumeriatarrek duela 6000 urte zenbatzeko erabiliak.Antzeko baliapideak aurkitu dira beste zibilizazioetan ere. Azken finean, billeteekin eta txaponekin ordaintzearen antzeko gauza da harritxoekin eta kontatzea. 5 billete baditugu, eta 7 txanpon mota, ordaindu beharreko zenbatekoa billete eta txanpon horien batuketa da. Erosoagoa da hori balio bakarreko ehundaka txanpon pilatzen ibiltzea baino, baina piezek ez dute oso desberdinak izan behar, eta elkarren artean erlazio gogoraerraza behar dute izan, ez dadin oso zaila gertatu eskaturiko kopurua osatzea. Oro har, errazagoa dirudi banako, hamarreko eta ehunekoekin lan egitea, eta hamar, ehun eta mila banakako billeteekin, libra bat izatea baino, hamabi peniketan zatitzen diren hogei txelin balio duena. Zatiketa hori erabili izan da ordea, batere arazorik gabe, urte askoan Ingalaterran. Balio nagusiko pieza, kopuru handietan, askotan errepikatu beharra dagoela da metodo horren eragozpen nagusia, eta horixe izaten da arazoa diru likidoa kopuru handietan lekuz aldatu behar denean.

Zenbakitzea hizkuntzan

Zenbakiak adierazteko beste modu bat hizkuntza mintzatua da.

Ageriko gauza da hizkuntza guztiek dutela halako erregulartasun bat zenbaki handiak osatzerakoan ; txikietan berriz ugaritasuna handia da. Horren ondorioz, badirudi zenbakitze sistemak oso desberdinak zirela antzina, eta berdindu egin direla denborarekin.Oinarriak era askotakoak dira. Ameriketako ehundaka indiar tribuetan egindako ikerketak adierazten duenez, oinarririk erabiliena hamarra da, edo hamarra bosteko oinarriarekin nahastuta. Ikertu diren hamar tribuetatik batek besterik ez zeukan 20ko oinarria.Hona zenbaki txikiak adierazteko modua, egun erabiltzen diren nahiz desagertu diren hizkuntzetan :

Zenbakiak idaztea

Mundu osoan, zenbakiak idazteko, oro har, 10 oinarriko posizio sistema erabiltzen da, hamar zifra desberdin erabiltzen dituena : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Zifrak idazteko modua apur bat desberdina da arabiar herrietan, Indian eta Mendebalean, baina zifrak berberak dira, eta jatorria ere bera dute.Egoera hau ordea berri samarra da, historian zehar bi joera izan baitira zenbakiak idazteko. Alde batetik, zenbait zibilizaziotan, balio jakin batzuk ikur jakinei egokitzen zitzaizkien, eta horietatik abiatuta, erantsiz, sortzen ziren gainerako kopuru guztiak. Kultura askok erabili dute bide hori. Egiptoarrek, erromatarrek, grekoek, aztekek edo juduek, adibidez, idazkera sinbolikoa erabiltzen zuten, ez posizioaren araberakoa. Zenbaki sistema horiek arazoak sortzen zituzten, ikur bera askotan errepikatu beharra baitzegoen, edo bestela ikur asko eta asko erabili behar zituzten zifra handiak idazteko.

Posizioaren araberakoak ez diren sistemek beste arazo bat ere badute, alegia, ez dute balio eragiketak egiteko.Egiptoar sistemak, adibidez, 7 ikur zituen, 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000-ko kopuruei zegozkienak.Zenbaki bat idazteko, ikurra behar zen aldi guztietan errepikatu beharra zuten, hurrengora iritsi arte. Hala adibidez, letik 9ra eta l0etik 90era honela idazten zen :Eta, hortaz, 1729 bezalako zenbaki bat honela idazten zen :Zenbakiak idazteko modu hau oso pisua gertatzen da, eta ez da batere erosoa kalkuluak egiteko.Zenbakitze sistema errazteko erregelak bilatzen ahalegindu ziren erromatarrak, baina hala ere ez zuten sistema arin bat osatzerik lortu.

Erromatar sistema zazpi ikurretan oinarritzen zen : I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, M = 1000.Alabaina, erregela hauek zituzten idazkera soiltzeko :- Zenbaki handienetik hasi. Hala adibidez, MDCLXVI 1666 da.- M, C, X eta I ikurra errepikatu, hiru bider arte ; baina ez V, L, eta D. Hala adibidez, MMI 2001 da, eta CCCVI 306.- Batu behar diren zenbakiak eskuinean jarri, ordenatuta. Hala, MCLVI, 1156 da.- I lau bider jarri behar bada, ez da 1111 idazten, IV baizik ; I ikurra ezkerrean egoteak eta desordenaturik kendu egin behar dela esan nahi du. Ken daitezkeen ikurrak I, X eta C dira. Hala adibidez, MCMXCIV 1994 da.Bider mila egin behar dela adierazteko, marra bat ipintzen da gainean, bi marra bider milioi egiteko, etab. Hala adibidez, LXXXII, 82000 da.Erromatarrek, beste zibilizazioek bezala, aldatu zituzten gauza batzuk zenbakiak idazteko moduan, baina hauxe zen aurreratuena, eta ez zen praktikoa : zenbaki idatziak luzeegiak ziren, eta ez ziren oso erabilgarriak eragiketak egiteko. Erromatar inperioaren garaian, oholtxoekin edo abakoekin egiten ziren kalkuluak, eta zenbaki idatziek emaitzak adierazteko besterik ez zuten balio.Posizio idazkera da gaur egun erabiltzen dena. Zifren ikurrak 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dira, baina zein posizio duten zenbaki osoan, ikur horien balioa 10, 100, 1000 etab. aldiz biderkatua egon daiteke . Hala adibidez, 1221 zenbakian, ikur berak, lak, mila balio du laugarren posizioan dagoenean, eskuinerantz kontatuz, eta bat aurrenekoan dagoenean ; 2ak berrehun balio du hirugarrean, eta hogei bigarrenean. Posizioaren arabera balioa aldatzen ez zaion ikur bakarra zeroa da, beti zero balio baitu.Posizio zenbakiak, gaurko idazkera sistema izateaz gainera, duela 3000 urte baino gehiago erabili ziren Babilonian. Baina bi ikur besterik ez zuten idazteko, bat banakorako, 1, eta bestea l Oerako, 10 :Ikur horiek elkartuz 60raino iristen ziren, eta horixe zen beren zenbaketa sistemaren oinarria. Horregatik, oso handiak izaten ziren sistema horretan idatziriko zenbakiak. Bazen beste arazo bat ere : zeroaren lekuan toki bat libre uzten zuten, eta hutsune hori zaila izaten zen bereizten ; hori dela-eta, ez da erraza izaten idatzitako zenbakia 60 + 1 edoote zen jakitea. Horrek arazo handiak sortzen zituen, harik eta K.a. 111 mendean zeroarentzako notazioa erantsibaina koma falta zutenetabereizteko. Alabaina, hau izan zen, dudarik gabe, Antzin Aroko sistema aurreratuena, eta, horrexegatik, badira oraindik ere magnitude batzuk, hala angeluak edo denborak, oinarritzat hirurogeia erabiltzen dutenak. Txinatarrak ere posizioaren araberako notazioaz baliatzen ziren, baina arazo bera zuten : Oarentzako ikurrik ez zutenez gero, ezin zituzten, adibidez, 1, 10, 100 edo 1000 bereizi. Batzuek hutsuneak uzten zituzten, beste batzuek banakoei zegozkien ideogramak eransten zituzten gauzak argitzeko. VIII. mendean, indiarren eraginpean, 0a erabiltzen hasi ziren.Maiek 20 oinarria zeukan posizio idazkera erabiltzen zuten, eta zeroa ere ezagutzen zuten. Zoritxarrez, haien banakoak ez ziren, espero zitekeen bezala, 1, 20, 400, 8000 ; aitzitik, 20, 360, 7200 erabiltzen zuten, 360 eguneko urteekiko zatiketa astronomikoei hobeto egokitzeko ; hala, zenbatze sistema hori ez zen oso egokia gertatzen kalkuluak egiteko.Eransketa bidezko indiar posizio idazkera, IX. mendean zeroarekin osatua, arabiarrek hartu zuten, eta haiengandik europar herrietara igaro zen Sizilia eta Espainiatik barna. Idazkera honek 10 du oinarria, baina orobat erabil zitezkeen beste oinarri batzuk ere.OinarriaHamartar idazkeran, zenbaki bat idaztean, zifra batek duen balioa da balio hori bera bider 10, eskuinean dituen zifra kopuruarekin bat datorren zenbakiaz berretua.Hizkuntzarik gehienetan zenbatzearen oinarria 10 zenbakia denez gero, sistema horretako zenbakiak oso erraz irakurtzen eta ulertzen dira, kalkuluak egin beharrik gabe. Sistema hau 10 oinarrikoa dela esaten da, berretzaileak posizio bakoitzean dauden zifrez biderkatzen direlako. Baina horren pareko beste zenbaketa sistemak ere izan daitezke, bestelako oinarriak erabiliz, 5, 12 edo 20 adibidez.

Hala, 5 oinarriko 124 zenbakiak esanahi hau izango luke :

Oinarri batetik bestera aldatzea.

Hamar oinarrian idatzirik dauden zenbakiak n oinarrira aldatzeko, hainbat aldiz zati n egin, eta hondarrak hartzen dira kontuan ; hondar horiek izango dira eskatu den oinarriko zenbakiaren zifrak :• Adibidea: 7ko oinarrian idatzi 423 1.Alderantziz, zenbaki bat baldin badaukagu edozein oinarritan datzia, eta ohiko 1 Oeko oinarrira aldatu nahi bada, dagoen lekuari iagokion oinarriaz berretzen da zifra bakoitza :Idazkera bitarrean idatzitako zenbakiek zifra asko behar dituzte :enbaki txikiak adierazteko, hala adibidez :111 zenbakia 2ko oinarrian idazteko :Hain zenbaki luzeak ez erabiltzeko, Oko oinarrira aldatzen dira zenbaki bitarrak, zifrak pareka elkartuz, hala adibidez :Eragiketa hauek oinarriaren definizioaren bidez eta zenbaki osoen arteko eragiketen tasunezjustifikatzen dira, eta, hortaz, urrats guztiak esplizito agertu gabe ere honela idatz daiteke :Izan ere, pare bakoitzean, 4ko oinarrira igarotzeko, lehenengoak bere balioa bider bi balio du, eta bigarrenak bere balio bera. 8ko oinarrira aldatu nahi baldin bada, hirunaka hartzen dira :Hirukoetan, lehenengoa bider 4 biderkatzen da, bigarrena bider 2 eta azkena bider 1.Orobat erabiltzen da informatikan 16ko oinarria. Kasu horretan, 4naka hartu behar dira zenbakiak :Alderantziz, agindu bat 16ko oinarrian baldin badago, ez da batere zaila sistema bitarrera aldatzea :Justifikazioa 4ko oinarriko bera da, baina kontuan izanikBaldin badaukagu

III. Zatikortasuna zenbaki naturaletan

Zenbaki natural bat (a) beste batez (b) zatika daiteke, baldin egiaztatzen bada badela c bat non a = b.c, eta honela adierazten da :Hala adibidez, 36 12z zatikorra da, zerenEsaten da zenbaki natural bat (a) beste baten (b) anizkoitza dela, beste bat baldin bada (c), hau betetzen duena. Hala adibidez,ren anizkoitza da, ezenBaldintza berbera da bi kasuetan, eta anizkoitzaren eta zatitzailearen harteko erlazioa elkarrekikoa da. Horregatik, zenbaki naturalen zatikortasuna aztertzerakoan lortzen diren emaitzak berdin aplika dakizkieke anizkoitzei.Zatikor izatearen erlazioa iragankorra da. 3k 12 zatitzen badu eta 12k 36, orobat zatitu behar du 3k 36. Zatikortasuna zenbaki naturalak ordenatzeko modua da :1. Zenbaki natural orok zenbaki hori bera zatitzen du. Adibidez, 6 zati 6 egin eta 1 ematen du.2. Zenbaki natural batek beste bat zatitzen badu, eta bigarrenak aurrenekoa zatitzen badu, lehena eta bigarrena zenbaki berbera dira.dela, eta nk 6 zatitzen badu,dela, nahita nahiez izan beharko du n=6.3. Lege iragankorra : a-k b zatitzen badu, eta b-k c zatitzen badu, a-k c ere zatituko du.Baina zatikortasunak ordea ez ditu oso-osorik zenbaki naturalak ordenatzen, bai baitira zenbaki pare asko konparaezinak. 4k ez du 9 zatitzen, ez 9k 4, eta badira beste zenbaki pare asko horixe bera gertatzen zaiena. Horregatik esaten da ez dela ordena osoa. Ohiko handia edo berdina bezain osoa ez den ordena da.Zenbaki baten anizkoitz izatearen edo zenbaki baten zatikor izatearen motako baldintzetan oinarriturik, era askotako sailkapenakegin daitezke. Hala, adibidez, biz zati daitezkeen zenbakiei, edo biren anizkoitz direnei, bikoiti deritzaie. Zenbaki bikoiti bat idatz daiteke oro har, k naturala izanik. Biz zatikor ez direnei bakoiti deritzaie. Eta horrelaxe egin daiteke beste askoren definizioa ere. Multzo horietan bada bat bereziki interesgarria, zatikor ez diren zenbakiena, hau da, zenbaki lehenen multzoa.Zenbaki lehenakZenbaki lehen deritzaio zenbaki horrez beraz eta banakoaz bakarrik zatikor denari. Usadioz, 1 ez da zenbaki lehenen artean ipintzen, zeren lak zenbaki guztiak zatitzen baititu, baina ez dago bera zatitzen duenik.Adibide baterako, 3 lehena da, 2k ez baitu zatitzen, eta ezin da bera baino beste zenbaki handiago batez zatitu. Lehena den zenbaki bikoiti bakarra 2 da ; 2z ere zati daiteke 2 ez den beste edozein zenbaki bikoiti.3, 5 eta 7 zenbaki lehen bakoitiak dira. Baina 9 lehena ez den bakoitia da, ezen11 lehena da, eta badira hortik aurrera beste zenbaki lehenak ere, ondoko teorema betetzen baita :Teorema : zenbaki lehenen hurrenkerak ez du bornerik.Alegia, zenbaki lehenen kopurua mugagabea da.Horren froga absurdura eramanez egiten da. Eman dezagun ez dela esandakoa betetzen, eta zenbaki lehenak n elementuko multzo mugatua direla :p zenbaki bat kalkulatzen da, balio honekin :p zenbakia lehena izan daiteke ala bestelakoa. Lehena bada, faltsua dadirela zenbaki lehen bakarrak, p ere halakoapaita. Lehena ez bada izango da zatituko duen zenbakiren bat, q eman dezagun. q lehena ez badazatitzaile bat izango du, eta horrek, q zatitzen duenez gero, p ere zatituko du.denez gero, azkenean p-ren zatitzaile lehen bat lortzen da, 1 baino handiagoa izan behar duena. Baina zatitzaile horrek ezin du izan, zeren horietako edozeinez zatitzean hondarra 1 baita, p zenbakia lortu den moduagatik. Hortaz, beste zenbaki lehenen bat izan behar du, ez dena,Zenbaki lehenen hurrenkera beraz mugagabea da.Horren ondorio da zenbaki elkartu oro zenbaki lehen batek zatitzen duela ; aritmetikako funtsezko teorema aztertzean ikusiko da hori berriro.Teorema horrek gainera zenbaki lehenen hurrenkera mugagabe bat lortzeko modua eskaintzen du :Hasten da adibidez, 2, 3, 5, 7rekin. Biderkaketa eginez eta 1 erantsiz zenbaki hau lortzen da :Lehena ote den ikusten da, eta, lehena ez bada, zatitzaile lehen bat bilatzen zaio, 2,3,5,7 ez dena. Kasu horretan, 211 lehena da. Honela jarraitzen da :

Nola jakiten den zenbaki bat lehena den ala ez

Zenbaki bat lehena den ala ez jakiteko, aski da ikustea ea bera baino zenbaki lehen txikiago batez zati daitekeen, zeren, zenbaki elkarturen batek zatitzen baldin badu, orobat zatituko baitute zenbaki horren zatitzaile lehenek ere.Hala adibidez, 2311 zenbakiari dagokionez, lehena ote den jakiteko, 2, 3, 5, 7 eta abarrez zati daitekeen ikusi behar da. Aztertu beharreko zenbaki lehenen zerrenda mugatzeko, kontuan hartzen da ezen, lehena ez bada, bi zenbakiren biderkadura izango dela delako zenbakia:. Bi biderkagaiak berdinak badira,

Erastotenesen taula

Zenbaki lehenak taula batean ordenaturik edukitzea oinarrioinarrizkoa da eragiketak egiteko, eta, hasteko, zenbaki bat lehena den ala ez jakiteko. Taula hori lortzeko, Erastotenesen bahea deritzan metodoa erabiltzen da.Eman dezagun 100 baino txikiago diren zenbaki lehen guztiak zein diren jakin nahi dela. Hasteko, denak idazten dira. Ondoren marra batez ezabatzen dira elkartuak. Lehen zenbaki lehena 2 da; hori utzi, eta bere anizkoitz guztiak ezabatzen dira, hau da, zenbaki bikoitiak. Ezabatu gabe geratu den lehena 3 da ; horrek ere lehena izan behar du, ez baitago zatitzen duen bera baino zenbaki txikiagorik. 3ren anizkoitzak ezabatzen dira. Aski da 9tik hastea, zerenezabatua baitago, tren anizkoitza baita. Ezabatu gabeko hurrengoa 5 da ; horren anizkoitzak ezabatzen dira, 25etik hasita,5en 25 aurreko anizkoitzak ezabaturik baitaude, tren edo 3ren anizkoitz baitira: 10 = 5.2, 15 = 5.3, 20 = 5.2.2. Ezabatu gabeko ondorengoa 7 da, eta Tren anizkoitzak ezabatuko dira hortaz, 49tik hasita. Hurrena 1 1 dator ; 11 ten koadroa 121 da, alegia, 100 baino handiagoa. Beraz, lehenak dira ezabatu gabe geratu diren 100 baino zenbaki txikiago guztiak.. Ezabatu gabeko ondorengoa 7 da, eta Tren anizkoitzak ezabatuko dira hortaz, 49tik hasita. Hurrena 1 1 dator ; 11 ten koadroa 121 da, alegia, 100 baino handiagoa. Beraz, lehenak dira ezabatu gabe geratu diren 100 baino zenbaki txikiago guztiak.Metodo honek, 100erainoko zenbakietan, emaitza hau ematen du :Hauek dira lehen laurogei zenbaki lehenak :Ikusten denez, gero eta gutxiago dira zenbaki lehenak, baina ez dirudi arau jakinik betetzen dutenik. Hipotesi bat baino gehiago egin da zenbaki lehenak zuzenean lortzeko formei buruz. Hala adibidez, Fermatek, XVII. mendean, kasu hauetan zirela f(n)-ak lehen proposatu zuen :Eulerrek aurkitu zuen f(5) zenbaki elkartua dela ; geroago ikusi da hortik aurreko balio guztiak ere elkartuak direla. Badira beste batzuk bakunagoak, hala :Horiek, polinomioak direnez gero, ezin dute beti zenbaki lehenik eman, baina aurrenekoak zenbaki lehenak ematen ditu n<41 zenbakientzat, eta, bigarrenak, n<80 zenbakientzat.Ez da aurkitu zenbaki lehenen hurrenkeraren garapena finkatzeko modurik; zenbaki berriak banan-bana konparatu behar dira aurrekoekin. Frogatu da, hori bai, analizaturiko zenbaki naturalen kopuruak gora egin ahala, gutxitu egiten dela zenbaki lehenen kopurua. n baino txikiago diren zenbaki lehenen kopuruak-k gora egiten duenean, azterturiko zenbaki guztiei buruz, n-ren nepertar logaritmoari buruz 1 den bezalakoa izatera jotzen du. Alegia, zenbaki lehenen teoremaren arabera, hau betetzen da :

Zenbaki elkartuak

Zenbaki elkartuak dira banakoaz eta zenbaki horrez beraz gainera, beste zenbakiren batez ere zati daitezkeenak.Zenbaki elkartuak zenbaki lehenekin erlazionaturik daude aritmetikako teorema oinarrizkoenaren bidez : Teorema:zenbaki natural oro biderkagai lehenen biderkaduran deskonposa daiteke, eta deskonposatze hori bakarra da, biderkagaien ordenan izan ezik.

Har dezagun, adibidez,Har dezagun, adibidez, 5544 = 2.2.2.3.3.7.11. Teorema honek dioenez, ezin da beste adierazpenik aurkitu biderkagai lehen desberdinekin, edo bi gehiago edo hiru gutxiago izango duenik adibidez, eta biderkatuta 5544 zenbakia emango dutenik. Hori adierazi nahi da adierazpen bakarra dela esaten denean. Salbu eta biderkagaien ordenari dagokionez, zerenhartuta, eta biderkagai horien artean egin daitezkeen permutazio guztiak eginda ere, emaitza beti izango baita 5544, biderkaduraren trukakortasun legea dela-eta.Teorema honen frogak bi parte ditu : lehena deskonposatzerik badela frogatzea da, eta bigarrena deskonposatze hori bakarra dela.1. - Deskonposatzea badela: deskonposatu beharreko zenbakia lehena nahiz elkartua izan daiteke. Lehena baldin bada, egina dago froga. Zenbaki elkartua bada,. Eman dezagun a dela bi biderkagaietan txikiena. Lehena izan daiteke, edo ez. Lehena ez bada, hori ere bi biderkagaitan deskonposatu ahal izango da, eta horrela jarraitu eragiketak egiten. Prozesu horrek ordea ezin du mugagabea izan, zatitzaileak zenbakiak baino txikiagoak izaten baitira beti, eta zatitzaile guztiek bat baino handiagoak izan behar dute. Beraz, azkenean zatitzaile lehen bat lortzen da,adibidez. Honela idatz daiteke :Baina m-rekin n-rekin egin den arrazoibide bera erabil daiteke, eta zenbaki lehen bat lortuko da,. Orduan :Modu berean jarraitzen da eragiketak egiten, harik eta zenbaki lehen bat geratzen den arte. Hala gertatu behar du, zerenhau da, partekako zatiduren hurrenkera beheranzkoa da, eta bat baino handiagoa ; hortaz, ezin da balioa mugagabe gutxitu. Azkeneko balioabada, hona iritsiko gara :Beraz, edozein zenbaki elkartu, n, deskonposa daiteke biderkagai lehenetan.2. - Biderkadura hori bakarra dela frogatzea. Horretarako, abaipuntu hau hartuko dugu : p zenbaki lehen batek a.b biderkaketa zatitzen badu, orduan p-k gutxienez biderkagaietako bat zatitzen du.

Hau da,zatitzen badu, edo 3k 35 zatitzen du, edo biak zatitzen ditu. Hori onartuz gero, n bi modu desberdinez adieraz badaiteke zenbaki lehenen biderkaketa gisa :Eman dezagun biderkagaiak bi ataletan daudela ordenaturik, eta adierazpen bateandela txikiena, etabestean.zatitzen dituenez gero, orobat zatitu beharko ditu q-etako batzuk ere. Eta denak zenbaki lehenak direnez gero,horietako baten berdina izan beharko du. Eman dezagun qk-ren berdina dela. Ordenaturik daudenez gero. Baina arrazoibide hori q-etatik hastea ere badago, eta berdin aterako lirateke; hortaz, aukera bakarraBerdintzatiketa, ezabatzen dira ; geratzen dena ere berdina izango da, eta arrazoibide bera aplikatu ahal izango zaio. Hortaz,eta, kendu ahal izango dira. Era horretan jarrai daiteke, p-ak edo q-ak, edo biak, bukatu arte. 1 = 1 geratzen baldin bada, horrek esan nahi du bi deskonposatzeak berdinak zirela, eta faltsua zela lehenen biderkaketari buruz desberdinak ziren bi deskonposatzetatik abiatu garela. Biak bukatzen ez badira, eman dezagun bigarren formaren biderkagaiak bukatzen direla, eta hau geratzen dela :

Biderkagai leheneko deskonposatzearen algoritmoak

Zenbaki bat bere biderkagai lehenetan deskonposatzeak lagundu egiten du zatikortasun problemetan. Zenbaki bat deskonposatzeko bere zatitzaile txikienak bilatu behar dira, eta aurkituriko biderkagaiak banatu, hurrengo biderkagaia bilatzen jarraitzeko, biderkagai hori ere lehena izan arte. Biderkagaiak ez ahazteko, komeni da eragiketak behar den ordenan egitea.Har dezagun adibidez 12936 zenbakia. Erro koadroa 113 baino handixeagoa da, eta, hortaz, izan ditzakeen zatitzaile lehenak 113ren berdinak edo 113 baino txikiagoak dira. Zein diren aurkitzeko, onena txikienekin hastea da, horiek baitira aurkitzen errazenak.

12936 zenbakia tren anizkoitza da, eta, zatiketa eginda :6468 ere biz zatikorra da, eta hortaz, zati bi egiten jarraitzen da, harik eta zatidura bakoitia den arte :Hurrengo zenbaki lehena 3 da; begiratzen da ea 3z zati daitekeen 1617. Halaxe da :Berriz ere 3z zati daitekeen begiratuta, ezetz ikusten da. Hurrengo zenbaki lehena 5 da, eta 5ez ere ezin da zatitu. Irekin jarraitzen da ; 7k zatitzen du 539, eta zatidura 77 da, hau da,Azkeneko zatidura, 11, zenbaki lehena da, eta, hortaz, amaitu da deskonposatzea. Era honetan adierazten da :Garrantzitsua da ordenari eustea, eta biderkagairik batere ez ahaztea.Normalean, marra zut bat idazten da ; marraren alde batean zenbakia eta partekako zatidurak ipintzen dira, eta bestean ateratzen diren partekako zatidurak.

Zatikortasun irizpideak

Hemen landuko diren zatikortasun irizpideak hamartar sisteman idatziriko zenbakientzat dira. Sistema horretan, edozein zenbakik, 1998k adibidez, balio hau du :Eta problema sinplifikatu ere egin daiteke, hamarren berredurak aztertuz.a) 2k 10 zatitzen duenez gero, batugai guztiak, 8 izan ezik, zatikor izango dira ; hortaz, batuketa ere biz zatitu ahal izango da, 8 2z zati daitekeelako.Zenbaki bat, oro har, zatikorra da biz, zeroz edo zifra bikoitiz amaitzen baldin bada.b) Jakin nahi bada ea 1998 3z zatikorra ote den, kontuan izan behar daetab... beraz :Banatze legea aplikatuz, eta biderkagai komuna ateraz :Hortaz, 1998 hiruz zatikor izango da, baldin osatzen duten zifren batuketa ere 3z zatikorra baldin bada.Batuketa 27 da, beraz,1998 3z zatikorra da.Zenbaki bat, oro har, hiruz zatikor izango da, zenbaki hori berori osatzen duten zifren batuketa hiru edo hiruren anizkoitza baldin bada.c) 4z zatikorra den jakiteko, badakigudela; hortaz, 1998 = 1900 + 98.98 ez da 4z zatikor; 1998 ezin da 4z zatitu beraz.Zenbaki bat, oro har, 4z zatikor da izango da, azken bi zifrak ere 4z zatikor baldin badira.d) 5ez zatikor den jakiteko, badakigu; hortaz,Hala bada, 8 ere 5ez zatikor baldin bada izango da 5ez zatikor.

Hortaz, 1998 ezin da 5ez zatitu.Zenbaki bat 5ez zatikor izango da, Oz edo 5ez amaitzen baldin bada.e) Zenbaki bat 7z zatikorra den jakiteko, zailagoak dira kontuak :Hortik aurrera hondarrak errepikatu egiten dira. Hau da araua : batuketa egiten da banakoen zifra, hamarrekoena bider hiru eta ehunekoena bider bi, eta horiei milakoen zifra, milakoen hamarrekoena bider hiru, eta milakoen ehunekona bider bi kentzen zaie.

Zifra gehiago baldin badago, milioien zifra batutzen da, eta berriro hasten da batuketak eta kenketak egiten. Garbi dago kasu honetan erosoagoa dela kalkulagailua hartu eta zatiketa zuzenean egitea.f) Kopuru bat 8z zatikor den jakiteko, badakigu.

Hortaz, zenbaki bat 8z zatikor izango da, azken hiru zifrak ere 8z zatikorrak baldin badira.998 ez baita 8z zatikor, 1998 ere ez.g) 9z zatikor den jakiteko, kontuan izanike, tab.Alegia, zenbaki bat 9z zatikorra izango da osatzen duten zifren batuketa ere 9z zatikorra baldin bada.h) 10aren kasua errazagoa da, zerenZenbaki bat loez zatikorra da azken zifra ere loez zatikor denean, alegia, Oz amaitzen denean.i) Zein zenbaki den 11z zatikor jakiteko, kontuan izan behar daetab.Hortaz, hau idatz daiteke :

Zenbat zatitzaile dituen zenbaki batek

Ikusi da nola deskonposatzen den zenbaki bat biderkagai lehenetan. Jakiteko zenbaki batek zein zatitzaile dituen, lehenak nahiz lehen ez direnak, eta horiek lortzeko, kontuan izan behar da ezen zenbaki batek (a) beste bat (b) zati dezan, a-ren zatitzaile lehen guztiek behar dutela egon b-n maila berera edo garaiagora berretuak, bestela ezin baita zatiketa egin.

Adibide baterako, hartzen baldin badaedobezalako zenbakiek zatitzen ahal dute. Ez ordea 7k, ezbaita ateratzen 180 biderkagai lehenetan dekonposatzean. 8k ere ez du zatituko,baita, eta 2ren berretzailea 180ren deskonposaketan2<3 baita. Era berean, eta arrazoi berberengatik, 44k ere ez du zatituko, 11z zatikor baita eta 180 ez, ezta 42k ere, bai baitu biderkagai bat, 7, 180n ez dagoena. Kalkulu horiek kontuan izanda, badago180ren zatitzaileak jakiterik. 2 edobiderkagai bat, eta 3 edobiderkagai bat, eta 5 biderkagai bat eduki beharko du, eta baliteke horietakoren bat ez edukitzea ere, baina ezin du horiek ez bezalako biderkagairik eduki. Biderkagai lehen horietakorik bat ere ez badu zatitzaileak, 1 izango da, 1 ak zenbaki guztiak zatitzen baititu. Forma hori duten zenbaki guztiak ondoko parentesi hauen arteko biderkadura posibleren bateko emaitza gisa lortzen dira :Hor lortu diren batugaiak dira 180ren zatitzaile posible guztiak.Adierazpen horren bidez jakin genezake zenbat diren, biderkaketak egiteko beharrik gabe. Lehen parentesiak 3 batugai ditu, bigarrenak ere 3 eta hirugarrenak 2 ; hortaz,, guztira 18 dira 180k dituen zatitzaileak, horixe baita hiru parentesiei banatze legea aplikatuz lortzen den batugai kopurua.Aurrena batuketak eta gero biderkaketak eginez, zatitzaile posible guztien batuketa jakingo dugu. 180 zenbakiari dagokionez, hau da batuketa horren balioa :Edozein zenbakiri aplika dakioke eragiketa hori :, zenbaki batek n zatitzen baldin badu, hori gertatuko da, biderkagai lehenetan deskonposatzean, ez duelako a, b, c,..., h ez bezalako zenbaki lehenik, eta lehen horiek berretzen dituzten zenbakiak ez direlako, hurrenez hurren,baino handiagoak. Era horretan, ondoko parentesi bakoitzeko batugai bana biderkatuz lortzen dira zenbakiak :Horren ondorioz, hau da n zenbakiaren zatitzaile kopurua :Kalkulu horretan, 1 eta zenbakia bera ere badaude zenbaki baten zatitzaileen artean.• Adibidea:Zatitzaileak biderkaketa hauetatik lortzen dira :Alegia, hauek dira : 1, 7, 49, 5, 35, 245, 25, 175, 1225, 3, 21, 147, 15, 105, 735, 75, 525, 3675. 18 zatitzaile dira guztira, eta hori bat dator honekin :. Zatitzaileen batuketakbalio du.

Zatitzaile komunetan handiena eta multiplo komunetan txikiena

a eta b bi zenbakiren zatitzaile komunetan handiena esaten zaio biek batera duten zatitzaile handienari. Honela adierazten da : (a,b) Ah.Bata edozein zenbaki pareren zatitzaile komuna denez gero, eta zatitzailea ezin izan denez zatituriko zenbakia baino handiago, beti izango da zatitzaile komunetan handien hori, bata alegia.• Adibidea :Aurki ezazu 12 eta l6ren zatitzaile komunetan handiena.Biderkagai lehenetan deskonposatuz gero :Hortaz, hauek dira zatizaileak :

Zatitzaile komunetan handienarekin kalkuluak egiteko modua

Bi zenbakiren zatitzaile guztiak kalkulatzea eta konparatzea luzeegia da zenbakiak handitxoak direnean. Lasterrago aritzeko, abiapuntu hau hartzen da, alegia, zenbaki baten zatitzaileak, zatitzaile horiek biderkagai lehenetan deskonposatuz gero, delako zenbakiaren biderkagai lehenak bakarrik eduki behar dituztela. Horrez gainera, zatitzaileetan zenbaki lehenak berretzen dituzten zenbakiak ezin dira izan zatitu beharreko zenbakia baino handiagoak.

Har dezagun adibidezetazkh-ak bi zenbakietan dauden biderkagai lehenak izan beharko ditu, eta horiek bakarrik. 2 eta 3 dira kasu honetan. Batean bakarrik dauden biderkagai lehenak, hala 7 eta 5, ezin dira zatitzaile komun baten biderkagai izan, zeren 7 biderkagai lehena duen zenbaki batek ezin du 60 zatitu, eta 5 biderkagaiak berriz ez du 168 zatitzen. Izan daitekeen zatitzaile komunetan handiena izan dadin, biderkagai lehen bakoitza, bi zenbakietan, a-n eta b-n, agertzen den aldi beretan errepikatua egon behar du. 3 behin bakarrik ageri da errepikatua 168n eta 60n, eta, hortaz, behin bakarrik egongo da zkh-n. 2k, zkh-n, koadrora berretua egon behar du, zeren168 zatitzen baitu, baina ez 60, eta haren multiploek ere ezingo dute zatitu.Zatitzaile komunetan handiena aurkitu nahi den bi zenbakietan, a-n eta b-n, dagoen p biderkagai lehen batentzat, bietan dagoen aldi kopuru handiena bat dator p-k a-n eta b-n duen berretzaile txikienarekin . Erregela hau betetzen da beraz :a eta b-ren zatitzaile komunetan handiena aurkitzeko, zenbakiak biderkagai lehenetan deskonposatzen dira. a eta b zatzitzaile komunetan handiena, a eta b-ren biderkagai lehen komunek osatuko dute, bien berretzaile txikienarekin.• Adibideak:Bi zenbakiek batera dituzten biderkagai lehenak 2 eta 3 dira. 2k, 1008n, 4 berretzailea du, eta 3 berretzailea 1 1880n ; txikiena beraz 3 da. 3k 2 berretzailea du 1008n, eta 11880n berriz 3. 3ren berretzaile txikiena 2 da, eta, beraz :2. Aurki ezazu 1232ren eta 4563ren zatizaife komunetan handiena.1232k eta 4563k ez dute biderkagai lehen komunik. Bien zatitzaile komun bakarra da 1 da, eta, hortaz :3. Aurki ezazu 36ren eta 180ren zatitzaile komunetan handiena :2 eta 3 dira biderkagai lehen komunak. Bi zenbakietan 2 da 2ren berretzailea, eta 3ren berretzailea 2 bietan ; hortaz, hau da zatitzaile komunetan handiena :Zenbakietako batek bestea zatitzen duenean ez du merezi eragiketa hauek denak egitea. zkh bestea zatitzen duen zenbakia da.- Adibidez, 32 eta 8ren zkh, 8 da ; izan ere,inserted textNola aurkitu bi zenbakiren zatitzaile komunak :Bi zenbakiren zatitzaile komunak beren zatitzaile komunetan handienaren zatitzaileak dira. Izan ere, q zenbaki batek d = (a, b) zkh zatitzen baldin badu, q-k aldi berean zeta "b"zatituko ditu.

Zeren a = d.k eta d = h.q baldin bada, orduan a = (k.h).q.Alderantziz, e-k a"eta `b"zatitzen baditu, (a, b) zkh = d. Izan ere, hala ez balitz, (d, e) zkh = t, etaizango lirateke, m d-ri buruz zenbaki zatiezina izanik. Baina e zenbakia a eta b-ren zatitzaile komuna denez gero,izan beharko dute. Hortaz, m - k "a" eta "b" zatituko lituzke; baina zatiezina da d-ri buruz, eta hori dela-eta, md-k "a" eta "b" ere zatitzen ditu, etaeta hori ezinezkoa da, zatitzaile komunetan handiena baita. Beraz, m = 1, eta a-ren eta b-ren edozein zatitzaile komun bere zatitzaile komunetan handienaren zatitzaile ere bada.Ezaugarri horrek erraztu egiten du bi zenbakiren zatitzaile komunen kalkulua. Zatitzaile komun guztiak aurkitzeko, zatitzaile komunetan handiena eta zatitzaile komunetan handienaren zatitzaile guztiak aurkitzen dira. Horiek dira eskatu diren zatitzaile komun guztiak.• Adibidea:Aurki itzazu 168 eta 720 zenbakien zatitzaile komunakHortaz, zatitzaile komunak 24ren zatitzaileak dira, honela lortzen direnak :

Euklidesen algoritmoa.

Bada beste metodo bat a eta b-ren zatitzaile komunetan handiena aurkitzeko, zenbakiak zatitzaile lehenetan deskonposatzea erabiltzen ez duena, eta Euklidesen Elementuak obrako VII. liburuan ageri dena.Errepikatzen diren eragiketa sail batean oinarritzen da liburua.

Matematikan, nahi den emaitzara iritsi arte urrats jakinak errepikatuz egiten den prozedurari algoritmo esaten zaio ; AI-Khwarizmi arabiar matematikariaren izenetik dator hitza, era honetako metodo bat proposatu baitzuen, duela mila bat urte, ekuazioak ebazteko.Honetan datza Euklideren metodoa :(a, b) zkh aurkitzeko, bi zenbakietan txikiena hartzen da ; eman dezagun b dela. a zati b egiten da.zero baldin bada, b-k a zatitzen du, eta (a, b) zkh = bzero ez bada, a-ren eta b-ren edozein zatitzaile komunek r, ere zatitu behar du, ezen h baldin bada a-ren eta b-ren zatitzaile komuna, eta baldin, orduan:Hortaz,, ere zatitzen du, eta (a, b) zkh = d, a eta b-ren zatitzaile komuna izanik,ere zatitu behar du. Alderantziz,-en zatitzaile komunek,inserted textberaz,Bainada. Beraz, prozedura hori errepikatzen bada,hondor oso positibo gero eta txikiagoak lortuko dira. Horren ondorioz, edotabatekzatitzen du, edo azkenean hondarra 1 izango da., zatitzen baldin badu,izango da, baldin azken hondarra bat bada, a eta b elkarrekiko zatiezinak badira dira.1. Aurki ezazu (1630, 535) zkh, Euklidesen algoritmoaren bidez.Hortaz, (1630, 535) zkh = 52. Aurki ezazu (625, 1008) zkh.Hortaz, (625, 1008) zkh = 1Metodo hau erosoagoa da, zenbaki handietan, biderkagai lehenetan deskonposatzea baino. Zenbaki txikientzat, adibideekin froga daitekeenez, a eta b-ren balioaren araberakoa da kontua.Prozedura honen ondorioz ikusten da baldin (a, b) zkh = d, bi zenbaki oso aurki daitezkeela, positiboak nahiz negatiboak, k eta d, halakoak non :izan ere, Euklidesen algoritmoa hurrenez hurreneko zatiketa osoen sail bat aurkitzean datza :Horren ondorioz,Lehen berdintza honela idatz daiteke :Hortaz,balitz zkh, teorema k=1 etaberdintzekin beteko litzateke.Hala ez bada, aurrera jarraitu behartu da :baldin bada, frogatua dago jadanik, honekin:etaHala ez bada, aurrera jarraitu bahar da,bakanduz eta aurreko berdintzetaneta

Multiplo (edo anizkoitz) komun txikiena

a eta b bi zenbakiren multiplo komun txikiena deitzen da aldi berean a eta b-ren multiplo diren zenbakietan txikienari. (a, b) mkt edo (a, b) akt adierazten da.a beste zenbaki oso batez biderkaturik lortzen diren zenbakiei deitzen zaie a-ren multiplo edo anizkoitz. Hau da, m a-ren multiplo da, baldinda batez ere a-ren multiplo, ezen. Zenbaki orok multiplo infinitu ditu, zeren eta zenbaki hori zenbaki natural desberdinez biderkatzean, multiplo desberdinak lortzen baitira, eta, hortaz, diren zenbaki natural adina multiplo lor daitezke.

Multiplo komun txikienaren kalkulua • Adibidea:

n zenbaki baten multiploak n-k zati ditzakeen zenbakiak dira ; hortaz, eta zatitzaile komun handiena aurkitzeko erabilitako argudio bera erabiliz, n zenbaki baten multiploek beren zatizaile lehen guztiek n-n dutenaren berretzaile berdina edo handiagoa izan beharko dute.Izan daitekeen multiplorik txikienean, a-n edo b-n diren biderkagai lehen baino gehiago ezin dira izan, eta zenbaki lehen horien berretzaileak ahalik eta txikiena behar du izan. Ahalik eta txikiena izan dadin, baina a eta b-ren multiplo izaten jarrai dezan, a eta b-ren deskonposatzeetan zenbaki lehen horrek duen berretzaile handiena hartu behar da ; izan ere, txikiagoa balitz, ez luke ez bata ez bestea zatituko. Hortik ateratzen da erregela : bi zenbakiren zatitzaile komun txikiena bi zenbaki horien biderkagai lehenen biderkadura, berdin diola biderkagai horiek komunak diren ala ez, berretzaile handienarekin, da.1. Aurki ezazu 11550 eta 14700 zenbakien multiplo komun txikiena.

Zenbakiak biderkagai lehenetan deskonposatzen dira :2, 3, 5, 7 eta 11 dira biderkagai lehenak. 2-k 147000 zenbakian duen berretzaile handiena 2 da. 3ren berretzailea 1 da, eta 5ena 2.. an, berretzaile handiena 2 da, eta 11 berriz 11550 zenbakian bakarrik dago, 1 berretzailearekin, hortaz :2. Aurki ezazu 36 eta 180 zenbakien multiplo komun txikiena.Biderkagai lehenak, komunak nahiz ez komunak, 2, 3 eta 5 dira, eta horien berretzaile handienak 2, 2, eta 1 ; hortaz :Kasu honetan; hortaz, 180 zenbakia 36ren multiploa da, eta zenbakiarena berarena, eta ezin du izan bera baino multiplo txikiagorik. Hortaz, 180 da multiplo komun txikiena. Oro har, zenbaki bat beste baten multiploa baldin bada, bi zenbakietan handiena izango da bien multiplo komun txikiena.3. Arki ezazu 88 eta 89 zenbakien multiplo komun txikiena.2, 3, 7, y 11 dira zenbaki lehenak, komunak eta komun ez direnak . Horietakorik ateratzen ez denez bi deskonposatzeak egiterakoan, deskonposatzean parte diren zenbakian dituzten haiek berak izango dira berretzaileak : 2 eta 3 hiruz berretuak eta beste biak batez berretuak :

Multiplo komunak

Bi zenbakiren multiplo komunak beren multiplo komun txikienaren multiplo dira. Izan ere, a eta b-ren multiplo komun txikienaren multiploak a eta b-ren multiplo ere badira, zeren multiplo izatearen ezaugarria iragankorra baita. Era berean, a eta b-ren multiplo komun bat beren multiplo komun txikienaren multiplo ere bada ; hala ez balitz, multiplo komun txikienaz zailtzean hondar ez nulua emango luke. m baldin bada multiplo komun txikiena, eta h m-ren multiplo ez den multiplo komun bat :, eta horrez gaineraAlabaina, "h" eta "m", "a" eta "b"-ren multiplo direnez gero, horien kenketa ere a eta b-ren multiplo izango da. Hortaz, a-ren eta b-ren multiplo ere bada r. Baina r ordea m baino txikiagoa da, eta, hori dela-eta, m ez da izan daitekeen multiplo komun txikiena, eta hori hipotesiaren kontrakoa da. Horren ondorioz, ezin da izan a eta b-ren multiplorik m-rena ere ez denik.Zatitzaile komun handiena kalkulatzeko, berretzaile txikieneko zatitzaile komun lehenak hartzen dira, eta multiplo komun txikiena lortzeko zatitzaile lehen komunak eta ez komunak hartzen dira, berretzaile handienarekin. Hortik ondorioztatzen da bi zenbakien biderkadura zatitzaile komun handienaren eta multiplo komun txikienaren biderkaduraren berdina izango dela :Adibide baterako, 96 eta 72 hartuta:Hortaz,Gehiagora ere orokor daiteke. Zatitzaile komunetan handiena izango da hiru zenbakiren zatizaile komun handiena, eta multiplo koman txikiena berriz hiru zenbaki horien multiplo komunetan txikiena. Definizioz, eta kalkulatzeko moduagatik, arazorik gabeko egingo dugu dedukzio hau :• Adibidea : Aurki itzazu 48, 120 eta 168 zenbakien zatitzaile komunetan handiena eta multiploetan komun txikiena.Zatitzaile komun handienarentzat, 2 eta 3 dira biderkagai lehen komunak ; berretzile txikienak, hurrenez hurren, 3 eta 1 dira, eta beraz :Multiplo komunetan txikienarentzat, 3, 5 eta 7 dira biderkagai lehen komunak, eta berretzaile handiena, hurrenez hurren, 4, 1, 1, 1. Beraz :

Zenbaki perfektuak

Zenbaki perfektuak dira beren zatitzaile guztien baturaren emaitzatzat zenbakia halako biko kopurua dutenak, edo zenbakiaren desberdin diren zatitzaileen baturaren emaitzatzat zenbaki hori bera dutenak. Elementuak lanaren aritmetikako azken liburuko proposizioetan aztertzen dira zenbaki perfektuak. Antzina, aritmetikaren goreneko mailatzat hartzen zituzten zenbaki perfektuak. 6 zenbakia esaterako, zenbaki perfektua da. Bere zatitzaileak I, 2, 3 eta 6 dira.San Agustinek zioen jainkoak 6 egunetan egin zuela mundua, istant batean egin ordez, izan ere, Jainkoaren lan perfektua 6 zenbakiaren izaera perfektuaren bidez adierazten baitzen. Janblikok (K.a IV m.) honela azaldu zuen 6 zenbakiaren perfekzioa: "6 zenbaki perfektua dela esan ohi da, edo lehenengo zenbaki bikoiti-bakoitia dela, edo lehenengo zenbaki angelu zuzena dela. Pitagorikoek, berriz, Ezkontza esaten zioten, izan ere, bertan elkar topatzen baitute zenbaki arrek eta emeek eta bertan nahasten baitira lehenengo aldiz ; eta arrazoi beragatik esaten zaio Osasun eta Edertasun, osatzen duten zatiak osoak direlako eta proportzioan daudelako".Janblikok 6-a bikoiti-bakoiti zela esaten zuen, izan ere, biz zatitzean zenbaki bakoitia ematen duen zenbaki bikoitia baita ; eta angelu zuzena dela, izan ere, lauki zuzen batean sei banako jarri baitatezke hiru banakoz osatutako bi ilaratan :Bestalde, zenbaki arren eta emeen arteko lehen topaketa zela zioen, izan ere, bikoiti baten, emearen, eta bakoiti baten, arraren, lehen biderkadura baita. Osasun eta Edertasun esaten zion osatzen duten zati guztiak ez txikiegiak ez handiegiak dituelako, perfektua delako alegia.28 zenbakia ere perfektua da. Bere zatitzaileak 1, 2, 4, 7, eta 14 ditu ;Horregatik, antzina, Ilargiaren mugimendua perfektua zela esaten zuten, izan ere, Ilargiak Lurraren inguruko bira 28 egunetan egiten baitu.Zenbaki perfektu gehiago aurkitu nahi izanez gero, nahikoa da Euklidesen Elementuaklanaren IX. liburuko 36. proposizioa irakurtzea : "banako batetik abiatuta, nahi adina zenbaki proportzio bikoiztuan jartzen dira horien baturak zenbaki lehen bat eman arte, eta batuketaren emaitza eta baturaren azken zenbakia biderkatzen dira ; eragiketa horietatik lortzen den zenbakia perfektua izango da".Gaur egungo idazkerara itzulita :; A zenbaki lehena bada,zenbaki perfektua izango da.Adibidez, 1+2=3 zenbaki lehena da, beraz,perfektua da. Edo 1+2+4=7 zenbaki lehena da, berazperfektua da. Baina, 1+2+4+8=15 ez da zenbaki lehena, beraz 60 ez da perfektua.eta bere zatitzaile guztien batura (1+2+4)(1+3)(1+5)=168 da, perfektua izateko beharko lukeena baino handiagoa, alegia 120 baino handiagoa.

1+2+4+8+16=31 zenbaki lehena da, berazperfektua da.

Horren froga erraza da.progresio geometriko bat da, arrazoia 2 eta lehen terminoa 1 duena ; horren batura hau da:Batugaiari A esango zaio. Zenbaki perfektuada. A zenbaki lehena bada, zatitzaile izango ditu A eta 2, A behin eta 2 n aldiz.

Beraz, bere zatitzaileakbiderkaduratik ateratzen dira, eta horien batura.perfektua izango da.Euklidesek ez zuen beste azalpenik eman. Baina, erromatar inperioko azken garaiko filosofo pitagorikoek beren erara azaldu zuten Euklidesen zenbaki perfektuen teoria. Nikomako Gerasakoak (k.o. I m.) zenbakiak bi multzotan banatu zituen : behetiko perfektuak eta goitikoak. Behetiko perfektuen zatitzaileen batura zenbakia baino txikiagoa izaten da. Esate baterako, 16 zenbakia behetikoa da : 1, 2, 4 eta 8 dira bere zatitzaileak, eta horien batura 15 da, hau da 16 baino txikiagoa. Goitikoen zatitzaileen batura zenbakia bera baino handiagoa izaten da, adibidez 24 zenbakia : l, 2, 3, 4, 6, 8 eta 12 dira zatitzaileak, eta horien batura 36, hau da, 24 baino handiagoa. Zenbaki perfektuen zatitzaileen batura zenbaki hori bera izaten da, ez handiagoa ez txikiagoa.

Nikomakok lau zenbaki perfektu bakarrik ezagutzen zituen : 6, 28, 496 eta 8128. Bat banakoetan, beste bat hamarrekoetan, bat ehunekoetan eta beste bat milakoetan, bikoitiak guztiak. Nikomako matematikari fina zen, baina zenbakien edertasunean eta perfekzioan zuen fede pitagorikoaren eraginez, emaitzak orokortu egin zituen eta hau baieztu zuen :- Zenbaki perfektu bat dago 10-en berredura bakoitzean, banakoetan, hamarrekoetan... eta, oro har,etaartean.- Zenbaki perfektuak 6z eta 8z amaitzen dira, txandaka.- Zenbaki perfektu guztiak bikoitiak dira.- Eukl idrsek proposatutako algoritmoak zenbaki perfektu guztiak ematen zituen.- Zenbaki perfektu infinitu dago.Lehenengo baieztapena zoritxarrez faltsua da. Hurrengo zenbaki perfektua 33.550.336 da, eta ez dago zenbaki perfekturik ehun milakoetan, ezta milioietan ere. Haren hurrengoa 8.589.869.056 da, beraz, bigarren baieztapena ere faltsua da. Zenbaki perfektu bikoiti guztiak 6z edo 8z amaitzen direla frogatu da, baina inork ez du frogatu zenbaki perfektu bakoitirik ez dagoenik ; bestalde, 6 eta 8 ez dira txandaka azaltzen. Frogatu ahal izan da zenbaki perfektu bakoitirik egotekotan,baino handiagoa izango dela, eta gutxienez 8 biderkagai bakoiti izango dituela.Euler-ek XVIII. mendean frogatu zuen Euklidesen algoritmoak zenbaki perfektu bikoiti guztiak ematen zituela. Zenbaki perfektu bakoitirik ez dagoela frogatzen bada, Nikomakoren hirugarren eta laugarren baieztapenak egia izango lirateke.Azken baieztapena ez da oraindik ezagutzen. 30 zenbaki perfektu aurkitu dira, bikoitiak guztiak, eta aurkitu den zenbaki perfektu handiena hau dela diote:hau da, 120000 zifrako zenbakia. Ez dirudi errazazenbaki lehena den jakitea.

IV. Zenbaki osoak

Zenbaki naturalak, askotan, ez dira nahikoa izaten zenbait problema ebazteko, esaterako, x+6=4 betetzen duen x zenbaki bat aurkitzeko ; ez dago emaitzarik zenbaki naturalen artean, izan ere,baita, eta ez dago zenbaki positibo osorik 6ri batuz gero 6 baino zenbaki txikiagoa emango duenik. Bestetik, zientziatan eta geometrian badira zenbait egoera, kopuruen bi norabideak bereiztea komeni denak. 4 metroko desnibela neurtzeko, adibidez, desnibel hori gorantzakoa edo beherantzakoa den jakitea komeni da ; 100 urteko denbora bitartea neurtzean, bitarte hori orain dela 100 urteri dagokion edo hemendik 100 urteko bitarteari dagokion jakitea komeni da. Ekonomian adibidez, ez da gauza bera lau milioiren jabe izatea edo lau mikoko zorra izatea. Hirugarrenik, zenbaki naturalen egitura aljebraikoak eragozpenak ditu, izan ere, kenketak ez baitira ondo definitutako eragiketak, eta batuketak ez baitituzte aurkako elementuak definituta.Horrekin guztiarekin, beharrezkoa da beste zenbaki multzo bat osatzea, kontrako norabidean kontatzeko, zenbaki naturalen osagarri . Zenbaki negatiboen multzoa da hori. Zenbaki berri horiek emaitza naturala ez duten kenketen emaitza izango lirateke. Zenbaki naturaletan kenketa batek, 4-6 esaterako, baliorik ez duenean, aurkakoak, hau da 6-4, izango du balioa. -2=4-6 definitzen da. Zenbaki negatiboa dela adierazteko, kenketa horretan kenkizuna eta kentzailea aldatuz lortzen den zenbaki positiboari "-" zeinua jartzen zaio aurrean. Definizioa ez da erabilitako zenbakien araberakoa, hau da, -2=4-6=5-7=...Zenbait liburutan minus ikurra zenbakiaren gainean jartzen da, kenketaren emaitza gabe, osagai berri bat dela gogorarazteko. Baina, hori ez da nahita nahiezkoa, izan ere, osagai berri horiek zenbaki naturalak ez diren kenketaren emaitza gisa defini baitaitezke.Zenbaki naturalek -zenbaki positibo osoak, negatiboak eta zero- zenbaki multzo berri bat osatzen dute, zenbaki osoen multzoa deitua. Z letraren bidez adierazten da zenbaki osoen multzoa.Multzo horrek azpimultzo bat du, zenbaki naturalen multzoa hain zuzen :Zenbaki osoen batuketa zenbaki berri negatibo horietara heda daiteke, -2 zenbakiak bi banako kentzea adierazten duela. Zenbaki naturalen lerroan lau gehitzean, lau banako pasatzen dira eskuinera ; zenbaki osoen lerroan, interpretazio bera du, eta -5 gehitzean bost unitate pasa behar dira ezkerrera :Balio absolutuaZenbaki oso baten balio absolutua hau da : zenbaki horrek zeinu positiboa duenean duen balioa. Zenbakiak bi aldeetan barra bana dituela adierazten dira. Definizioa hau da :Balio absolutuak aldaketaren magnitudea neurtzen du, norabidea kontuan hartu gabe

Eragiketak

Zenbaki osoetan bi eragiketa nagusi definitzen dira : batuketa eta biderkadura. Zenbaki osoen arteko eragiketak definitzeko kontuan hartzen dira, bai zeinua eta bai balio absolutuen arteko eragiketa.

Zenbaki osoak zenbaki naturalen hedatze gisa definitzen dira.

Zenbaki osoen arteko eragiketei dagokionez, komenigarria da zenbaki positibo osoekin lortzen diren emaitzak eta zenbaki horiek natural gisa hartuta egiten diren eragiketen emaitzak berdinak izatea. Hau da, 2 eta 3 zenbaki naturalen batuketa 2+3 eta (+2)+(+3) berdina izatea nahi da, eta gauza bera biderkadurari dagokionez.

Batuketa

Zenbaki osoen batuketa definitzeko hiru kasu hartzen dira kontuan, batugaien zeinuen arabera.

Bi batugaiak positiboak badira, batuketa zenbaki naturalekin bezala egiten da : (+2)+(+3)=+5 Batugaiak zenbaki negatiboak badira, batuketaren balio absolutua balio absolutuen batuketa da, baina emaitza negatiboa izango da beti : (-2)+(-3)=-5 Batugaietako bat positiboa eta bestea negatiboa badira, balio absolutuak konparatzen dira. Emaitzaren zeinua balio absolutu handiena duen zenbakiaren zeinu bera izango da, eta emaitzaren balio absolutua zenbaki handienaren balio absolutua ken txikienarena izango da. Kenketa honetan kenkizuna kentzailea baino handiagoa izaten da beti, beraz, zenbaki naturalen artean egin daitekeen kenketa da. Adibidez, (+5)+(-3)=2 eta (-5)+(+3)=-2 Bi zenbaki osoen batuketa bi zenbaki naturalen batuketatik eta kenketatik abiatuta definitzen da.

Zenbaki osoek batuketarekin, (Z,+), multzo abeldarra osatzen dute."a" Zenbaki oso ororentzat bada "-a" bat, "a"+("-a")=0 betetzen duena.

3ren aurkakoa -3 da, izan ere, 3+(-3)=0 betetzen baitu. Baina berdintza horren bidez ikus daiteke -3ren aurkakoa +3 :-(-3)=+3 dela.

Zenbaki baten aurkakoa lortzeko zeinua aldatu behar zaio zenbakiari.

Biderkadura

Biderkadura balio absolutuen biderkaduraren bidez egiten da; bi biderkagaiak positiboak edo biak negatiboak badira, + zeinua jartzen zaio emaitzari, eta bi biderkagaiek zeinu desberdinak badituzte, - zeinua jartzen zaio :- Adibidez, (+2). (-3)=-6 edo (-4). (+3)=-12 edo +3). (+2)=+6 edo (-2). (-3)=+6 Zenbaki osoen biderkadura elkarkorra eta trukakorra da, banako )ar du + 1, baina ez du aurkakorik. Han da, osoen zatiketak definitu ;abe jarraitzen du zatikizuna ez denean zatitzailearen multiplo.

Bestalde, biderkaduraren eta batuketaren artean lege banakorra )etetzen da :

Ondorioak :

Eragiketak era horretan definitzeak beste ondorio batzuk ditu :Hala da, izan ere,b+O=b elementu neutro bat baitago batuketarako.Bi atalak zenbaki batez, edozeinez (a), biderkatuz gero :lege banakorraren bidez.Azken bi ataletanaurkakoa gehituz gero,geldizenegea betetzea nahi bada, edozein zenbaki zeroz biderkatzean,maitzak zero izan behar du.2. Zenbaki baten aurkakoa zenbaki hori bera da, baina zeinua aldatuta duela. Bedi, a-ren aurkakoa -a izango da. Demagun aurkakoa beste bat dela, "-ten aurkakoa" deitua. Aurkakoaren definizioaren arabera :a + (a-ren aurkakoa) = 0 Batuketaren definizioaren arabera :Beraz :a + (-a) = 0 = a + a-ren aurkakoa Ezkerretik a-ren aurkakoa batuz gero, eta batuketaren elkarkortasunaren Icgca aplikatuz gero :a-r n aurkakoa--aIdaztean ez dira bata eta bestea bereizten.

3. Hartutako banakortasunaren legean zeinuen arauak eragiten du, hau da,bada,beharko du.

Aurreko legearen arabera:, b-ren aurkakoa -b delako zatiketaren aurkakoa batuz geroElkarkortasunaren legearen arabera :etaaurkakoa eta zenbaki negatiboa

Kenketak, zatiketak

Z-n kenketa honela definitzen da :Eta definituta dago beti. Hau da, emaitza zenbaki oso bat da beti.

- Adibidez,Eragiketa ez da elkarkorra :Ezta trukakorra ere, elementu neutro bakarra baitu eskuinetik, hau da :bainaeta ez a-ren berdina.Batuketaren ezaugarri elkarkorraren eta zenbaki osoen kenketaren definizioaren ondorioz, kenketa ez da eragiketa berezi bezala hartzen, eta idazkera sinplifikatzen da ikur bikoitzak baztertuaz, bat zenbaki negatiboa edo positiboa izateagatik eta bestea batuketa edo kenketa izateagatik. Beraz, ez da honela idazten :Baizik eta,Izan ere, adierazpen hori beste 2+((-3) + (-2)) adierazpen honen ordezko da, eta batuketaren lege elkarkorraren bidez, parentesiak ken daitezke:Adierazpen horretan, + ikurrak ez dira adierazi behar, eta horrela gelditzen da :Horren arabera,4+3-4-5-6+4+3-6 idazten bada,zenbaki positiboak batu daitezke alde batetik (emaitza 14) eta negatiboak bestetik (emaitza -21), eta bi emaitza horiek batzea, edo zeinuen arauaren arabera positiboari negatiboa kentzea gauza bera dira(emaitza -7). Bada beste prozedura bat hori bera egiteko, batuketak ezkerretik eskuinera egitea alegia ; horretarako kontuan hartu behar da negatibo bat gehitzea eta positibo bat kentzea gauza bera direla :Zatiketa bi eratakoa izan daiteke, zenbaki natureletan bezala, zehartza edo osoa. Zatiketa zehartza : ikurraz adierazten da, edo zatikiaren barraren bidez bestela, eta ez da beti gertatzen:bainaez da zenbaki osoa.4+3-4-5-G+4+3-G=(4+3+4+3)+(-4-5-6-6)=14-21=-7 4+3-4-5-G+4+3-G=7-4-5-6+4+3-6=3-5-G+4+3-6=-2-G+4+3-6=- 8+4+3-6=-4+3-G=-1-G=-7 Zatiketa bi eratakoa izan daiteke, zenbaki natureletan bezala, zehatza edo osoa. Zatiketa zehatza : ikurraz adierazten da, edo zatikiaren barraren bidez bestela, eta ez da beti gertatzen : (-4) :(-2)=+2, baina (-2) :(-4) ez da zenbaki osoa.

Zatiketa zehatza biderkaduraren kontrako eragiketa da. Bi zenbaki oso zatitzeko, beren balio absolutuen arteko zatiketa egiten da, zenbaki naturalekin bezala, eta zeinuen arauaren arabera dagokion zeinua jartzen zaio emaitzari : Zenbaki lehenei buruz esandako guztiak, zatikortasun baldintzak eta bi zenbakiri buruz zatitzaile eta multiplo komunak, zenbaki osoetarako ere balio dute. Baina, zenbaki osoetan a :b=c bada, a:(-b)=-c da. Esate baterako, 8 :4=2 da, eta 8 :(-4)=-2. Beraz, azalpen guztietan bi aukerak agertu behar dira.

Zatiketa osoa

Z-n zatiketa osoa bi eratara defini daiteke : gutxiagoz eta gehiagoz.Bi zenbaki emanik (a eta b), a eta b zenbakien arteko zatiketa gutxiagozegiteko beste bi zenbaki oso (c zatidura eta r hondarra) gutxiagoza=b. c+r izatea, Ibl>r>O delarik = -2 2-3 -1 a eta h zenbakien arteko zatiketa gehiagoz egiteko, bi zenbakiaurkitu behar dira, ondoko baldintza betetzen dutenakizatea,delarik.Definizio horretatik ondorio gisa ateratzen da :

Eragiketen mailaketa eta idazkera bakantzea

Eragiketa bat baino gehiago egin behar direnean, eragiketa horien ordena parentesi bidez adierazi behar da. Baina eragiketa guztietan eragile bakoitza adierazteko parentesi pare bat beharko lirateke, eta adierazpena berehala nahaspilatuko litzateke. Horregatik, ahalik eta parentesi gehien kentzen dira, eta ahalik eta + eta - zeinu gehien laburtzen, bai batuketari eta kenketari dagozkienak, bai zenbakien zeinua adierazten dutenak. Eragiketen mailaketa hau da :- Lehenbizi parentesi arteko eragiketak egiten dira, - ondoren berredurak egiten dira ; - gero biderketak eta zatiketak, - eta azkenik, batuketak eta kenketak egiten dira.• Adibidez :Baldin eta lehenbizi 2+3 batura, eta ondoren, biderketa egin nahi bada, parentesi bidez adierazi behar da :Adierazpen luzeagoetan, lehenbizi parentesi artekoa egiten da, eta ondoren biderketak eta zatiketak :Batukera eta kenketa guztiak batuketa bezala hartzen dira, kenketak aurkakoa batu esan nahi baitu. Horregatik, behin adierazpena sinplifikatu denean, ez dira bereizten kenketaren minusa eta zenbaki negatiboaren minusa.Biderketak eta zatiketak dauden adierazpenetan, parentesiak jartzea derrigorrezkoa izaten da, izan ere, nahaste asko gerta baitaiteke bestela :Zatiketari dagokionez, zatiduraren marrak parentesiaren zereginabetetzen du :Biderketak eta zatiketak batera jartzen direnean, nahasteak sor daitezke parentesiarik jartzen ez bada edo zatiduraren marraren bidez hala adierazten ez bada.eragiketak, esaterako, ez daude egoki azalduta, izan ere, era batera baino gehiagotara uler baitaitezke :

Eragiketen mailaketa kalkulagailu batean

Kalkulagailu bateanegiten bada, pantailan 5ateratzen da.Zenbait kalkulagailutan [=] tekla sakatu ordez [EXE] teklari eman behar zaio gordetako eragiketa guztiak egin ditzan.

Kalkulagailuak horrela ulertzen du : 4+2/2. Kalkulagailu sinpleetan 3 aterako litzateke, izan ere, kalkulagailu horiek memoria bakarra dute eta eragiketak sartu ahala egiten baitituzte. Alegia, hau egiten du :Kalkulagailu batean, zatiketa aurreko zenbakiari buruz egin daiteke soilik, edo aurreko biderkaduren emaitzari buruz. Egiteko gelditzen diren batuketa eta kenketak, biderkaduren eta zatiketen emaitzei gehitzeko uzten ditu.Zatiketa baten ondoren biderkaketak jartzen badira, biderkaketa zatiketaren emaitzarekin egin behar dela ulertzen du kalkulagailuak :leihoan 8 ateratzen da.Kalkulagailuaren bidez 4 +4 :(2. 2)=5 egin nahi bada, parentesiak jarrita egin daiteke:edo bi aldiz zatituzKalkulagailuetan kenketaren ikurra eta aurkakoaren ikurra argi eta garbi bereizten dira. Kenketaren zeinua batuketaren alboan izaten da.

Zenbaki baten zeinua, berriz, +/- teklaren bidez aldatzen da.

Zenbaki osoen ordena

a zenbakia b baino handiagoa dela esaten da,, baldin etazenbaki positibo osoa bada. Bi zenbaki oso desberdin badira, a eta b,edobeteko da beti.Zenbaki osoen multzoan zenbaki guztiek ondorengo bat dute.

Esate baterako, 2-aren ondoren 3, -4-aren ondoren -3, oro har, a zenbakiaren ondoren a+1. Ondoz ondoko bi zenbakiren tartean banako bat besterik ez dago. Zenbaki osoetan ez dago ez lehenengo osagairik, ez azkenekorik; ez dute bornerik ez goitik ez behetik, hau da, ez da c baliorik " a e Z, non c>a den, edo ez da c' baliorik "nonden, edo ez dabaliorik,nonden. Zenbaki naturalek ez dute goi bornerik, bai, ordea, behe bornea, izan ere, zenbaki natural guztiak zero baino handiagoak edo zeroren berdin baitira.Zenbaki osoak lerro zuzen batean adierazten dira, jatorri bat (O) eta banako bat hartzen direlarik. Oro har, positiboak zeroren eskuinera jartzen dira, eta negatiboak ezkerrera. Baldin eta a>b bada, a zenbakia b-ren eskuinera egongo da.

Eragiketak eta ordena

Baldin eta desberdintza baten bi aldeei kopuru bera batzen Bazaie, eragiketen ordena ez da aldatzen : baldin etabada,ere betetzen daBaldin etabada,ere betetzen da.Biderkaduran, baldin etabada,betetzen dadenetn, bainabadaizango da ; izan ere,positiboa bada,, izan baitaiteke positiboadenean, eta negatiboasenean.Baldin etabada, emaitza beti zero izango da, beraz,Esate baterako,bada, hau da,Bainaberaz,izan erebaita.-1 hartuz gero,badaizan behar du.bada,da.

V. Kongruentziak

Zatigarritasunari dagokionez, zenbakiak bitan banatzen dira : zenbaki zatigarriak eta zenbaki zatiezinak. Bi zenbakiren arteko zatiketa zehatza kontuan hartu beharrean zatiketa osoa hartzen bada, zenbaki zatiezinak elkarren artetik desberdintzeko zatiketan geratzen den hondarra hartzen da kontuan. 17 zati 4 eta 26 zati 4 zatiketak ez dira zehatzak, baina l7ren zatiketa osoaren zatidura 4 da eta hondarra 1, eta 26-ren zatiketa osoaren zatidura 6 da eta hondarra 2. 5, 9, 13, 17 zenbakien hondarra 1 da ; 6, 10, 14, 18 zenbakiena, berriz, 2. 4-z egiten den zatiketa osoak lau multzotan banatzen ditu zenbakiak : hondarra 0 dutenak, 1 dutenak, 2 dutenak eta 3 dutenak. Oro har, a zati b zatiketa osoak, a-ren balioaren arabera, hondarra 0 edo 1, edo 2...edo b-1 izaten du.5 eta 17 zenbakiak 4-z zatitzen direnean hondar bera dute, eta 4 modulu kongruentzia dutela esaten da. Hala idazten da :edo(mod. 4)Oro har, d-z zatitzean a eta b zenbakiek hondar bera badute,(mod. d) idazten da.Hau da, baldin eta :(mod. d) betetzen da.Definizio hori eta beste hau berdinak dira :(mod. d), baldin etazati d egin badaiteke.Moduluaren eta d zenbaki osoaren arteko kongruentzia harrema baliokidetasun harremana da. Hau da, zenbakien arteko berdintasun moduko bat da. Izan ere,1.-(mod. d) da2.-(mod. d) bada,(mod. d) ere bada.3.-(mod. d) eta(mod. d) badira,(mod. d) ere egiaztatzen da.Zenbakien arteko baliokidetasun harremana definituta dagoenetan, osagai baliokideen multzoa osagai bakarreko multzo berri bat bezala defini daiteke : zatidura multzoa, hain zuzen. Multzo hori Z/d bidez adierazten da ; aurreko adibidean Z/4 zen. Z/7-rentzat 7 moduluaren baliokidetasunak hauek dira :Z/7, beraz, zazpi osagaiz osatutako multzoa dela esan daiteke :Kongruentziak zatigarritasun problemetan aplikatzen dira. Bestalde, garrantzi handia du kongruentzien arteko eragiketak zenbaki osoen arteko eragiketetan oinarrituta definitzeak. Kongruentziak eta eragiketak bateragarriak dira. Baldin etaHau da, zenbakien arteko eragiketek kongruentzien arteko eragiketa batzuk definitzen dituzte.Bi berdintzak batuz gero :Beraz,(mod. d) ere betetzen da.Bestalde,(mod. d) bada,etada.a bider e eta b bider f eginez gero, hau gelditzen da :etaKasu horretan K eta M-ren balioek ez dute garrantzirik, izan ere, hondarra d-z zatitzen etazatitzean emaitza bera lortzenbaita, beraz, elkarren kongruente dira, hau da,(mod. d)frogatu nahi zen bezala.Zenbaki osoen arteko eragiketak ez dira aldatzen kongruentziak edozein zenbakiko modulu erakoak hartzen direnean. Baldin eta a+b=c bada, orduanda, etabada,da.

Beraz, hondar moten artean eragiketak gorde egiten dira. Baina kongruentzien artean, zenbaki osoen arteko eragiketak aldatu egiten dira. Esate baterako, Z/7 multzoan batuketarako emaitza hauek lortzen dira :hau da,Zenbaki osoen adierazpen grafikoa zuzenean egiten da :,zenbaki kongruenteak, aldiz, zirkunferentzia batean adierazten dira :Zenbaki bat beste zenbaki batez zatitzeko behar diren baldintzak lortzeko modua (zenbaki naturaren zatigarritasunaz arduratzen den atalean azaldu dena), kongruentzienbidez sinplikatzen da. Oinarria 10 duen edozein zenbaki oso, esate baterako 1998, 10-n berreduren batura gisa adieraz daiteke :Baldin eta zenbaki bat 13 zenbakiarekiko zatigarri izateko baldintzak atera nahi badira, 10-n berredurekin kongruente diren zenbaki txikienak bilatzen dira.Eta milioitik aurrera errepikatu egiten da.

Baina kongruentziekin ez dira horrenbeste zatiketa egin behar 13-z, izan ere, 10 - 3 (mod.13) bada,(mod. 13) eta(mod.13).1998-rako hau gelditzen da:

Hondarraren modulua zenbaki lehena eta zenbaki konposatua duten eragiketak

Kongruentziak zenbaki lehen bati buruz hartu edo zenbaki konposatu bati buruz hartu, eragiketen ezaugarriak aldatu egiten dira.Har ditzagun 7 modulua dituzten zenbaki kongruenteak. Laburtzeko kortxeterik gabe adieraziko dira:, etab.Batuketarako eta biderkaketarako taulak hauek dira :Taula horien bidez froga daiteke, nahiz eta zenbait frogantza osooso astunak izan, 7 modulua duten zenbaki kongruenteek batuketan multzo trukakorra osatzen dutela eta, 0 baztertuz gero, biderkaketan ere osatzen dutela multzoa. Batuketan elementu neutroa 0 da, 1-en aurkakoa 6 da, 2-rena 5, etab., eta biderkaketan banakoa 1 da, 2-aren aurkakoa 4 da, 3-arena 5 eta 6-arena 6 bera.7 moduluko kongruentziekin ebatz daitezke : kenketa baten bidez ebazten den ekuazio bat, esate baterako 3+x=2 (taulan ikus daiteke x=6 dela), eta zatidura batez ebazten den ekuazioa, esate baterako 4x=2 (taulan ikus daiteke x=4 dela).7 moduluko zenbaki kongruenteen biderkadura, bestalde, sinplifika daiteke :bada, eta a 0 bada, orduan b=c izango da.Zatikien edo zenbaki errealen eragiketen ezaugarri berak dituzten multzo horiei gorputz esaten zaie. 7 moduluko hondarrak gorputz finitua dira, 7 osagaiz osatua.6 moduluko hondarrak hartuz gero, eta horien idazkera sinplifikatuz gero, batuketaren eta biderkaketaren taulak hauek dira :Kasu honetan ere batuketa eta biderkaketa elkarkorrak edo trukakorrak dira. Baina, biderkaketa hori ez da zenbaki osoen biderkaketa bezala egiten ; 0 lor daiteke, nahiz eta biderkagaietako bat 0 ez izan, esate baterako,. Halakoetan, biderkadura horrek zeroren zatitzaileak dituela esaten daekuazioak ez du emaitzarik etaekuazioak, berriz, bi emaitza ditu, 2 eta 4 hain zuzen.Oro har, mudulua zenbaki lehena duten hondarrak hartzen badira, biderkadurari Z/7-an gertatzen zitzaion gauza bera gertatzen zaio, hau da, zenbaki guztiek dute aurkakoa etamotako ekuazioek emaitza bakarra dute. Hala ere, modulu gisa zenbaki elkartu bat hartzen badabiderkaketaren emaitza ezeztatu egingo da, ez a eta ez b nuluak ez direlarik.Fermaten teoremaKonkruentzien bidez erraz adierazten den teorema bat frogatu zuen Fermatek :baldin eta p zenbaki lehena bada, eta a zatitzen ez badu :(mod. p) egiaztatzen daHau da, edozein zenbaki oso hartuz gero, 8 adibidez, eta hura ezin zatitu duen zenbaki lehen bat hartuz gero, 3 esate baterako,6 eta 5 hartuz gero:Halakoetan, kalkulua zuzenean egin daiteke. Baina,bezalako balioetan, teorema horren laguntzarik gabe zaila izango litzateke jakitea hondarra 13-z zatitzean 1 ematen duen.Horren froga hau da :, a-ren hurrenez hurreneko multiploak dira.p zenbaki lehena denez gero, a ezin da p-z zatitu, eta 1,2,3...p-1 beste biderkagaia beti p baino txikiagoa denez gero, a-ren lehen p-1 multiploak p-z zatitzean ez dute inoiz 0 hondarra emango, edo ez dira zerori buruz kongruente izango.Bestalde, aipatutako multiploak ezin dira kongruente izan p moduluari buruz. Izan ere, naJma (mod. p) bada, (n-m)a=kp-ren baliokide da ; baina, hori ez da hala gertatu, p zebaki lehena delako eta a zatitu ezin duelako, ezta n-m zatitu ere (bi zenbaki horiek p baino txikiagoak dira).Beraz, a, 2a, 3a, 4a...(p-1)a zenbakiek kongruente izan behar dute l, 2, 3,...p-1 zenbakiei buruz, izan ere, ez baitaude bi zenbaki zenbaki berdinari buruz kongruente direnik, eta bat bera ere ez baita kongruente zerori buruz. Biderkaketa trukakorra denez gero, berdin dio zein ordenatan ematen diren kongruentzia horiek, berdin dio(mod.p) eta(mod. p) izan, edo(mod.p) eta(mod. p) izan, hau baieztatzeko :Bigarren atala lehenengo atalera pasatuz gero :bainabiderkadurak ezin du zero eman, izan ere, horietako batek ere ezin baitu p zatitu, p baino txikiagoak direlako eta p zenbaki lehena delako. Horrez gainera, p zenbaki lehena denez gero, kongruentzien arteko biderkadura batek zero emango badu, osagaietako batek zero izan behar du. Beraz :edo bestela :

Fermaten azken teorema

Fermat (1601-1665) Okzitaniako Tolosan bizi izan zen. Azalpen labur ugari idatzi zituen, azalpen osorik ez ordea. Fermaten semeak argitaratu zituen aitaren lan nagusiak. Horien artean aipatzekoa da Fermaten oharrak zituen Diafantoren Aritmetika, Bachetek argitaratua. Diafantok azaltzen duen lekuan nola aurkitu hiru zenbaki oso, 3, 4 eta 5, Pitagorasen teorema betetzen dutenak, Fermatek ohar bat idatzi zuen : "ezin idatz daiteke kuboa bi kuboren batuketa gisa ; ezin idatz daiteke lauko berredura bi lauko berreduren batuketa gisa, eta horrela hurrenez hurren, biko berredura salbu. Aurkitu dut horren froga, baina liburu honek ertzak txikiegiak ditu hori azaltzeko".Alegia, gaur egungo idazkeran horrek esan nahi duekuazioak ez duela hiru zenbaki oso eta zeroren desberdin den emaitzarik.Teorema hori ospetsua da, milaka lagun, besteren artean munduko matematikaririk ospetsuenak, horretan saiatu arren, 1993. urtea arte ezin izan zelako ebatzi. Hala ere, gaur egun oraindik ez da baieztatu froga hori zuzena denik.Fermatek, bestalde, ez zuen inoiz emaitza hori azaldu. Hala ere, n=4 kasua frogatu zuenBeherapen infinituaren metodoaren bidez frogatu zuen, hain zuzen. Metodo horren arabera ekuazio hori egiatzat hartzen da a, b, c balioentzatdelarik, eta horientzat egia bada,balioentzat ere,delarik, egia da; eta horrela jarraitzen dainserted textbetetzen den arte, baina hori ez da posible. Fermatek metodo hori erabili zuen n=4 kasua frogatzeko, eta beharbada n=3 frogatzeko ere erabiliko zuen, baina ez zuen argitaratu. XVIII. mendean Eulerrek soluzio bat argitaratu zuen kasu horretarako. Historialari askoren iritziz Fermatek metodo orokor bat aurkitu zuela uste zuen, baina ondoren ohartu zen n=3 eta n=4 kasuetarako balio zuela bakarrik. Izan ere, historialariek diotenez, Fermatek bere ikerketen hasieran idatzi zuen ohar hura ez zuen argitaratzeko asmoz idatzi. Fermatek urte batzuen ondoren, bere eskutitzetan n=3 eta n=4 adibideak aipatzen zituen soilik. Teorema 4 zenbakiarekin eta bi baino handiagoak diren zenbaki lehenekin frogatzea nahikoa da, zeren(p lehena dela) denean, hiru zenbaki oso ez nulurentzat (x, y, z) egia bada :Lamek bere froga azaldu zueneko Zientzia Akademiaren biltzarraren laburpena. Liouvillek egin zizkion oharrak ere azaltzen dira.orobat egia izango da p lehenarentzatzenbaki osoekin.

Teorema horren askabide partzialen bigarren aldia Gaussekin hasi zen XIX. mendearen hasieran. Metodo horieka eta b osoak direla) motako zenbaki konplexuen ezaugarrietan etabanakoaren p-garren erroan oinarritzen dira. Cauchy, Dirichlet, Lebesgue, Sophie Germain eta Lamek landu zuten teorema hori. Lamek n=7 kasuan frogatu zuen, eta 1847an, ustez, frogantza orokorra egin zuen, baina ez zen halakorik gertatu.

Kummerek, alde batetik,formako zenbaki oso ziklotomikoen metodoak, eta bestetik, zenbaki oso horiek zenbaki lehen moduko batzuetan deskonposatzeko moduari buruzko aljebra abstraktuari buruzko zenbait lan batera hartuz Fermaten teorema 100 baino txikiagoak diren zenbaki guztiekin, 37, 59 eta 67-kin salbu, frogatzea lortu zuen. Academie des Sciences-ek sari bat antolatu zuen XIX. mendean Fermaten teorema frogatzeko ; Kummeri eman zioten sari hura. XXL mende hasieran Gotingako unibertsitateak 100.000 markoko saria eskaini zuen askabidea aurkitzen zuenarentzat. 1948an 7690 DM-ra jaitsi zuen diru saria Bigarren Mundu gerraren ondorioz.

Andrew Wilesek 1993an askabide bat azaldu zuen, baina zeharrekoa zen, eta oso konplexua gainera.formaren kurbei buruzko Shimura-Taniyama-Weilen ustea frogatu zuen; ez zen erabatekoa, baina nahikoa zenberdintasunean Fermaten teorema erabiltzeko. Horretarako, funtzio konplexuen sailak eta Galoisen multzoaren adierazpenak erabili zituen. Horiekin batera, matematikaren hainbat alorretako ikerketa berrietako emaitzak erabili zituen. Dirudienez, Wilesek bere froga a7altzen zuen lehen artikulua itzuli egin zioten zeinbat pausu osatu zitzan ; dagoeneko osatua du. Oro har, froga baliagarria dela uste da, nahiz eta ez den ideia sinplea eta burutsua, izan ere, Diafantoren Aritmetikatik oso hurbil baitago.Behin froga hori onartzen denean, Gotingako Unibertsitateak lasaitasun handia hartuko du, hilabetero Fermaten teoremaren hainbat askabide iristen baitzaizkio. Askabide horien artean matematikarekin zerikusia ez dutenak baztertu egiten ditu Unibertsitateak, eta gainerakoak matematikako sailak aztertzen ditu eta agiri bat betetzen du, aurretik prestatua duena: "zoritxarrez bidali diguzun Fermaten teoremaren demostrazioa ez da baliozkoa, zenbait akats aurkitu baitzaizkio. Lehena... orrialdean dago,... esaten duenean".

VI. Zenbaki arrazionalak

Zenbaki negatiboen bidez zenbaki naturaletan batuketaren inguruan irtenbiderik ez duten zenbait arazo konpontzen dira.

Zenbaki osoek konpontzen dituzte arazo horiek, baina ez dituzte konpontzen biderkaduraren inguruko arazoak. 3x= 1 ekuazioak ez du emaitza osorik, eta oro har, ax=b ekuazioek (a eta b osoak direla) b a-ren multiplo denean baizik ez dute emaitza osoa. 3x= 1 ekuazioaren emaitza aurkitzeko banakoa hiru zatitan zatitu beharko litzateke. Antzeko hainbat arazo dago eguneroko egoeratan, hala nola, pastel bat hiru zati berdinetan banatzean, edo ur litro bat hiru lagunen artean banatzean. Luzera edo pisua neurtu nahi denean ere ager daitezke arazo mota horiek.Zenbaki osoak zatiketa ez zehatzen emaitza izango liratekeen zenbaki berri batzuekin osatuko balira izango luke arazo horrek irtenbidea. Hiru lagunen artean banatu nahi den pastela hiru zati berdinetan zati badaiteke, zati horietako bakoitza izango litzateke soluzioa. Oro har, a objektu b lagunen artean banatu behar badira, objektu bakoitzarekin b parte egitea eta lagun bakoitzari parte bat ematea izango litzateke emaitza. Matematikan, (a,b) bikotetik abiatuta zenbaki berriak definitzea da hori, bx=a problemaren soluzioa izango liratekeen zenbakiak hain zuzen. Zenbaki osoen bikote horri zatiki esaten zaio eta horrela adierazten da :a/b zatiki batean, a zenbakitzailea da eta b izendatzailea. 1 /2, - 22/3, 1/11 edo 13/30, adibidez, zatikiak dira, eta erdi bat, minus hogeitabi hiruren, hamaikaren bat, eta hamairu hogeitamarren irakurtzen dira. Hamaikatik aurrera, izendatzailea adierazteko - ten atzizkia jartzen zaio zenbakiari.Horrela definitutako zatiki multzoak zenbaki osoen multzoa osatzen du, baldin etazenbaki osoetarako a / 1 zatikia hartzen bada. Zatikiak ez dira zehatzak izaten. Esate baterako, zenbaki osoentzat zatiki asko aurki daitezke zenbaki bera adierazten dutenak : 2/ 1 edo 4/2 edo -4/(-2), zatiketa oso gisa hartuz gero, zatidura berdina ematen dute : 2 zenbakia hain zuzen. Oro har, zenbaki oso bera adierazten dute zatiketa egin ondoren zenbaki hori ematen duten m/n zatiki guztiek. Baina problema hori ez da zenbaki osoetara mugatzen. 1/2 edo 2/4 edo -2/(-4) hartuta ere arazo bera da, guztietan emaitza zatikizko zenbakia da, bi aldiz hartuta 1 ematen duena. Horregatik, zatikizko zenbakiak errepikatu egiten dira.

Oro har, m/n eta s/t zatikiak zenbaki bera ematen dute, baldin etabetetzen bada. Multzoa ondo definitzeko zatiki berdin guztien ordezko bat bakarra hartzea komeni da. Logikoa dirudi 2/1, 4/2 eta (-4)/-(2) zatikien artetik 2/1 hartzea, eta 1/2, 2/4 eta 4/8 zatikien artetik 1/2 hartzea. Alegia, guztietan sinplifikatuena hartzea. Bestalde, 1 /0 zatikiak ez du zentzurik. 1 /0 hartzeak zeroz biderkatuta bat emango lukeen kopurubat hartzen dela esan nahiko luke, eta hori ezinezkoabiderkatzen diren zenbaki guztiek 0 ematen dute. Horrekzatiki guztientzat balio du. Beraz, izendatzaileak ez du zero izan behar.Hori guztia kontuan hartuta, zatikien bidez zenbakien multzoa osa daiteke baldintza hauen arabera :- Batetik, baliokide diren zatikizko zenbakien artetik soilena hartu behar da.- Bestetik, ahaleginak egin behar dira zatitzailea zero izan ez dadin.Zenbaki multzo horri zenbaki arrazionalen multzoa esaten zaio eta Q-z adierazten da. Zenbaki arrazionalak horrela definitzen dira :eta a eta b elkarrekiko zatiezinak.

Elkarrekiko zatiezin izatearen baldintzak zatiki baliagarri guztien artetik sinplifikatuena hartzen dela ziurtatzen du.baldintzak, bestalde, izendatzailea ez dela 0, eta gainera, zatikia har daitekeen formen artetik minus zeinua, izatekotan, zenbakitzailean dela ziurtatzen du. Ikurra zenbakitzailean duen zatiki sinplifikatu horri laburtezina esaten zaio.Zatiki bat sinplifikatzea zatiki hori era laburtezinean jartzea da.

Horretarako minus ikurra, behar izatekotan, zenbakitzaileari jarri behar zaio, zatitzaile komunetako handiena aurkitu behar da, eta zenbaki horretaz zatitu behar dira zenbakitzailea eta izendatzailea.

Horrek ziurtatzen du ateratzen diren zenbakiak elkarrekiko zatiezin direla.- Adibidez :Sinplifikatu :Horrela definitutako zenbaki arrazionalen multzoak bere baitan hartzen ditu zenbaki osoak, izendatzailean 1 duten zatikiak baitira :

Eragiketak

Izendatzaile bera duten zatikiak batzeko aski da zenbakitzaileak batzea. Lauren bat eta bost lauren batuta emaitza sei lauren da.Emaitza sinplifikatu egin behar da.Bi zatikiek izendatzaile desberdina badute, lehenbizi mota bereko zenbakiak batzen direla ziurtatu behar da. Ezin dira hamarrenak eta erdiak batu mota bereko banakoak balira bezala ; hori kiloak eta gramoak batzea bezala da. Batuketa egiteko izendaitzaile komuna aurkitu behar da lehenbizi. Hamarrenak eta erdiak batu nahi badira, erdiak hamarren bihurtu behar dira ; hori zenbakitzailea eta izendatzailea bider 5 eginez lortzen da. Adibidez :Izendatzaile komuna bi modutara lor daiteke : edo izendatzaileen biderkadura hartzen da, edo bukaeran gutxiago sinplikatu nahi bada, multiplo komunetan txikiena hartzen da.Horrela definitutako batuketak zenbaki osoen batuketaren ezaugarri guztiak ditu : elkarkorra, trukakorra, elementu neutroa du (0) eta zenbaki arrazional bakoitzak bere aurkakoa du (a/b-ren aurkakoa -a/b da).0 zenbaki arrazionala 0/1 gisa idatz daiteke. 0/a-ren baliokide da edozein a zenbaki oso ez nulurentzat.a/b zenbakiaren aurkakoa -a/b da ; (-a)/b edo a/(-b) idatz daiteke.

Kenketa egitea aurkakoa batzea da, zenbaki osoetan bezala. Beraz, kenketak batuketa bihurtzen dira, hau da, parentesirik behar ez duten eragiketak elkarkor bihurtzen dira.• Adibideak-Honela ere egin daiteke :

Biderkaketa

Zenbaki osoei dagokien zatikien biderkaketak, izendatzailea 1 eta zenbakitzailea edozein dela, beste zatiki bat izan behar du, zenbakitzailea zenbaki osoen biderkadura dela, eta izendatzailea, berriz, 1 (izendatzaileen biderkadura) dela.Zenbaki oso bat zatiki batez biderkatzen bada, esate baterako 1 /2 bi aldiz, emaitza 1/2+1/2=2/2 izango da. 1/2 bider lau eginez gero, emaitza lau aldiz 1 /2 izango da, hau da 4/2. Bi adibideetan biderkadura zatiki bat da : zenbakitzailea zenbakitzaileen biderkadura da eta izendatzailea izendatzaileen biderkadura. Ondoren lortzen den zatikia sinplifikatu egin behar da era laburtezina izateko.

Emaitza horiek orokortuz,biderkaketaren emaitza beste zatiki bat izango da, zenbakitzaile gisa zenbakitzaileen biderkadura eta izendatzaile gisa izendatzaileen biderkadura dituena :. Zenbaki arrazionalen edozein bikoterentzat, a/b eta c/d, biderkadura zenbakitzaileen arteko biderkadura izango da, eta lortzen den zatikia sinplifikatu egiten da era laburtezina lortu arte :Biderkaketa definizio horrek trukakortasunaren eta elkarkortasunaren legeak betetzen ditu. Elementu neutroa 1 / 1 da, eta a/b zenbaki arrazional baten alderantzizkoa b/a da, izan ere0 zenbakia salbu, horrek ez baitu alderantzizkorik.Kontuan hartu behar da definizio horren arabera lortutako biderkadura ezin dela izendatzaile zero duen zatiki bat izan, izan ere, (a/b) bider (c/d) baldin bada, ez b ez d ezin dira zero izan. Beraz, biderkadura bd:P'-0 da.• Adibideak :edo bestela:,Bi zenbaki arrazionalen zatiketa honela definitzen da : zatitzailearen alderantzizkoaren biderkadura.Horregatik esan ohi da zatiketa egiteko gurutzean biderkatzen dela.• Adibideak :Zenbait kalkulagailurekin zatikien arteko eragiketak egin daitezke sistema dezimalera pasa gabe. Eragiketa horiek egiteko modua aldatu egiten da kalkulagailu mota batetik bestera; hala ere, kalkulagailuaren oharretan azaltzen da zein modutara egin behar den. Kalkulagailuek, askotan, zatiki mistoa ematen dute emaitza gisa, hau da, atal osoa batetik, eta banakoa baino txikiagoa den zatikia bestetik, esate baterako, 3/2 jarri ordez

Balio absolutua eta ikurren legea

Zenbaki osoen ikurren legeak berdin-berdin balio du zenbaki arrazionalen biderkaketan eta zatiketan ere. Arau horrek zatikien ikurrak sinplifikatzen ditu. Bi biderkagaiak, bai zatikizunak bai zatitzaileak, ikur berdinekoak badira, emaitza positiboa izango da.

Bietako bat negatiboa eta bestea positiboa badira, emaitza negatiboa izango da. Era laburtezina lortzeko azken ikurra zenbakitzailean jartzen da, era horretan izendatzailea beti positiboa izango da.Zatiki baten balio absolutua zatiki hori bera da ikur positiboarekin, hau da

Zenbaki arrazionalen ordena

Ikurren arauaren arabera argi eta garbi adierazten da zein zenbaki den positiboa eta zein negatiboa, eta horri esker edozein bikote ordena daiteke.• Adibidea:1. Esan zein den handiago,,Beraz,2. Esan zein den handiagoizan ere, zenbaki positiboak negatiboak baino handiagoak baitira beti._ erlazioa hartuz gero, ordenaren erlazioa erabatekoa da, hau dada.Zenbaki osoetan ordena eta batuketa bateragarri direnez gero : baldin etabadabetetzen da.Baina biderkaduran,soilikbada, bestela desberdintasunak zentzua aldatzen du.Zenbaki arrazionalak zuzen batean adieraz daitezke ; lerro horri lerro zuzen arrazionala esaten zaio.Zuzen horretan zenbaki handiena txikienaren eskuinean dago.Zenbaki errealen multzoa trinkoa da. Hau da, a/b>c/d bada, beti izango da m/n bat, a/d>m/n>c/d betetzen duena. (a+b)/(b+d) zatikia esaterako, bien artean dago. Izan ere, a/b>c/d bada, kenketa a/bc/d=(ab-bc)/bd positiboa da. Beraz, ad-bc>0 da, izendatzaileak beti positiboak hartzen baitira. Behin hori frogatu denean, ikus daiteke (a+c)/(b+d) bi horien artean dagoela, a, b, c, d edozein direla ere, a/b>c/d betetzen den guztietan :Etafrogatu nahi zen bezala.Zenbaki arrazionalen ezaugarri hori, zenbaki arrazional batzuen eta besteen hurbiltasunarekin zerikusia duena, zenbaki arrazionalen multzoa trinkoa dela esanez adierazten da.Mota bereko beste ezaugarri bat hau da : a/b eta c/d zenbakiak kontuan hartuta, eta 0 < a / b c/d betetzen duena. Ezaugarri horri arkimedearra esaten zaio, izan ere, Arkimedek magnitudeei eskatzen zien ezaugarria baita, hau da, beti aurki daiteke zenbaki arrazional bat zerotik edozein zenbaki oso baino hurbilago dagoena. Hau da, 0 < a / b < 1 bada (a/b oso txikia dela ere), izango da n bat na/b> 1 betetzen duena, eta 1 /n, beraz, a/b baino zatiki txikiagoa da.Zenbaki arrazionalen multzoak ez du bornerik, hau da, beti aurki daiteke zenbaki arrazional bat beste edozein zenbaki baino handiagoa . Zenbaki arrazionalen azpimultzo bat goitik bornetua badago, gerta daiteke goiko muturrik ez izatea. Zenbaki osoetan, 6 bainotxikiagoak diren zenbakiak hartzen badira, alegia 6 zenbakiak bornetutako multzoa, 5 izango litzateke zenbaki oso handiena. Biren berdin edo bi baino txikiagoak diren zatikien multzoa hartzen bada, bi izango da gehienezko balioa. Baina, koadroa bi baino txikiagoa edo berdina duten zenbaki arrazionalak hartzen badira, 1,4 ;1,41 ; 1,414 esate baterako, zenbaki arrazionalen multzo horihurbiltzen da, baina zenbaki hori ez da arrazionala, beraz, ez du goi borne txikienik. Hau da, zenbaki arrazionalen multzoa (Q) ez da osoa. Dena dela, problema hori hurrengo ataleko zenbaki errealen sarreran aztertuko da sakonago.

VII. Forma hamartarra

Forma hamartarra zenbaki arrazionalak erraz erabiltzeko modu bat da ; hurbiltasunetan erabiltzen da batez ere. Zatiki bat era hamartarrean idaztea izendatzailea 1 On berredura duen zatiki baliokide bat aurkitzea da. 123/ 1000 zenbaki hamartarra da. Baina, aburtzeko 0,123 idazten da. Zatidura 1 baino handiagoa bada, zati osoa komaren ezkerrera idazten da : 2345/100=23,45.Zatiki baten era hamartarrari zenbaki hamartar esaten zaio. Idazteko era erosoa da, zenbakiaren garapena erraz lortzen baita hama- -reko berreduretan. Komatik eskuinera dauden zenbakientzat -iamarreko berredurak zatitzen ari dira, eta ezkerrekoentzat bidercatzen .a/b zaitki baterara jar daiteke, baldin eta soilik baldin: atitzen badu ;denez gero, hori soilik gertatzen da a a/b zatiki aburtezinaren izendatzaileko zatitzaile lehen bakarrak 2 eta 5 badira.

Hori dela eta, zatiki asko ezin jar daitezke era hamartarrean, baina :atiketaren algoritmoari esker edozein zatiki hurbil daiteke zenbaki iamartarraren bidez.Zatiketa batean, hondar osoa utzi beharrean hondar txikiago bat )ilatzen jarraitzen bada, mugarik gabe jarrai daiteke eragiketa hori.

1/4, 1 /3 eta 1 / 12 zatikiak hartuz gero :Lehenengo adibidean eragiketa batzuk egin ondoren, zati hamartarra amaitu egiten da ; izendatzailean tren berredurak daude bakarrik.

Bigarren zatiketa, aldiz, ez da sekula amaitzen, baina zatidura partziala -3- errepikatu egiten da. Hirugarren adibidean, lehenengo zenbakiak ez dira errepikatzen, baina hirugarren zenbaki hamartarretik aurrera zatidura partziala 3 da beti.Hiru adibide horiek zenbaki arrazionalekin lortu daitezkeen zenbaki hamartarren adibide dira. Lehenengoari zenbaki hamartar ez periodiko esaten zaio, bigarrenari periodiko soila eta hirugarrenari periodiko mistoa.Zenbakiak errepikatzen direla adierazteko arku moduko bat jartzen da errepikatzen diren zenbakien gainean.

Beraz , aurreko zenbaki arrazionalak horrela idazten dira :Era horretan, nahiz eta hamartarrak amaigabe jarraitzen duten, ezagutzen da zein legeren arabera osatzen diren, eta balio hamartarra nahi adina hurbil daiteke zatikira.Errepikatzen diren zenbakiak, periodoak, bat baino gehiago izan daitezke :Bestalde, zatiki batetik abiatuta ezin lor daiteke beste zenbaki hamartarrik. Beste era batera esanda, zatiki orok zenbaki hamartar periodikoa ematen du, baldin eta hamartar zehatza periodo zero duen periodiko gisa hartzen bada.a/b egitean, zatidura partzialak desberdinak izango dira, hondarrak desberdinak diren bitartean. Hondar partzial bat errepikatzen denean, hondarrak ondotik zituen zifra berak izango ditu berriz ere atzean. Beraz, hondarrak 0 baino handiagoa eta b baino txikiagoa izan behar duenez gero, b hondar desberdin izan daitezke, eta komaren ondoren b-garren zifran seguru aurreko hondarren bat errepikatzen dela. Esate baterakoSeigarren hondarra 1 da, lehenengo zenbakia bezala. Ezin zitekeen bestela izan, izan ere, edo errepikatzen zen lehenago ateratako letik Erako zenbakiren bat, edo zero zen, eta zero izanez gero zatiketa amaitzen da.• Adibideak:Jarri era hamartarreanEra hamartarretik zatikizko erara igarotzeaBaldin eta zenbaki hamartar zehatza bada, zeroz zatitzen da eta zenbaki hamartar adina zero jartzen dira.• Adibidea:Hamartar periodiko purua bada, periodoan n zenbaki dituena,arrazoia duen segida geometriko baten batuketa gisa har daiteke ; n-k periodoak dituen zifra hamartarren kopurua adierazten du.Progresio geometriko baten batuketa hau da :Beraz, adibide horretan :Eragiketak egin ondoren, goian periodo baten zifrez osatutako zenbakia gelditzen da, eta behean, periodoak dituen zifra adina 9 gelditzen dira.Zorroztasun gutxiagoko metodo baten bidez froga daiteke hori :Periodiko mistoa bada, edo zati hamartarra periodiko soila bada, atal bat osoa ez nulua duena, atal periodikoan eta atal ez periodikoan eragiketa berdina egiten da : dagokion hamarren berreduragatik zatitzen da.Esate baterako :Aurreko metodoaren bidez, froga daiteke zenbakitzailean gelditzen dela alde periodikoa eta ez periodikoa ken ez periodikoa, eta 40izendatzailean periodoak duen zifra adina bederatzi eta hamartar ez periodiko adina zero.• Adibidea :Pasa zatiki erara :Zifra periodiko infinituak ez dira lanerako erosoak izaten ; horregatik, emaitza zehatzak lortu nahi direnean, egokiago da zenbakiak zatiki moduan jartzea. Horrez gainera, zenbaitetan, zenbaki bera bi eratara eduki daiteke. Adibidez, 0,9= 1Zenbaki hamartar finituekin lan egiten bada, edo hamartar zehatzak direlako edo zehaztasun handiagorik nahi ez delako, erraza da zenbaki hamartarrekin eragiketak egitea. Kalkulagailuekin kenketak, batuketak, biderkaketak eta zatiketak egin daitezke sistema hamartarrean. Emaitzen zehaztasuna kalkulagailu motaren araberakoa da ; kalkulagailu sinpleek 8 edo 10 zifra ematen dituzte. Kalkulagailuek notazio anglasaxoia erabiltzen dute, eta komaren ordez puntua erabiltzen dute zifra hamartarrak bereizteko. Zatiketa osoen emaitzak zatidurak dira bakarrik, eragiketarik egin gabe ez da hondarra lortzen. Hala ere, nahiz eta kalkulagailua eduki, zatiketa hamartarraren algoritmoa eskuz kalkulatu behar izaten da askotan ; horregatik, komenigarria da metodo hori gogora ekartzea zenbait adibideren bidez. Hurbilpen jarraiekin eta l0eko berredura batetik bestera dauden bururakoekin eragiketak eskuz egitea metodo erraza eta segurua da.Zenbaki hamartarrak batzeko komaren lekua parean tokatzen dela jarri behar dira zenbakiak, banakoak banakoekin, hamarrekoak hamarrekoekin, etab. Zutabeka egiten da batuketa eta emaitza azpian idazten da. Batuketa hamar baino handiagoa bada, banakoak eta hamarrekoak idazten dira, eta burukoa hurrengo zutabera eramaten da.- Adibidez: 0,45238+2,2645Kenketa egiteko kontu hartu behar da kenkizuna kentzailea baino handiagoa izan dadin. Kentzailea kenkizuna baina handiagoa bada, ordena aldatu eta ondoren, emaitzari zeinua aldatzen zaio.

Zifra hamartarrak zeroekin osatzen dira, zer kendu eta zeri kendu izan dadin beti. Kenketa zutabeka egiten da eta kentzailearen kopurua kenkizuna baino handigoa denean aurreko banakoetako bat hartzen da.- Adibidez: 1,3456-0,09873Zenbaki hamartarrak zenbaki osoak balira bezala biderkatzen dira, eta emaitzaren koma bukaeran jartzen da. Emaitzaren zifra hamartarren kopurua bi biderkagaiek duten zifra hamartarren kopuruaren batuketa da. Biderkatzailearen zifren biderkadura partzialak zutabetan jartzen dira, ondoren banako bakoitzari dagozkien zifrak batu ahal izateko.Zatiketa egiteko, zatitzaileak parte hamartarrik ez izateko behar den hamarreko berreduraz biderkatzen dira zatikizuna eta zatitzailea . Zatiketa partzialak egiten dira, eta koma zatitzailearen lehenengo zifra hamartarra jaistea tokatzen denean jartzen da.Zatiketaren emaitza osoa ez bada, hurbilpenak eginez jarrai daiteke harik eta erabaki den zifra hamartarra lortzen den arte. Hondarra zatiduraren azken zifraren motakoa izango da.Eskuz egindako eragiketak konprobatzeko, edo berriz egiten dira eragiketak, edo alderantzizko eragiketa egiten da, hau da, kenketaren lekuan batuketa egin, edo biderkaketaren lekuan zatiketa egin.

Biderkaketarako eta zatiketarako froga erraz bat bada, "bederatziaren froga" esaten zaiona. Froga hori ez da erabat segurua izaten, baina oso erabilgarria da : baldin etabada, a zati 9 zatiketaren hondarra bider b zati 9 zatiketaren hondarra egitean c zati 9 zatiketaren hondarra lortu behar da. Hori egitea eta dagokion berdintasuna kongruentziekin jartzea gauza bera dira :9-z egindako zatiketaren hondarra, 9-ren zatigarritasunaren arabera, zenbaki baten zifren batuketaren berdina da.9 moduluko kongruentzien arteko berdintasuna egia bada, eragiketa ziur asko ongi egongo da. Betetzen ez bada, ziur asko gaizki egongo da.Zatiketarekin gauza bera gertatzen da.denez gero, 9-z egindako zatiketaren hondarrak, eta zatitzailearen hondarraren eta zatidura gehi hondarraren arteko biderkaketaren emaitzak, berdinak izan behar dute.Zatikizunaren zifrak batzen dira, eta batuketa horren emaitzak eta zatitzailea bider zatidura gehi hondarra eragiketaren emaitzak berdinak izan behar dute.Biderkaketan biderkakizunaren zifrak batzen dira, eta emaitza 9 baino handiagoa bada, emaitzaren zifrak batzen dira harik eta 9 txikiagoa den zenbakia lortzen den arte. Biderkatzailearekin gauza bera egiten da. Ondoren bi eragiketa horien emaitzak biderkatzen dira ; biderkaketa horrek eta emaitzaren batuketak emaitza bera eman behar dute :denez gero, posible da ondo egotea. Hala ere, ezin esan daiteke seguru ondo dagoenik, izan ere, metodo honen bidez ezin aurki baitaitezke 9-ren multiplo den zenbaki baten berdinak diren akatsak, ezta koma jartzean egindako akatsak ere.

VIII. Arrazoiak eta proportzioak

A eta B zenbakiak harturik, arrazoia A/B zatiki zenbakia da. Proportzioa bi arrazoiren berdintza daEra horretara definitzeak, erraz orokortzea dakar. Bi magnitudeen arrazoia, magnitudeak osoak izan, zatikiak izan, edo irrazionalak izan, hau da : lehen magnitudeak adierazten duen zenbakia, banako gisa bigarrena hartuta. Ez dute, gainera, magnitude bera izan behar ; bi magnitude desberdinen proportzionaltasuna defini daiteke :Kasu horretan konstante irauten duena proportzionaltasun konstante deitua da, hau da lagun bakoitzari ogi laurdena dagokiola.

A, B, C, D kopuruei proportzioaren terminoak esaten zaie, A eta D muturrak dira, eta B eta C erdiak.

Bi arrazoi berdinak dira baldin eta erdien biderkadura muturren biderkaduraren berdina bada : betetzen bada,ere betetzen da; baitaere.Magnitude baten arrazoiak eta beste magnitude batenak konstante irauten badute, magnitudeak zuzenki proportzionalak direla esaten da. Esate baterako, hiruki baten gainaldea eta hirukiaren altura zuzenean proportzionalak dira, baldin eta oinarria finkoa bada. Oihal baten prezioa eta erosten den oihal luzera zuzenean proportzionalak dira. Bi magnitude proportzionalak direnean, proportzioan dauden hiru kopuru ezagutzen badira, hiru horiekin proportzionala den laugarrena aurki daiteke. Horri 3-ko erregela esaten zaio eta horrela adierazten da :Adibidea : Lau arkatzek 28 pezeta balio dute, zenbat balio dute hamabost arkatzek?Bi magnitude alderantziz proportzionalak direla esaten da, baldin eta horietako bat bestearen alderantzizkoarekiko proportzionala bada.

Adibidez, bi langilek 8 metro erreten egiten dute 4 egunetan.

Zenbat denbora beharko dute 3 langilek hori bera egiteko? Pentsatzekoa da zenbat eta langile gehiagok lan egin, orduan eta denbora gutxiago beharko dela lan hori egiteko ; hau da, egunak eta langile kopurua alderantziz proportzionalak dira.hau da 2 egun eta egun baten

Ehunekoak

Ehunekoak proportzioak adierazteko modu berezia dira, proportzio horietan 100 hartzen da oinarri :Emaitzak.% bidez adierazten da. Matematika aplikatuetan erabiltzen da eta, oro har, zifra hamartarrik gabe, edo batekin bakarrik, ematen da. Esate baterako %34. Kalkulagailuetan, oro har, SHIFT teklaren bidez lortzen da ehunekoaBanaketa proportzionalak Osoari zenbat dagokion ezagutzen denean eta zatiei zenbat dagokien jakin nahi denean gertatzen dira banaketa proportzionalen problemak. Lau lagunen artean 20 ardo botila erosten dituzte 2000 pezetan. Lagunetako batek 10 botila hartzen baditu, besteak 5, besteak 3 eta beste batek 2. Zenbat ordaindu beharko du bakoitzak?Beraz, ordaindu behar dute: 1000, 500, 300 eta 200.Zeroak ez du alderantzizkorik, 1-en alderantzizkoa 1 da eta 2-ren alderantzizkoa 2.

15. Fermat-en teoremaren arabera(mod.11). Eragikeak kongruentzietan horretan mantentzen direnez gero,(mod.11), beraz, sinplifikatuz gero,(mod.11).